1、heut- ,数值计算方法,(2011),河北联合大学,第7章 矩阵特征值的数值计算方法,1,2,3,4,5,理论基础,幂 法,规范幂法,反 幂 法,QR分解法,主要内容,4,参考文献,6,概念回顾,方阵的特征值与特征向量,特性回顾,特征值与特征向量的性质,第一节 理论基础,A：n阶方阵， 若数,和 n 维非,零列向量 X 使关系式,成立，则,称为方阵A的特征值，,X 称为A的对应于特征值,的特征向量。,概念回顾,定义1,矩阵的特征值与特征向量,如,取,是特征向量.,概念回顾,矩阵的特征值与特征向量,称为方阵A的特征多项式,显然，A的特征值就是特征方程的根,也称特征根。,（重根按重数计算），,
2、n阶方阵A有n个特征值。,特征方程、特征根,定义2,概念回顾,矩阵的特征值与特征向量,求矩阵,的特征值和特征向量。,令,特征值为,解析,方程组,从而解得基础解系,当,时，求解齐次线性方程组,得对应的方程组为,从而解得基础解系,全部特征向量为,如果矩阵,满足,则称,是幂等矩阵。,（幂等矩阵的特征值只能是0或1）,定义3,设n阶方阵A的n个特征值为,则必有,（1）,（2）,设 n 阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值全不为零。,特性回顾,定理1,特征值与特征向量的性质,推论：,推论：,设n阶方阵A的n个特征值为,则必有,（1）,（2）,设 n 阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值全不为
3、零。,特性回顾,定理1,特征值与特征向量的性质,推论：,定理2,推论：,和,特征向量间的线性相关性,定理3,定理4,特性回顾,设,是n 阶矩阵A,的特征值，,是A的属于,的特征向量，则,（1）对任意常数,，数,是矩阵,的特征值；,（2）对任意常数,，数,是矩阵,的特征值；,（3）对任意正整数,，,是矩阵,的特征值；,（4）当矩阵,可逆时，,是矩阵,的特征值；,特征值,定理5,的特征值；,（其中）,的特征向量。,定理6,应用范例,解析,的特征值为,，,，,于是,定理6,定理7,定理8,用幂法计算矩阵的按模最大的特征值系,程序设计,A=1,-1,2,-6; MatrixForm% xa=-0.5,
4、1; Doxb=A.xa; Printk,“ “,xb,“ “,xb1/xa1,“ “ xb2/xa2;xa=xb/MaxAbsxb,k,1,15 EigensystemNA; MatrixForm%,1 -0.5, 1 -1.5, -7. 3. -7. 2 -0.214286, -1. 0.785714, 5.57143 -3.66667 -5.57143 3 0.141026, 1. -0.858974, -5.71795 -6.09091 -5.71795 4 -0.150224, -1. 0.849776, 5.69955 -5.65672 -5.69955 5 0.149095, 1
5、. -0.850905, -5.70181 -5.70712 -5.70181 6 -0.149234, -1. 0.850766, 5.70153 -5.70088 -5.70153 7 0.149217, 1. -0.850783, -5.70157 -5.70165 -5.70157 8 -0.149219, -1. 0.850781, 5.70156 -5.70155 -5.70156 9 0.149219, 1. -0.850781, -5.70156 -5.70156 -5.70156 10 -0.149219, -1. 0.850781, 5.70156 -5.70156 -5.
6、70156,运行结果,程序设计,A=1,1,0.5,1,1,0.25,0.5,0.25,2; MatrixForm% va=1,1,1; Dovb=A.va;Printk,“ “,vb,“ “,vb2/va2;va=vb,k,1,20 EigensystemNA; MatrixForm%,1 2.5, 2.25, 2.75 2.25 3 15.2188, 13.3906, 19.0469 2.46264 5 96.0293, 83.7666, 125.511 2.51015 7 613.714, 533.719, 814.025 2.52743939.55, 3422.47, 5251.63
7、2.5334 11 25327.1, 21994.9, 33820. 2.53546 13 162910., 141460., 217665. 2.536166 6 15 1.04806 10 , 910025., 1.4006 10 2.53616 6 6 6 17 6.74299 10 , 5.8548 10 , 9.01171 10 2.536487 7 7 19 4.33837 10 , 3.7669 10 , 5.79817 10 2.536518 7 8 20 1.10044 10 , 9.55481 10 , 1.47073 10 2.53652,运行结果,A=3,2,1,-1,
8、8,2,1,4,16; MatrixForm% y=-1,1,0.5; Dox=LinearSolveA,y; Printk,“ “,y,“ “,x,“ “; y=x/MaxAbsx,k,1,20 u=y1/x1 v=y EigensystemNA; MatrixForm%,反幂法的规范运算,程序设计,第四节 QR分解法,Q R 分解,?,QR分解的思路,分解,变换,Q R 分解,Clear A=9,4,2,2,8,4,6,7,1; MatrixForm% DetA q,r=QRDecomposition A/N; Q=%1; MatrixForm% Det% R=%2; MatrixForm% TransposeQ.R; MatrixForm% EigenvaluesNA,ClearA,H,Q A=5,-3,2,6,-4,4,4,-4,5; MatrixForm% DetA Doq,r=QRDecompositionH/N;H=r.Transposeq; Print“k=“,k; Print“Q=“,MatrixFormTransposeq; Print“H=“,MatrixFormH,k,1,10 EigenvaluesNA,
