1、精选高中模拟试卷第 1 页，共 20 页崇州市高级中学 2018-2019 学年高二上学期第一次月考试卷数学班级_ 姓名_ 分数_一、选择题1 对某班学生一次英语测验的成绩分析，各分数段的分布如图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于 80 分）为（ ）A92% B24% C56% D5.6%2 若复数（2+ai） 2（aR）是实数（i 是虚数单位），则实数 a 的值为（ ）A2 B2 C0 D23 在ABC 中， ，则这个三角形一定是（ ）A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角 D等腰或直角三角形4 已知正项数列a n的前 n 项和为 Sn，且 2Sn=an+ ，则 S2015
2、的值是（ ）A BC2015 D5 若函数 f（x）= 2x3+ax2+1 存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围为（ ）A0，+ ） B0，3 C（ 3，0 D（3，+）6 若 a0，b0，a+b=1，则 y= + 的最小值是（ ）A2 B3 C4 D57 四棱锥 的底面 为正方形， 底面 ， ，若该四棱锥的所有顶点都在PABPABCD2A体积为 同一球面上，则 （ ）16P精选高中模拟试卷第 2 页，共 20 页A3 B C D722392【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力8 下列函数中，为奇函数的是（
3、 ）Ay=x+1 By=x 2 Cy=2 x Dy=x|x|9 向高为 H 的水瓶中注水，注满为止如果注水量 V 与水深 h 的函数关系式如图所示，那么水瓶的形状是（ ）A B C D10设 分别是 中， 所对边的边长，则直线 与,abcAC,sin0Axayc的位置关系是（ ）sini0xyA平行 B 重合 C 垂直 D相交但不垂直11德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 f（x）= 被称为狄利克雷函数，其中 R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数 f（x）有如下四个命题：f （f（x）=1；函数f（x）是偶函数；任取一个不为零的有理数 T，f（x+T）=f（x）对任
4、意的 x=R 恒成立；存在三个点A（x 1，f（x 1），B（x 2， f（x 2），C （x 3，f （x 3），使得 ABC 为等边三角形其中真命题的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个12 在等比数列 中， ，前 项和为 ，若数列 也是等比数列，则 等于（ ）A B C D精选高中模拟试卷第 3 页，共 20 页二、填空题13在区间 2，3上任取一个数 a，则函数 f（x）= x3ax2+（a+2）x 有极值的概率为 14设某总体是由编号为 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 个个体，选取方01,29,06法是从随机数表第 1 行的第 3 列数字开始从左到右依次选
5、取两个数字，则选出来的第 6 个个体编号为_【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识，意在考查统计的思想15长方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AB=AD=4cm，AA 1=2cm，则点 A1到平面 AB1D1的距离等于 cm16函数 f（x）=log （x 22x3）的单调递增区间为 17空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点若 AC=BD，则四边形 EFGH 是 ；若 ACBD，则四边形 EFGH 是 18在直三棱柱中，ACB=90，AC=BC=1，侧棱 AA1= ，M 为 A1B1的中点，则 AM 与平面 AA1C1C 所成角的正切值为（ ）A
6、B C D三、解答题19【常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测（一）】已知函数有一个零点为 4，且满足 .324fxaxbxc,Ra01f（1）求实数 和 的值；bc（2）试问：是否存在这样的定值 ，使得当 变化时，曲线 在点 处的切线互相平行？0 yfx0,fx若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；0x（3）讨论函数 在 上的零点个数.gfa,41818 0792 4544 1716 5809 7983 86196206 7650 0310 5523 6405 0526 6238精选高中模拟试卷第 4 页，共 20 页20已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1（c，0），F 2（c
