1、第9章 常微分方程初值问题数值解法,9.1 引言 9.2 简单的数值方法 9.3 龙格-库塔方法,其中f (x,y)是已知函数，(1.2)是定解条件也称为 初值条件。,各种数值解法,9.1 引 言,则称f(x, y) 关于y满足利普希茨(Lipschitz)条件， L称为f(x, y) 的利普希茨常数。,定义： 若存在实数L0, 使得,定理,所谓数值解法, 就是寻求解y(x)在一系列离散节点,上的近似值 y1, y2, , yi , yi+1 ,. 相邻两个节点的间距hi=xi+1-xi 称为步长. 今后如不特别说明，总是假定 hi=h(i=1,2,)为常数, 这时节点为xi=x0+ih(i=
2、0,1,2,) (等距节点).,初值问题的数值解法一般采取“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进. 描述这类算法，只要给出用已知信息yi, yi-1, yi-2,计算yi+1的递推公式.,若计算yi+1时只用到前一点的值yi，称为单步法. 若计算yi+1时用到yi+1前面 k 点的值yi, yi-1, yi-k+1，称为k步法.,9.2 简单的数值方法,由向前差商公式,一、欧拉法,得,每步计算,只用到,依上述公式逐次计算可得：,几何意义是用一条初始点重合的折线来近似表示曲线。yP1 (x1, y1) P2 (x2, y2)y=y(x)0 x0 x1 x2 x3 x,欧拉法的
3、几何意义,由向后差商公式,得,二、后退欧拉法,后退的欧拉公式与欧拉公式有着本质的区别, 后者是关于yi+1的一个直接计算公式，这类公式称作是显式的；前者公式的右端含有未知的yi+1，它实际上是关于yi+1的一个函数方程,这类方程称作是隐式的.,隐式方程通常用迭代法求解，而迭代过程的实质是逐步显式化.,设用欧拉公式,给出迭代初值 ，用它代入后退欧拉公式式的右端，使之转化为显式，直接计算得,然后再用 代入后退欧拉公式的右端，又有,如此反复进行，得,由于f(x, y)对y满足Lipschitz条件，则,由此可知，只要hL1，迭代法就收敛到解,三 单步法的局部截断误差与阶,初值问题(1.1),(1.2
4、)的单步法可用一般形式表示为,其中多元函数与f(x, y )有关，当含有yi+1时，方法是隐式的，若不含yi+1则为显式方法，所以显式单步法可表示为,(x, y, h)称为增量函数，例如对欧拉法有,定义1 设y(x)是初值问题(1.1),(1.2)的准确解, 称,为显式单步法的局部截断误差.,Ti+1之所以称为局部的，是假设在xi前各步没有误差.当yi=y(xi)时，计算一步，则有,所以，局部截断误差可理解为用显示单步法计算一步的误差,定义2 若显式单步法的局部截断误差满足,则称显示单步法具有p阶精度或是p阶方法.,欧拉法的局部截断误差为,一阶方法,以上定义对隐式单步法也是适用的.例如，对后退
5、欧拉法，其局部截断误差为,一阶方法,四、 梯形公式,将 区间 积分,注：梯形公式局部截断误差 ，即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉公式有了进步。但注意到该公式是隐式公式.,五、 改进欧拉公式,注：此法亦称为预测-校正法。可以证明该算法具有 2 阶精度。,或者表示成下列平均化形式,改进欧拉公式,例：用改进欧拉公式求解初值问题,要求取步长h=0.2，计算y(1.2)及y(1.4)的近似 值，小数点后至少保留5位. 解 设f(x,y)=-y-y2sinx , x0=1, y0=1, xi=x0+ih=1+0.2i, 改进欧拉公式为,于是有由y0=1计算得,由微分中值定理，有,K*称为曲线y(x)在区间
6、xi, xi+1上的平均斜率，只要知道平均斜率，就可计算y(xi+1).因此只要对平均斜率提供一种近似算法，则由(1)式可导出一种相应的求解公式。,(1),9.3 龙格库塔方法,欧拉公式可改写成,局部截断误差为 。改进的欧拉公式又可改写成,局部截断误差为 。,斜率 一定取K1， K2 的平均值吗？,步长一定是h 吗？即第二个节点一定是xi+1吗？,其局部截断误差为 ，,这里有 3 个未知数， 2 个方程。,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库塔公式。,其中,2阶龙格 - 库塔格式,注意到， 就是改进的欧拉公式。,问题: 为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,改进的Euler 公式推广为二阶Runge-Kutta公式带来这样的启示： 若在xi, xi+1上多取几个点的斜率值，然后将它们的线性组合作为平均斜率的近似值，则有可能构造出具有更高精度的计算公式。 -Runge-Kutta方法的基本思想。,显式N级龙格-库塔公式,其中i ( i = 1, , N )，i ( i = 2, , N ) 和 ij ( i = 2, , N; j = 1, , i1 ) 均为待定系数。,常用的有二阶龙格-库塔公式，其局部截断误差为,三阶龙格-库塔公式，其局部截断误差为,四阶龙格-库塔公式，其局部截断误差为,
