1、精选高中模拟试卷第 1 页，共 17 页乐东黎族自治县高级中学 2018-2019 学年高二上学期第一次月考试卷数学班级_ 姓名_ 分数_一、选择题1 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为 1，顶角为 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）A 2sincos2 B sin3cosC. 31 D 212 与命题“若 xA，则 yA”等价的命题是（ ）A若 xA，则 yA B若 yA，则 xA C若 xA，则 yA D若 yA，则 xA3 设函数 f（x）在 R 上的导函数为 f（x），且 2f（x）+xf（x）x 2，下面的不等式在 R 内恒成立的是（ ）
2、Af（x）0 Bf（x）0 Cf（x）x Df （x）x4 在 C中， 222sinisinisnB，则 的取值范围是（ ）1111A (,6 B ,)6 C. (0,3 D ,)35 若命题“p 或 q”为真，“非 p”为真，则（ ）Ap 真 q 真 Bp 假 q 真 Cp 真 q 假 Dp 假 q 假6 棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积为 、 、 ，则（ ）1S23A B C D123S213S213S7 已知点 A（0，1），B（2，3）C （1，2），D（1，5），则向量 在 方向上的投影为（ ）A B C D8 设 a0，b0，若 是
3、 5a与 5b的等比中项，则 + 的最小值为（ ）A8 B4 C1 D9 如图，正六边形 ABCDEF 中，AB=2 ，则（ ）（ + ）=（ ）精选高中模拟试卷第 2 页，共 17 页A6 B2 C2 D610某市重点中学奥数培训班共有 14 人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是 88，乙组学生成绩的中位数是 89，则 的值是（ ）mnA10 B11 C12 D13【命题意图】本题考查样本平均数、中位数、茎叶图等基础知识，意在考查识图能力和计算能力11已知 是球 的球面上两点， ， 为该球面上的动点，若三棱锥 体积的最大,O60AOBCO
4、ABC值为 ，则球 的体积为（ ）183A B C D1281428【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力12x R ，x 22x+30 的否定是（ ）A不存在 xR，使x 22x+30 BxR，x 22x+30Cx R，x 22x+30 DxR，x 22x+30二、填空题13当 a0，a 1 时，函数 f（x）=log a（x1）+1 的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mxy+n=0 上，则 4m+2n的最小值是 14将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第 n 行（n3）从左向右的第 3 个数为 精选高中模
5、拟试卷第 3 页，共 17 页15考察正三角形三边中点及 3 个顶点，从中任意选 4 个点，则这 4 个点顺次连成平行四边形的概率等于 16函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是_.111yfx0,21yfx17已知双曲线的标准方程为 ，则该双曲线的焦点坐标为， 渐近线方程为 18已知函数 f（x）=（2x+1）e x，f（x）为 f（x）的导函数，则 f（0）的值为 三、解答题19在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C：x 2+y2=4，A（ ，0），A 1（ ，0），点 P 为平面内一动点，以PA 为直径的圆与圆 C 相切（）求证：|PA 1|+|PA|为定值，并求出点 P 的轨迹方程 C1
6、；（）若直线 PA 与曲线 C1的另一交点为 Q，求 POQ 面积的最大值20已知椭圆 C： + =1（ab0）的左，右焦点分别为 F1，F 2，该椭圆的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 y=x+ 相切（）求椭圆 C 的方程；（）如图，若斜率为 k（k0）的直线 l 与 x 轴，椭圆 C 顺次交于 P，Q ，R （P 点在椭圆左顶点的左侧）且RF1F2=PF1Q，求证：直线 l 过定点，并求出斜率 k 的取值范围精选高中模拟试卷第 4 页，共 17 页21已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆 过点 ，直线2:10xyCab12,FC21,P1PF交 轴于 ，且 为坐标原点
7、yQ2,PFO（1）求椭圆 的方程；（2）设 是椭圆 上的顶点，过点 分别作出直线 交椭圆于 两点，设这两条直线的斜率MM,AB,分别为 ，且 ，证明：直线 过定点12,k12kB22（本小题满分 14 分）设函数 ， （其中 ， ）.2()1cosfxabx0,2abR（1）若 ， ，求 的单调区间；0()f（2）若 ，讨论函数 在 上零点的个数.bx0,2【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值、通过研究函数图象与性质，讨论函数的零点个数，考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力，是难题.精选高中模拟试卷第 5 页，共 17 页23【徐州市 2018 届高三上学期期中】如