7、，0），P 是椭圆 C 上任意一点，且椭圆的离心率为 （1）求椭圆 C 的方程；（2）直线 l1，l 2是椭圆的任意两条切线，且 l1l2，试探究在 x 轴上是否存在定点 B，点 B 到 l1，l 2的距离之积恒为 1？若存在，求出点 B 的坐标；若不存在，请说明理由21（本小题满分 13 分）已知函数 ，32()1fxa（）讨论 的单调性；（）证明：当 时， 有唯一的零点 ，且 ()fx0x1(,)222（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 ， .|1|2|)(xxf xg)(（1）解不等式 ；)(精选高中模拟试卷第 5 页，共 20 页（2）对任意的实数，不等式 恒成立
8、，求实数 的最小值.111)()2)(Rmxgxf m23（本题满分 15 分）已知抛物线 的方程为 ，点 在抛物线 上C2(0)ypx(1,2)RC（1）求抛物线 的方程；C（2）过点 作直线交抛物线 于不同于 的两点 ， ，若直线 ， 分别交直线(,1)QCRABRB于 ， 两点，求 最小时直线 的方程:lyxMN【命题意图】本题主要考查抛物线的标准方程及其性质以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查运算求解能力.24设锐角三角形 的内角 所对的边分别为 ABC, ,abc2sinA（1）求角 的大小；（2）若 ， ，求3a5c精选高中模拟试卷第 6 页，共 20 页精选高中模拟试卷
9、第 7 页，共 20 页崇州市高级中学 2018-2019 学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1 【答案】C【解析】解：这次测验的优秀率（不小于 80 分）为0.03210+0.02410=0.56故这次测验的优秀率（不小于 80 分）为 56%故选 C【点评】在解决频率分布直方图时，一定注意频率分布直方图的纵坐标是 2 【答案】C【解析】解：复数（2+ai） 2=4a 2+4ai 是实数，4a=0，解得 a=0故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题3 【答案】A【解析】解： ，又 cosC= ， = ，整理可得：b 2=c2，解得：b=
10、c即三角形一定为等腰三角形故选：A4 【答案】D【解析】解：2S n=an+ ， ，解得 a1=1当 n=2 时，2（1+a 2）= ，化为 =0，又 a20，解得 ，同理可得 猜想 精选高中模拟试卷第 8 页，共 20 页验证：2S n= + = ， = ，因此满足 2Sn=an+ ， S n= S 2015= 故选：D【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用，考查了由特殊到一般的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题5 【答案】 D【解析】解：令 f（x）= 2x3+ax2+1=0，易知当 x=0 时上式不成立；故 a= =2x ，令 g（x）=2x ，则
11、 g（x）=2+ =2 ，故 g（x）在（， 1）上是增函数，在（1， 0）上是减函数，在（0，+）上是增函数；故作 g（x）=2x 的图象如下，精选高中模拟试卷第 9 页，共 20 页，g（1） =21=3，故结合图象可知，a3 时，方程 a=2x 有且只有一个解，即函数 f（x）= 2x3+ax2+1 存在唯一的零点，故选：D6 【答案】C【解析】解：a0，b0，a+b=1，y= + =（a+b） =2+ =4，当且仅当 a=b= 时取等号y= + 的最小值是 4故选：C【点评】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质，属于基础题7 【答案】B精选高中模拟试卷第 10 页，共 20 页【
12、解析】连结 交于点 ，取 的中点 ，连结 ，则 ，所以 底面 ，则,ACBDEPCOEPAOEABCD到四棱锥的所有顶点的距离相等，即 球心，均为 ，所以由球的体O 221182PC积可得 ，解得 ，故选 B23414(8)316P7A8 【答案】D【解析】解：由于 y=x+1 为非奇非偶函数，故排除 A；由于 y=x2为偶函数，故排除 B；由于 y=2x为非奇非偶函数，故排除 C；由于 y=x|x|是奇函数，满足条件，故选：D【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，属于基础题9 【答案】 A【解析】解：考虑当向高为 H 的水瓶中注水为高为 H 一半时，注水量 V 与水深 h 的函数关系如图所
