1、类型 3 综合全等和相似三角形的几何探究题 9(2016赤峰)如图，正方形 ABCD 的边长为 3 cm，P， Q 分别从 B，A 出发沿 BC，AD 方向运动，P 点的运动速度是 1 cm/s，Q 点的运动速度是 2 cm/s，连接 AP 并过点 Q 作 QEAP，垂足为 E.(1)求证：ABPQEA；(2)当运动时间 t 为何值时，ABPQEA；(3)设QEA 的面积为 y，用运动时间 t 表示QEA 的面积 y(不要求考虑 t 的取值范围)解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，ABP BAD90.BAP EAQ90.QEAP ，AEQ90.EAQ AQE90.ABP AEQ90，B
2、APAQE.ABP QEA.(2)当ABPQEA 时，APAQ.由题意，得 BPt，AQ2t，AB3，在 RtABP 中，AP 2AB 2BP 29t 2.9t 2(2t) 2， 解得 t1 ，t 2 (舍去)3 3故当 t 时，ABPQEA.3(3)由(1)得，ABPQEA， ，即 .S QEAS ABP (AQAP)2yS ABP (AQAP)2又S ABP BPAB t，AQ2t，AP 29t 2，12 32 ，解得 y .y3t2 4t29 t2 6t39 t210(2015安徽)如图 1，在四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，过点 E 作 AB 的垂线，过点
3、 F 作CD 的垂线，两垂线交于点 G，连接 AG，BG，CG，DG，且AGDBGC.(1)求证：ADBC；(2)求证：AGDEGF ；(3)如图 2，若 AD，BC 所在直线互相垂直，求 的值ADEF解：(1)证明：E 为 AB 中点，GE AB，GE 是线段 AB 的垂直平分线 AGGB.同理可证 GDGC.在AGD 和BGC 中， AG BG， AGD BGC，GD GC， )AGDBGC(SAS)ADBC.(2)AGD BGC ，AGBDGC.AGBG，DGCG，且 E，F 分别为 AB，CD 中点，AGE AGB，DGF CGD.12 12AGE DGF，易证 RtAGE RtDGF
4、.AGDEGF， .AGGE GDGFAGDEGF.(3)延长 AD 交 BC 延长线于点 M.AD，BC 所在的直线互相垂直，DABABC90，即DAB ABGGBC90.AGDBGC，GADGBC.DABABGGAD90，即GABGBA90.又GABGBA，GAB45.由(2)得AGDEGF ， .ADEF GAGE 211(2013安徽)我们把有不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形” ，如图 1，四边形 ABCD 即为“准等腰梯形” ，其中BC.(1)在图 1 所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形 ABCD 分割成一个等腰梯形
5、和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可) ；(2)如图 2，在“准等腰梯形”ABCD 中，BC，E 为边 BC 上一点，若 ABDE ，AEDC，求证： ； ABDC BEEC(3)在由不平行于 BC 的直线 AD 截PBC 所得的四边形 ABCD 中，BAD 与ADC 的平分线交于点 E, 若EBEC，请问当点 E 在四边形 ABCD 内部时( 即图 3 所示情形)，四边形 ABCD 是不是“准等腰梯形” ，为什么？若点 E 不在四边形 ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论(不必说明理由)解：(1)如图所示(2)证明：AECD，AB ED，AEBC，BDEC
6、.ABEDEC. .BC ，AEBB.AEDC BEECABAE. .ABDC BEEC(3)当点 E 在四边形 ABCD 内部时 ，四边形 ABCD 是“准等腰梯形” 理由：过点 E 作 EFAB 于点 F，EGAD 于点 G，EHCD 于点 H.AE 平分BAD，EFEG.ED 平分ADC，EGEH. EFEH.EBEC，Rt BFE RtCHE(HL)FBEHCE.EBEC，EBCECB.FBEEBCHCE ECB，即ABCDCB.AD 不平行于 BC，四边形 ABCD 是“准等腰梯形” 当点 E 不在四边形 ABCD 内部时，有两种情况：当点 E 在边 BC 上时，四边形 ABCD 为
7、“准等腰梯形” ；当点 E 在四边形 ABCD 的外部时，四边形 ABCD 为“准等腰梯形” 12(2016合肥瑶海区模拟)如图 ，在四边形 ABCD 中，ABC BCD60，ABDCBC.(1)如图 1，连接 AC，BD，求证： ACBD；(2)如图 2，BAD 与ADC 的平分线相交于点 E，求E 的度数；(3)如图 3，若 AB6，CD 3，点 P 为 BC 上一点，且APD60，试判断APD 的形状，并说明理由解：(1)证明：在 CB 上取 CECD，连接 DE，AE.ABDC BC，ABBE.又ABCBCD 60，ABE 与CDE 均为等边三角形AEBE，DECE.AEBCED60.
8、BEDAEC120.BEDAEC(SAS) ACBD.(2)在四边形 ABCD 中，BC60，BADADC240.AE，DE 分别是BAD，ADC 的平分线，EAD EDA (BADADC)120，故E60.12(3)APD60，APBCPD 120.BAPAPB120，BAPCPD.又BC60，ABP PCD. .ABPC BPCD APPD又AB6，CD3，BC9， .69 BP BP3BP(9BP)18.解得(BP) 13，(BP) 26.当(BP) 13 时， 1，即 APPD ，APPDAPD 60 ，故APD 是等边三角形当(BP) 26 时，PC3，易得ABP，CDP 均为等边三
9、角形AP6，DP3，即 AP2DP，取 AP 的中点 E，连接 DE，得 PEPD.APD 60，EPD 是等边三角形EDEPEA.D 点在以 AP 为直径的圆上，故APD 是直角三角形13(2016马鞍山一模)如图 1，在菱形 ABCD 中，E 是 CD 上的一点，连接 BE 交 AC 于点 O，连接 DO 并延长交BC 于点 F.(1)求证：FOCEOC；(2)将此图中的 AD，BE 分别延长交于点 N，作 EMBC 交 CN 于点 M，再连接 FM 即得到图 2.求证： ；FDFM.CFCB BEBN证明：(1)四边形 ABCD 是菱形 ，BCCD ，BCADCA，BC AD.在BCO
10、和DCO 中， BC DC， BCA DCA，OC OC， )BCODCO(SAS)CBOCDO.在BEC 和 DFC 中， CBO CDO，BC CD， BCE DCF， )BEC DFC(ASA )ECFC.在FOC 和 EOC 中， FC EC， BCA DCA，OC OC， )FOC EOC(SAS)(2)EMBC，BCAD ，EMBC AD. ， ，即 .BEBN CMCN CMCN CECD CECD BEBNCECF ，CDCB， . .CMCN CFCB CFCB BEBN ，FMBN.CMCN CFCBEMBC，四边形 FMEB 为平行四边形FM BE.BEDF， FDFM.