8、图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池 及其矩形附属设施 ，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化其中半圆的圆心为 ，半径为，矩形的一边 在直径上，点 、 、 、 在圆周上， 、 在边 上，且 ，设 （1）记游泳池及其附属设施的占地面积为 ，求 的表达式；（2）怎样设计才能符合园林局的要求？24在直角坐标系 中，已知一动圆经过点 且在 轴上截得的弦长为 4，设动圆圆心的轨xOy(2,0)y迹为曲线 C（1）求曲线 的方程；111（2）过点 作互相垂直的两条直线，与曲线 交于 ， 两点与曲线 交于 ， 两点，(,0) CABCEF线段 ， 的中点分别为 ， ，求证：直线 过定
9、点 ，并求出定点 的坐标ABEFMNNP精选高中模拟试卷第 6 页，共 17 页乐东黎族自治县高级中学 2018-2019 学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1 【答案】A【解析】试题分析：利用余弦定理求出正方形面积 cos2cos2-11 S；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积 sin2i124S；故八边形面积 2cosin1 S.故本题正确答案为 A.考点：余弦定理和三角形面积的求解.【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角形面积公式 sin21i12S求出个三角形的面积 sin24S；接下来利用余弦定理可求出正
10、方形的边长的平方 co-2，进而得到正方形的面积 cos2co-11 ，最后得到答案.2 【答案】D【解析】解：由命题和其逆否命题等价，所以根据原命题写出其逆否命题即可与命题“若 xA，则 yA”等价的命题是若 yA，则 xA故选 D3 【答案】A【解析】解：2f（x）+xf（ x）x 2，令 x=0，则 f（x）0，故可排除 B，D如果 f（x）=x 2+0.1，时 已知条件 2f（x）+xf（x）x 2 成立，但 f（x）x 未必成立，所以 C 也是错的，故选 A故选 A4 【答案】C【解析】精选高中模拟试卷第 7 页，共 17 页考点：三角形中正余弦定理的运用.5 【答案】B【解析】解：
11、若命题“p 或 q”为真，则 p 真或 q 真，若“非 p”为真，则 p 为假，p 假 q 真，故选：B【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题6 【答案】A【解析】考点：棱锥的结构特征7 【答案】D【解析】解： ； 在 方向上的投影为 = = 故选 D【点评】考查由点的坐标求向量的坐标，一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，向量夹角的余弦的计算公式，数量积的坐标运算8 【答案】B【解析】解： 是 5a与 5b的等比中项，5a5b=（ ） 2=5，即 5a+b=5，精选高中模拟试卷第 8 页，共 17 页则 a+b=1，则 + =（ + ）（a+b） =1+1+ + 2+2 =2
12、+2=4，当且仅当 = ，即 a=b= 时，取等号，即 + 的最小值为 4，故选：B【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，以及利用基本不等式求最值问题，注意 1 的代换9 【答案】D【解析】解：根据正六边形的边的关系及内角的大小便得：= = =2+42+2=6故选：D【点评】考查正六边形的内角大小，以及对边的关系，相等向量，以及数量积的运算公式10【答案】C【解析】由题意，得甲组中 ，解得 乙组中 ，78469209587m3892所以 ，所以 ，故选 C9n12mn11【答案】D【解析】当 平面 平面时，三棱锥 的体积最大，且此时 为球的半径设球的半径为OABOABOC，则由题意，得 ，解
13、得 ，所以球的体积为 ，故选 DR2si601833R6R3428R12【答案】C【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，xR，x 22x+30 的否定是：xR，x 22x+30故选：C二、填空题13【答案】 2 精选高中模拟试卷第 9 页，共 17 页【解析】解：整理函数解析式得 f（x）1=log a（x1），故可知函数 f（x）的图象恒过（2，1）即 A（2，1），故 2m+n=14m+2n2 =2 =2 当且仅当 4m=2n，即 2m=n，即 n= ，m= 时取等号4m+2n的最小值为 2 故答案为：214【答案】 3+ 【解析】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式前 n1
14、 行共有正整数 1+2+（n 1）个，即 个，因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第 3+ 个，即为 3+ 故答案为：3+ 15【答案】 【解析】解：从等边三角形的三个顶点及三边中点中随机的选择 4 个，共有 =15 种选法，其中 4 个点构成平行四边形的选法有 3 个，4 个点构成平行四边形的概率 P= = 故答案为： 【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，是基础题确定基本事件的个数是关键16【答案】 1,【解析】精选高中模拟试卷第 10 页，共 17 页考点：函数的定义域.17【答案】 （ ，0） y=2x 【解析】解：双曲线 的 a=2，b=4，c= =2 ，可得焦点的坐标