13、示，此时注水量 V 与容器容积关系是： V水瓶的容积的一半对照选项知，只有 A 符合此要求故选 A【点评】本小题主要考查函数、函数的图象、几何体的体积的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题精选高中模拟试卷第 11 页，共 20 页10【答案】C【解析】试题分析：由直线 与 ，sin0Axaycsini0bxByCA则 ，所以两直线是垂直的，故选 C. 1sin()2si2baBR考点：两条直线的位置关系.11【答案】 D【解析】解：当 x 为有理数时，f（x）=1；当 x 为无理数时，f （x）=0当 x 为有理数时，f（f（x）=f（1）=1；当 x
14、为无理数时，f（f（x）=f（0）=1即不管 x 是有理数还是无理数，均有 f（f （x）=1，故 正确；有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，对任意 xR，都有 f（x）=f（x），故 正确； 若 x 是有理数，则 x+T 也是有理数； 若 x 是无理数，则 x+T 也是无理数根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数 T，f（x+T）=f（x）对 xR 恒成立，故 正确； 取 x1= ，x 2=0，x 3= ，可得 f（x 1）=0，f（x 2）=1，f（x 3）=0A（ ，0）， B（0，1）， C（ ，0），恰好ABC 为等边三角形，故正确故选：D【点评】本题给出特殊函数表
15、达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题12【答案】 D【解析】设 的公比为 ，则 ， ，因为 也是等比数列，所以 ，即 ，所以因为 ，所以 ，即 ，所以 ，故选 D答案：D精选高中模拟试卷第 12 页，共 20 页二、填空题13【答案】 【解析】解：在区间2，3上任取一个数 a，则2 a3，对应的区间长度为 3（ 2）=5，若 f（x）= x3ax2+（a+2）x 有极值，则 f（x）=x 22ax+（a+2 ）=0 有两个不同的根，即判别式=4a 24（a+2）0 ，解得 a2 或 a1，2 a 1 或 2a 3，则对应的区间长度为1
16、 （2）+32=1+1=2，由几何概型的概率公式可得对应的概率 P= ，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应 a 的取值范围是解决本题的关键14【答案】19【解析】由题意可得，选取的这 6 个个体分别为 18,07,17,16,09,19，故选出的第 6 个个体编号为 1915【答案】 【解析】解：由题意可得三棱锥 B1AA1D1的体积是 = ，三角形 AB1D1的面积为 4 ，设点 A1到平面 AB1D1的距离等于 h，则 ，则 h=故点 A1到平面 AB1D1的距离为 故答案为： 16【答案】 （， 1） 精选高中模拟试卷第 13 页，共 20
17、 页【解析】解：函数的定义域为x|x3 或 x1令 t=x22x3，则 y=因为 y= 在（0，+ ）单调递减t=x22x3 在（， 1）单调递减，在（ 3，+ ）单调递增由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（， 1）故答案为：（， 1）17【答案】 菱形 ；矩形 【解析】解：如图所示：EF AC，GHAC 且 EF= AC，GH= AC四边形 EFGH 是平行四边形又AC=BDEF=FG四边形 EFGH 是菱形由知四边形 EFGH 是平行四边形又ACBD ，EFFG四边形 EFGH 是矩形故答案为：菱形，矩形【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，主要涉及了线段的中点，中位线定理，构成平面图
18、形，研究平面图形的形状，是常考类型，属基础题精选高中模拟试卷第 14 页，共 20 页18【答案】 【解析】解：法 1：取 A1C1的中点 D，连接 DM，则 DMC 1B1，在在直三棱柱中，ACB=90，DM平面 AA1C1C，则MAD 是 AM 与平面 AA1C1C 所的成角，则 DM= ，AD= = = ，则 tanMAD= 法 2：以 C1点坐标原点，C 1A1，C 1B1，C 1C 分别为 X，Y，Z 轴正方向建立空间坐标系，则AC=BC=1 ，侧棱 AA1= ，M 为 A1B1的中点， =（ ， ， ）， =（0， 1，0）为平面 AA1C1C 的一个法向量设 AM 与平面 AA1
