1、1三角形中位线定理【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的 4 个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的1.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得
2、到的四边形是平行四边形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1.如图，已知 P、R 分别是长方形 ABCD 的边 BC.CD 上的点，E.F 分别是 PA.PR 的中点，点P 在 BC 上从 B 向 C 移动，点 R 不动，那么下列结论成立的是（ ）A线段 EF 的长逐渐增大 B线段 EF 的长逐渐变小C线段 EF 的长不变 D无法确定【答案】C；【解析】连 AR，由 E.F 分别为 PA，PR 的中点知 EF 为PAR 的中位线, 则12EFAR，而AR 长不变，故 EF 大小不变.2【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形举一反三
3、：【变式】在ABC 中，中线 BE.CF 交于点 O，M、N 分别是 BO、CO 中点，则四边形 MNEF 是什么特殊四边形？并说明理由【答案】5；解：四边形 MNEF 是平行四边形理由如下：BE.CF 是中线，E.F 分别是 AC.AB 的中点，EF 是ABC 的中位线，EFBC 且 EF= 21BC，M、N 分别是 BO、CO 中点，MN 是OBC 的中位线，MNBC 且 MN= 21BC，EFMN 且 EF=MN，四边形 MNEF 是平行四边形2.如图，ABC 中，D.E 分别是 BC.AC 的中点，BF 平分ABC，交 DE 于点 F，若 BC6，则DF 的长是（ ）A2 B3 C.5
4、2D43【思路点拨】利用中位线定理，得到 DEAB，根据平行线的性质，可得EDCABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到 DFDB，进而求出 DF 的长【答案解析】解：在ABC 中，D.E 分别是 BC.AC 的中点DEABEDCABCBF 平分ABCEDC2FBD在BDF 中，EDCFBDBFDDBFDFBFDBD12BC 63【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题3.如图所示，在ABC 中，M 为 BC 的中点，AD 为BAC 的平分线，BDAD 于D，AB12，AC18，求 MD 的长【思路点拨
5、】本题中所求线段 MD 与已知线段 AB.AC 之间没有什么联系，但由 M 为 BC 的中点联想到中位线，另有 AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形 ABN，D 为 BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出 MD 的长度【答案与解析】解：延长 BD 交 AC 于点 N4 AD 为BAC 的角平分线，且 ADBN， BADNAD，ADBADN90，在ABD 和AND 中，BADN = ABDAND(ASA) ANAB12，BDDN AC18， NCACAN18126， D.M 分别为 BN、BC 的中点， DM12CN3【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等
6、腰三角形的“三线合一” 、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形举一反三：【变式】如图，BE，CF 是ABC 的角平分线，ANBE 于 N，AMCF 于 M，求证：MNBC【答案】证明：延长 AN、AM 分别交 BC 于点 D.GBE 为ABC 的角平分线，BEAG，BAG=BGA，ABG 为等腰三角形，BN 也为等腰三角形的中线，即 AN=GN同理 AM=DM，MN 为ADG 的中位线，MNBC54.（1）如图 1，在四边形 ABCD 中，E.F 分别是 BC.AD 的中点，连接 EF 并延长，分别与BA.CD 的延长线交于点 M、N，则BME=CNE，
7、求证：AB=CD （提示取 BD 的中点 H，连接FH，HE 作辅助线）（2）如图 2，在ABC 中，且 O 是 BC 边的中点，D 是 AC 边上一点，E 是 AD 的中点，直线OE 交 BA 的延长线于点 G，若 AB=DC=5，OEC=60，求 OE 的长度【思路点拨】（1）连结 BD，取 DB 的中点 H，连结 EH、FH，证明出EHAB，EH= 2AB，FHCD，FH= 21CD，证出 HE=HF，进而证出 AB=CD；（2）连结 BD，取 DB 的中点 H，连结 EH、OH，证明出 EH=OH，可证明证出OEH 是等边三角形，进而求出 OE= 25【答案与解析】（1）证明：连结 B
8、D，取 DB 的中点 H，连结 EH、FHE.F 分别是 BC.AD 的中点，EHAB，EH= 21AB，FHCD，FH= 21CD，BME=CNE，HE=HF，AB=CD；（2）解：连结 BD，取 DB 的中点 H，连结 EH、OH，AB=CD，HO=HE，HOE=HEO，OEC=60，6HEO=AGO=60，OEH 是等边三角形，AB=DC=5，OE= 25【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度举一反三：【变式】如图，ABCD，E，F 分别为 AC，BD 的中点，若 AB=5，CD=3，则 EF 的长是（ ）A4 B3 C2 D1【答案】D；解：连接 DE 并延长交 AB 于 H，CDAB，C=A，CDE=AHE，E 是 AC 中点，AE=CE，DCEHAE，DE=HE，DC=AH，F 是 BD 中点，EF 是DHB 的中位线，EF=12BH，BH=AB-AH=AB-DC=2，EF=17