15、为（ ，0），渐近线方程为 y= x，即为 y=2x故答案为：（ ，0），y=2x【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题18【答案】 3 【解析】解：f（x）=（2x+1）e x，f（x）=2e x+（2x+1 ）e x，f（0）=2e 0+（2 0+1）e 0=2+1=3故答案为：3三、解答题19【答案】 【解析】（）证明：设点 P（x，y），记线段 PA 的中点为 M，则两圆的圆心距 d=|OM|= |PA1|=R |PA|，所以，|PA 1|+|PA|=42 ，故点 P 的轨迹是以 A，A 1为焦点，以 4 为长轴的椭圆，所以，点
16、 P 的轨迹方程 C1为： =1 （）解：设 P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2），直线 PQ 的方程为：x=my+ ，精选高中模拟试卷第 11 页，共 17 页代入 =1 消去 x，整理得：（m 2+4）y 2+2 my1=0，则 y1+y2= ，y 1y2= ，POQ 面积 S= |OA|y1y2|=2 令 t= （0 ，则 S=2 1（当且仅当 t= 时取等号）所以，POQ 面积的最大值 1 20【答案】 【解析】（）解：椭圆的左，右焦点分别为 F1（c，0），F 2（c，0），椭圆的离心率为 ，即有 = ，即 a= c，b= =c，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为 x
17、2+y2=b2，直线 y=x+ 与圆相切，则有 =1=b，即有 a= ，则椭圆 C 的方程为 +y2=1；（）证明：设 Q（x 1，y 1）， R（x 2，y 2），F 1（1，0），由RF 1F2=PF 1Q，可得直线 QF1和 RF1关于 x 轴对称，即有 + =0，即 + =0，即有 x1y2+y2+x2y1+y1=0，设直线 PQ：y=kx+t，代入椭圆方程，可得（1+2k 2）x 2+4ktx+2t22=0，判别式=16k 2t24（1+2k 2）（2t 22）0，即为 t22k21x1+x2= ，x 1x2= ，y1=kx1+t，y 2=kx2+t，代入可得，（k+t）（x 1+x
18、2）+2t+2kx 1x2=0，将代入，化简可得 t=2k，精选高中模拟试卷第 12 页，共 17 页则直线 l 的方程为 y=kx+2k，即 y=k（x+2）即有直线 l 恒过定点（2，0）将 t=2k 代入，可得 2k21，解得 k 0 或 0k 则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（ ，0）（0， ）【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，注意运用直线和圆相切的条件，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题21【答案】（1） ；（2）证明见解析.21xy【解析】试题解析：（1） ， ， ，2PFQO21Fc，2,abc ，21b即 ；
19、xy（2）设 方程为 代入椭圆方程ABkxb， ，22110kx 221,1ABABkbxxk精选高中模拟试卷第 13 页，共 17 页， ，1,ABMMyykkxx 12ABABABMAByxxykx 代入 得： 所以， 直线必过 1bb,考点：直线与圆锥曲线位置关系【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往
20、利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解22【答案】【解析】（1） ， ，0a12b ， ， . （2 分）()1cos2fxx()sinfx0,令 ，得 .06当 时， ，当 时， ，x()0fx2x()fx所以 的单调增区间是 ，单调减区间是 . （5 分）()f ,0,6精选高中模拟试卷第 14 页，共 17 页若，则 ，又 ，由零点存在定理， ，使12a()102fa()0ff0,2，所以 在 上单调增，在 上单调减.0()fx,2又 ， .2()14fa故当 时， ，此时 在 上有两个零点；21a2()0f()fx0,2当 时， ，此时
21、在 上只有一个零点.2414a,精选高中模拟试卷第 15 页，共 17 页23【答案】（1） （2）【解析】试题分析：（1）根据直角三角形求两个矩形的长与宽，再根据矩形面积公式可得函数解析式，最后根据实际意义确定定义域（2）利用导数求函数最值，求导解得零点，列表分析导函数符 号变化规律，确定函数单调性，进而得函数最值（2）要符合园林局的要求，只要 最小，由（1）知，令 ，即 ，解得 或 （舍去），令 ，当 时， 是单调减函数，当 时， 是单调增函数，精选高中模拟试卷第 16 页，共 17 页所以当 时， 取得最小值.答：当 满足 时，符合园林局要求.24【答案】（） ；（）证明见解析； 24yx(3,0)【解析】（2）易知直线，的斜率存在且不为 0，设直线的斜率为， ， ，1(,)Axy2(,)B则直线： ， ，(1)ykx1212(,)xyM由 得 ，24,()24k，460k精选高中模拟试卷第 17 页，共 17 页考点：曲线的轨迹方程；直线与抛物线的位置关系【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题：（1）当 不含参数时，可通过解不等式)(xf直接得到单调递增（或递减）区间（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应)0()( xff用条件 恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），),(, bax应注意参数的取值是 不恒等于的参数的范围(f