19、C1C 所成角为 ，则 sin=| |=则 tan=故选：A精选高中模拟试卷第 15 页，共 20 页【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中利用定义法以及建立坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键三、解答题19【答案】（1） ；（2）答案见解析；（3）当 或 时， 在 有两个零点；1,4bc1a0gx0,4当 时， 在 有一个零点.0agx0【解析】试题分析：（1）由题意得到关于实数 b,c 的方程组，求解方程组可得 ；,14bc（3）函数的导函数 ，结合导函数的性质可得当 或 时， 在gx2134gxax 1a0gx有两个零点；
20、当 时， 在 有一个零点.0,410g0,试题解析：（1）由题意 ，解得 ； 4fcb1 4bc（2）由（1）可 知 ，32fxaxax ；2134fx假设存在 满足题意，则 是一个与 无关的定值，0 200134fxax a即 是一个与 无关的定值，2124384xa则 ，即 ，平行直线的斜率为 ；00x724kf（3） ，32gfax14xa ，24x精选高中模拟试卷第 16 页，共 20 页其中 ，2144aa22674510a设 两根为 和 ，考察 在 上的单调性，如下表0gx1x212xgxR1当 时， ， ，而 ，0a10ga40ga15230ga 在 和 上各有一个零点，即 在
21、有两个零点；x,2,4x,42当 时， ， ，而 ， 仅在 上有一个零点，即 在 有一个零点；g0, g0,3当 时， ，且 ，a4a1324a当 时， ，则 在 和 上各有一个零点，10gx,1,42即 在 有两个零点；gx0,当 时， ，则 仅在 上有一个零点，a1ag,即 在 有一个零点；,4综上：当 或 时， 在 有两个零点；0x0,4当 时， 在 有一个零点.1ag,点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数yf（x）在a，b内所有使 f（x ）0 的点，再计算函数 yf（x）在区间内所有使 f（x）0 的点和区间端点处的函数值，最后比较
22、即得20【答案】 【解析】解：（1）椭圆 的左、右焦点分别为 F1（c，0），F 2（c，0），P 是椭圆 C 上任意一点，且椭圆的离心率为 ， = ，解得 ，精选高中模拟试卷第 17 页，共 20 页椭圆 C 的方程为 （2）当 l1，l 2的斜率存在时，设 l1：y=kx+m，l 2：y=kx+n（mn），=0，m 2=1+2k2，同理 n2=1+2k2m2=n2，m= n，设存在 ，又 m2=1+2k2，则 |k2（2t 2）+1|=1+k 2，k 2（1t 2）=0 或 k2（t 23）=2（不恒成立，舍去）t 21=0，t= 1，点 B（1，0），当 l1，l 2的斜率不存在时，点
23、B（ 1，0）到 l1，l 2的距离之积为 1综上，存在 B（1，0）或（ 1，0）21【答案】（本小题满分 13 分）解：（） ， （1 分）2()36(2)fxaxa当 时，解 得 或 ，解 得 ，0a00()0fx2xa 的递增区间为 和 ， 的递减区间为 （4 分）()f(,)(,)a(,)当 时， 的递增区间为 ，递减区间为 （5 分）fx当 时，解 得 ，解 得 或0a()02x()0fx2xa 的递增区间为 ， 的递减区间为 和 （7 分）()fx,a()f 2,a(,)（）当 时，由（）知 上递减，在 上递增，在 上递减2,a)(0,) ， 在 没有零点 （9 分）40fa()
24、fx,0) ， ， 在 上递减，01128f(fx,)在 上，存在唯一的 ，使得 且 （12 分）(,)0x001(,2精选高中模拟试卷第 18 页，共 20 页综上所述，当 时， 有唯一的零点 ，且 （13 分）2a()fx0x1(,)222【答案】（1） 或 ；（2）.13|3【解析】试题解析：（1）由题意不等式 可化为 ，)(xgf|1|2|x当 时， ，解得 ，即 ；x1)2(x3当 时， ，解得 ，即 ；1当 时， ，解得 ，即 （4 分）2综上所述，不等式 的解集为 或 . （5 分）)(gf|x（2）由不等式 可得 ，mxxf2)( m|1|2|分离参数 ，得 ，m|1|ax)(x ， ，故实数 的最小值是. （10 分）3)(1| x考点：绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法123【答案】（1） ；（2） 4yx20y【解析】（1）点 在抛物线 上， ， 2 分(,)RC1p即抛物线 的方程为 ；5 分C精选高中模拟试卷第 19 页，共 20 页精选高中模拟试卷第 20 页，共 20 页24【答案】（1） ；（2） 6B7b【解析】1111（2）根据余弦定理，得，2cos2754baB所以 .7考点：正弦定理与余弦定理
