1、1解读相似三角形的一个基本模型“一线三等角”相似三角形是初中几何中的核心模块，也是考查学生分析和解决问题等综合能力的重要载体.在解决问题时，我们要能从复杂的图形中分离和构造基本图形，从而将几何问题“模块”化，以提高解题效率.本文主要探究相似三角形的一个基本模型“一线三等角”.基本图形 1 如图 1，点 v 三点共线， 90BCAOD，则 BACDO(证明略).一、直接运用基本图形例 1 如图 2，在矩形 ABCD中，由 8 个边长均为 1 的正方形组成的“ L型”模板如图放置，则 B的长度为 .解析 由基本图形 1，可知AEFC GD.设 Bxy， ,则 2， .由 DFCA,得 xy，故 2
2、x.由 22E，得 24512416,BC.点评 由基本图形可知 AE、 F、 GD两两相似，又由于,AFB与 C的关系上升到全等，再通过相似及全等，就能找到边与边的数量关系，建立方程.二、添加辅助线后运用基本图形例 2 在直角坐标系中，点 A是抛物线 2yx在第二象限上的点，连结 OA，过点2O作BA，交抛物线于点 B，以 OA、 为边构造矩形 AOBC，如图 3，当点 A的横坐标为 12时，求点 的坐标.解析 过点 A作 Ex轴于点 ，过点 B作 Fx轴于点 ,则 1,24O令 ()Bt，则 2,Ft.由基本图形 1，得 AE OB, AEF.代入得 2t，解得: 10t (舍去)， 2t
3、,点 B(2,4).点评 解题关键是构造基本图形.三、弱化条件“直角”，拓展甚本图形如图 4，弱化条件“直角”，仍有点 B、 O、 C三点共线， BCAOD，那么 BOA CD成立吗?按照基本图形 1 的证明方法，结论仍然成立，于是得到第二个基本图形:甚本圈形 2 如图 5，在 ABC中， O是 上一点，点 E、 F分别在 AB、 C上，BCEOF，则 E F.(证明略 )3变式 1 甚本圈形 3当点 E与 A重合时，如图 6，则 BOA CF (证明略).变式 2 甚本图形 4当点 O为 BC中点时，如图 7，则 BOE CF E (证明略).四、应用练习1.等腰三角形底边上一线三等角例 3
4、 如图 8，在 Rt ABC中， 2,90A，现取一块等腰直角三角板，将 45角的顶点放在 中点 O处，三角板的直角边与线段 B、 C分别交于点 E、F，设 ,(45)BExFyE.(1)试求 与 的函数关系式，并写出 x的取值范围;(2)试判断 与 的大小关系?并说明理由;(3)在三角板绕 O点旋转的过程中， OF能否成为等腰三角形?若能，求出对应x的值 ;若不能，请说明理由.4解析 (1)由基本图形 4，可知 EBO CF.则 EBOCF,即 2xy,故 2(1)y;(2)由基本图形 4，可知 EB FO,则 BE与 F相等;(3)当 FO时， 90,由(2)得 90,1x;当 E时， 4
5、5，由(2)得 B,点 与点 A重合, 2x;当 OF时， EDF,由(2)得 ,.点评 本题第(1)问，本质是考查三角形相似，对应边成比例，将几何问题过渡到函数问题.第(2)问是对三角形相似判定的考查，也为第(3)问作铺垫.第(3)问有三种情况，具体在解决时可以利用第(2)问的结论，将问题转化到 BEO中这个有一定角，定边的三角形中.在等腰梯形中，将腰延长会交于一点，形成等腰三角形，故以上题型在等腰梯形中也适用.2.等腰梯形底边上一线三等角例 4 如图 9，在等腰梯形 ABCD中， /,42,45BCADB，点E、 F分别在边 B、 上移动，且 5EF，则点 E移动过程中，线段 AF长的最小
6、值为 .5解析 由基本图形 2 , BAE CF.设 ,BEaCFb，则 34a,21(02)3,当 a时， max83b.又 当 CF最大时， A最小，此时 1D.作 H于点 2,6DH，min53AF.3.函数问题中一线三等角例 5 如图 10，已知直线 ykx与抛物线 2473yx交于点 (,6)A.若点 B与抛物线上对称轴右侧的点，点 E在线段 OA上(与点 、 不重合)，点 0Dm是 x轴正半轴上的动点，且满足 BD.试探究 : 在什么范围时，符合条件的 E点的个数分别是 1 个、2 个?解析 延长 AB交 x轴于点 F.设 (,0)Fn,6BAEOD,F，即 2(3)6n，15,(
7、0)2n,直线 AB解析式为 458yx.由247358yx， 解得 B(6,2).由基本图形 2，得AEB OD, AE.设 a，则 35a,由 E，得 m，2 21351359()4maa， (035)a.如图 11，当 94时， ，此时 E点只有一个;当 904m时，任取 的一个值， a都有两个值，此时 E点有两个.点评 本题的解题核心是三角形相似，也考查了一次函数、勾股定理等重要知识，将所求解的问题转化为二次函数图象与性质问题是解题的关键.五、归纳总结由“一线三等角”基本模型搭建桥梁可以得到相似三角形，这类问题经常是以矩形、正方形、等边三角形、等腰三角形、等腰梯形为图形背景出现.在几何学习过程中，我们要7学会归纳一些简单的基本模型，学会从复杂的图形里提炼基本模型，并将其作为解决问题的手段和方法.分析问题时，首先由条件联想基本知识和基本模型，再从图形中寻找基本模型.若不能直接找到基本模型，则考察条件中是否含某个基本模型的一部分，然后根据条件或者结论思考怎样添加辅助线，构造出基本模型.利用这种思维方法分析问题，则可以把抽象的问题形象化，在解决问题时起到事半功倍的效果.
