1、- 1 -勾股定理一课一练基础闯关题组 利用勾股定理求(直角)三角形的边长或高1.正方形的面积是 4,则它的对角线长是 ( )A.2 B. C.2 D.42 2【解析】选 C.设正方形的对角线为 x,正方形的面积是 4,边长的平方为 4,由勾股定理得:x= =2 .4+4 22.如图,ABC 中,AB=AC,AD 是BAC 的平分线,已知 AB=5,AD=3,则 BC 的长为 ( )世纪金榜导学号 42684022A.5 B.6C.8 D.10【解析】选 C.AB=AC,AD 是BAC 的平分线,ADBC,BD=CD,AB=5,AD=3,BD= =4,BC=2BD=8.A223.(2017黄冈
2、中考)已知:如图,在AOB 中,AOB=90,AO=3cm,BO=4cm,将AOB 绕顶点 O 按顺时针方向旋转到A 1OB1处,此时线段 OB1与 AB 的交点 D 恰好为 AB 的中点,则线段 B1D=_cm. 世纪金榜导学号 42684023【解析】点 D 为 AB 的中点,根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得:OD= AB= =2.5.12 12 32+42由题意可得:OB 1=OB=4.所以 B1D=OB1-OD=4-2.5=1.5(cm).- 2 -答案:1.5【变式训练】(2017老河口市期中)如图,在ABC 中,ACB=90,CDAB,垂足为点 D,若 AC=6,B
3、C=8,则 CD 等于 ( )A.1 B.2 C.3 D.4.8【解析】选 D.ACB=90,AB= =10, ACBC= ABCD,即 68= 10CD,解得 CD=4.8.A2+2 12 12 12 124.如图,在 RtABC 中,AB=9,BC=6,B=90,将ABC 折叠,使点 A 与 BC 的中点D 重合,折痕为 MN,则线段 BN 的长为_.【解析】设 BN=x,由折叠的性质可得 DN=AN=9-x,点 D 是 BC 的中点,BD=3,在RtDBN 中,x 2+32=(9-x)2,解得 x=4.即 BN=4.答案:45.(2017泸州中考)在ABC 中,已知 BD 和 CE 分别
4、是边 AC,AB 上的中线,且 BDCE,垂足为 O,若OD=2cm,OE=4cm,则线段 AO 的长度为_cm.世纪金榜导学号 42684024【解析】如图,连接 AO,作 OFAB 于点 F,BD,CE 是ABC 的中线,OB=2OD=4,OE=4,BDCE,BOE 是等腰直角三角形,- 3 -AE=BE=4 ,2OF=EF=2 ,AF=6 ,2 2AO= =4 .A2+2 5答案:4 5(2017长春中考)如图 1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如图 2,其中四边形 ABCD 和四边形 EFGH 都是正方形,ABF,BCG,CDH,
5、DAE 是四个全等的直角三角形.若 EF=2,DE=8,则 AB 的长为_.【解析】依题意知,BG=AF=DE=8,EF=FG=2,BF=BG-FG=6,直角ABF 中,利用勾股定理得:AB= = =10.A2+2 82+62答案:10题组 勾股定理与图形面积1.(2017防城港期中)如图,在 RtABC 中,ACB=90,若 AB=15,则正方形 ADEC 和正方形 BCFG 的面积和为 ( )A.225 B.200C.250 D.150【解析】选 A.正方形 ADEC 的面积为:AC 2,正方形 BCFG 的面积为:BC 2;在 RtABC 中,AB 2=AC2+BC2,又 AB=15,则
6、AC2+BC2=225.【变式训练】(2017莆田模拟)如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形 A、B、C、D 的面积分别为 2,5,1,2.则最大的正方形 E 的面积是_.- 4 -【解析】根据勾股定理的几何意义,可得 A,B 的面积和为 S1,C,D 的面积和为 S2,S1+S2=S3,于是 S3=S1+S2,即 S3=2+5+1+2=10.答案:102.(2017温州中考)四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形 ABCD,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为 S 的小正方形 EFGH.已知 AM 为 RtABM 较长直角边,AM=2
7、EF,则正方形 ABCD 的面积为 ( )2世纪金榜导学号 42684025A.12S B.10S C.9S D.8S【解析】选 C.由题意可知小正方形边长,EF=EH=HG=GF= ,S4 个白色的矩形全等,且矩形的长均为 ,宽为( - ),则直角三角形的短直角边长为 .2 2 S S由勾股定理得 AB= = =3 ,所以正方形 ABCD 的面积为 9S.B2+2 S+8 S3.如图,在ABC 中,ABC=90,分别以 BC,AB,AC 为边向外作正方形,面积分别记为 S1,S2,S3,若S2=4,S3=6,则 S1=_.- 5 -【解析】由题意得 S1=CB2,S2=AB2,S3=AC2,
8、由勾股定理可得 AB2+CB2=AC2;则有 S2+ S1= S3,即 4+ S1=6,则S1=2.答案:2【变式训练】如图,分别以直角三角形的三边为直径作半圆,其中两个半圆的面积 S1= ,S 2=2,则258S3=_.【解析】如图,由圆的面积公式得 S1= = ,S 2= =2,解得12(c2)2258 12(a2)2c2=25,a2=16.根据勾股定理,得 b2=c2-a2=9.所以 S3= = b 2= .12(b2)218 98答案: 984.如图,直线 l 上有三个正方形 a,b,c,若 a,c 的面积分别为 5 和 11,则 b 的面积为_. 世纪金榜导学号 42684026【解
