1、 1 第十四 篇 不等式选讲( 选修4 5) 第1 节 绝对值不等式 【选题 明细 表】 知识点 、方 法 题号 解绝对 值不 等式 1,3,4 与绝对 值不 等式 有关 的证 明 2,3 与绝对 值不 等式 有关 的恒 成立问 题 2,4 1. 已知 函 数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1) 当a=-2 时, 求不 等式f(x)-1 时, 且当x-,)时,f(x) g(x), 求a 的 取值范 围. 解:(1) 当 a=-2 时, 不等 式f(x)k(x-1)-恒 成立,求 实数k 的取值 范围. (1)证明:|2a+b|+|2a-b| |2a+b+2a-b|=
2、4|a|, 所以 4. (2) 解: 记h (x)=|2x+1|-|x+1| = 若不等 式|2x+1|-|x+1|k(x-1)- 恒成 立, 则函 数h(x) 的 图象 在直 线y=k(x-1)- 的上 方, 因为y=k(x-1)- 经过 定点(1,- ), 当x=- 时, y=h(x) 取得 最小 值-, 显然, 当y=k(x-1)- 经过 定 点 P(1,- ) 与 M(-,-) 时, kPM= =, 即k; 当y=k(x-1)-经 过定 点 P(1,- )与直线 y=x 平行 时,k 得到最 大 值1, 所以k (,1 . 3.(2016 保 定一 模) 设函 数f(x)=|x-a|+
3、1,a R. (1) 当a=4 时,解 不等 式 f(x)0,n0), 求证:m+2n 3+2 . (1) 解:当a=4 时, 不等 式f(x)-5,故x4; 当- x1, 故10,n0, 所以m+2n=(m+2n) (+) =3+( +)3+2 , 当且仅 当m=1+ ,n=1+ 时, 取 等号, 故m+2n 3+2 ,得证. 4.(2016 大 同调 研) 已知 函 数 f(x)=|2x-1|+|x-2a|. (1) 当a=1 时, 求f(x) 3 的解集; (2) 当x,2 时,f(x) 3 恒成立,求 实数a 的 取值 范 围. 解:(1) 当a=1 时,由f(x) 3, 可得|2x-1|+|x-2|3, 所以 或 或 解得 0x; 解得 x2; 解 得x=2. 综上可 得,0 x 2, 即不等 式f(x) 3 的 解集 为0,2. (2) 因 为当x,2 时,f(x) 3 恒成 立, 即|x-2a| 3-|2x-1|=4-2x, 故2x-42a-x 4-2x, 即 3x-42a 4-x. 再根据 3x-4 的 最大 值为6-4=2, 4-x 的 最小 值 为4-2=2, 所以2a=2, 所以a=1, 即a 的 取值 范围 为1.