9、析】因为 a,b,c 都是正方形,所以 AC=CD,ACD=90.- 6 -ACB+DCE=ACB+BAC=90,即BAC=DCE,ABC=CED=90,AC=CD,ACBCDE,AB=CE,BC=DE.在 RtABC 中,由勾股定理得:AC 2=AB2+BC2=CE2+DE2,即 Sb=Sa+Sc=11+5=16.答案:165.已知 RtABC 的两直角边分别为 6,8,分别以它的三边为直径向上作三个半圆,求图中阴影部分的面积.世纪金榜导学号 42684027【解析】因为ABC 是直角三角形,且 AC=6,BC=8,所以根据勾股定理,得 AB2=AC2+BC2=62+82=100=102,A
10、B=10,S 阴影 = +12 (62)2 + 68- =24.12 (82)212 12 (102)2题组 勾股定理的证明1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是 ( )【解析】选 D.A,B,C 都可以利用图形面积得出 a,b,c 的关系,即可证明勾股定理,故 A,B,C 选项不符合题意;D.不能利用图形面积证明勾股定理,故此选项符合题意.2.由四个全等的直角三角形组成的如图所示的“赵爽弦图”,若直角三角形斜边长为 2,一个锐角为 30,则图中阴影部分的面积为( )A.1 B.3C.4-2 D.4+23 3- 7 -【解析】选 C.直角三角形斜边长为 2,一个锐角为 30,该直角三角形的两
11、直角边分别为 1, ,3S 阴影 =22-4 1 =4-2 .12 3 33.如图,这是美国第 20 届总统加菲尔德的构图,其中 RtADE 和 RtBEC 是完全相同的,请你试用此图形验证勾股定理的正确性. 世纪金榜导学号 42684028【证明】因为 S 梯形 ABCD= AB(AD+BC)= (a+b)(a+b)= a2+ab+ b2,又因为 S 梯形 ABCD=12 12 12 12SADE +SDEC +SBEC = ADAE+ DECE+ BEBC= ab+ c2+ ab=ab+ c2,所以 a2+ab+ b2=ab+ c2,12 12 12 12 12 12 12 12 12 1
12、2得 c2=a2+b2.即在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方.(2017阜新月考)如图,是两个全等的直角三角形硬纸板(直角边分别为 a,b,斜边为 c).(1)用这样的两个三角形构造成如图的图形,请利用这个图形验证勾股定理.(2)假设图中的直角三角形有若干个,请运用图中所给的直角三角形拼出另一种能验证勾股定理的图形,画出拼后的图形并利用这个图形验证勾股定理.【解析】(1)四边形 ABCD 是梯形,S 梯形 ABCD= (a+b)(a+b)=2 ab+ c2,12 12 12- 8 -即 (a2+2ab+b2)=ab+ c2,12 12a 2+b2=c2.(2)如图所示,可以证明 a
13、2+b2=c2.验证:大正方形的面积=4 ab+(b-a)212大正方形的面积=c 2,4 ab+(b-a)2=c2,12整理得:a 2+b2=c2.(2017白银中考)如图,一张三角形纸片 ABC,C=90,AC=8cm,BC=6cm.现将纸片折叠,使点 A 与点 B重合,那么折痕长等于_cm. 世纪金榜导学号 42684029【解析】因为C=90,AC=8cm,BC=6cm,所以由勾股定理可得,AB=10cm.又因为将纸片折叠:点 A 与点 B 重合,所以ADE=90,AD=5cm.- 9 -连接 BE.设 AE=x,则 CE=8-x,BE=x,所以(8-x) 2+62=x2,解得 x=
14、.254在 RtBDE 中,BE= cm,BD=5cm,254所以 DE= = (cm).(254)252154答案:154【母题变式】变式一如图 1,在 RtABC 中,B=90,AB=3,BC=4,将ABC 折叠,使点 B 恰好落在边 AC上,与点 B重合,AE 为折痕,则 EB=_.图 1【解析】根据折叠可得 BE=EB,AB=AB=3,设 BE=EB=x,则 EC=4-x,B=90,AB=3,BC=4,在 RtABC 中,由勾股定理得,AC= =A2+2=5,BC=5-3=2, 在 RtBEC 中,由勾股定理得 ,x2+22=(4-x)2,解得 x=1.5.32+42答案:1.5变式二
15、如图 2,在ABC 中,B=90,AB=3,AC=5,将ABC 折叠,使点 C 与点 A 重合,折痕为 DE,则ABE的周长为_.图 2- 10 -【解析】由勾股定理得 BC= = =4,因为点 C 与 A 关于 DE 对称,所以 EC=EA,ABEA22 5232的周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=3+4=7.答案:7【方法技巧】关于折叠问题,要抓住折叠前后的对应边相等,对应角相等.其解题步骤为:(1)利用重合的图形得出所需对应边、角相等(一般不用重合的图形进行计算).(2)选择合适的直角三角形,一般这个直角三角形已知一边,另两边可通过重合图形找到数量关系,利用勾股定理列方程求解.变式三如图 3,在 RtABC 中,ACB=90,AD 平分BAC 与 BC 相交于点 D,若 BD=4,CD=2,则 AB 的长是_.图 3【解析】过点 D 作 DEAB 于点 E,如图,在 RtABC 中,C=90,ACCD.又 AD 平分CAB,DEAB,DE=CD,AC=AE.又 CD=2,DE=2.在 RtDBE 中,DEB=90,DE=2,BD=4,BE= =2 .B22 3在 RtABC 中,设 AC=x,又 AC=AE.则 AB=2 +x,x 2+62=(x+2 )2,x=2 ,3 3 3AB=2 +2 =4 .3 3 3答案:4 3- 11 -
