1、第三章 导数及其应用复习小结,本章知识结构,导数,导数概念,导数运算,导数应用,函数的瞬时变化率,运动的瞬时速度,曲线的切线斜率,基本初等函数求导,导数的四则运算法则,简单复合函数的导数,函数单调性研究,函数的极值、最值,曲线的切线,变速运动的速度,最优化问题,曲线的切线,以曲线的切线为例，在一条曲线C：y=f(x)上取一点P(x0，y0)，点Q(x0+x，y0+y)是曲线C上与点P临近的一点，做割线PQ，当点Q沿曲线C无限地趋近点P时，割线PQ便无限地趋近于某一极限位置PT，我们就把直线PT叫做曲线C的在点P处的切线。,一知识串讲,（一）导数的概念：,3导数的几何意义：函数y=f(x)在点x
2、0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0)处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线斜率为kf (x0)所以曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程为 yy0=f (x0)(xx0),4导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间t的导数，即v(t)=s(t).,导数的运算法则:,法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:,法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:,法则3:两个
3、函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:,返回,法则4：简单复合函数的导数,设 , 则复合函数 的导数为,返回,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,返回,2)如果a是f(x)=0的一个根，并且在a 的左侧附近f(x)0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值.,函数的极值,1)如果b是f(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f(x)0，在b右侧附近f(x)0，那么
4、y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增；,2) 如果恒有 f(x)0,f (x)0,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,返回,（五）函数的最大值与最小值：,1定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区间(或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为M，最小值记为m.,2存在性：在闭区间a，b上连续函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值 3求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间a，b上最值求法： 求出f(x)在(a，b)内的极值； 将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是最大值，较小的一个是最小值.,两年北京
5、导数题,感想如何?,例1已经曲线C：y=x3-x+2和点A(1,2)。求在点A处的切线方程？,解：f/(x)=3x21， k= f/(1)=2 所求的切线方程为： y2=2(x1), 即 y=2x,变式1：求过点A的切线方程？,例1已经曲线C：y=x3-x+2和点(1,2)求在点A处的切线方程？,解：变1：设切点为P（x0，x03x0+2），,切线方程为y ( x03x0+2)=(3 x021)(xx0),又切线过点A(1,2),2( x03x0+2)=( 3 x021)(1x0)化简得(x01)2(2 x0+1)=0，,当x0=1时，所求的切线方程为：y2=2(x1),即y=2x,解得x0=
6、1或x0=,k= f/(x0)= 3 x021，,当x0= 时，所求的切线方程为： y2= (x1),即x+4y9=0,变式1：求过点A的切线方程？,例1：已经曲线C：y=x3x+2和点(1,2)求在点A处的切线方程？,变式2：若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直 线y=11x1，则P点坐标为 _,切线方程为_,(2,8)或( 2, 4),y=11x14或y=11x+18,2018/3/5,2018/3/5,2018/3/5,例1已知自由落体的运动方程为sgt2，求：(1)落体在t0到t0t这段时间内的平均速度；(2)落体在t0时的瞬时速度；(3)落体在t02秒到t12.1秒这段时间内的平均速度
7、；(4)落体在t2秒时的瞬时速度,2018/3/5,2018/3/5,2018/3/5,以初速度v0(v00)竖直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)v0t gt2，求物体在t0时刻的瞬时速度,2018/3/5,例2求函数yx2在点x3处的导数分析利用导数定义求导解析(1)求y在点x3处的增量取x0，y(3x)2326x(x)2.(2)算比值,2018/3/5,点评求函数yf(x)在点x0处的导数的方法由导数的意义可知，求函数yf(x)在点x0处的导数的方法是：,2018/3/5,2018/3/5,2018/3/5,分析已知函数f(x)在xa处的导数为A，要求所给的极限值，必须将已给极限式转化为
8、导数的意义,2018/3/5,2018/3/5,2018/3/5,答案2A,2018/3/5,求：(1)物体在t3,5内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t1时的瞬时速度,2018/3/5,解析(1)物体在t3,5内的时间变化量为t532，物体在t3,5内的位移变化量为s3522(3322)3(5232)48，物体在t3,5上的平均速度为,2018/3/5,(2)求物体的初速度v0即求物体在t0时的瞬时速度物体在t0附近的平均变化率为,2018/3/5,(3)物体在t1时的瞬进速度即为函数在t1处的瞬时变化率物体在t1附近的平均变化率为,2018/3/5,如果一个质点从固定点A开始运动，在时间t的位移函数ys(t)t33.求：(1)t4时，物体的位移s(4)；(2)t2到t4的平均速度；(3)t4时，物体的速度v(4),2018/3/5,2018/3/5,答案C,2018/3/5,2设f(x)ax4，若f(1)2，则a等于()A2 B2C3 D3答案A,2018/3/5,答案A,2018/3/5,二、填空题4自由落体运动在t4s的瞬时速度是_答案39.2m/s,2018/3/5,5对于函数yx2，其导数等于原来的函数值的点是_答案(0,0)和(2,4),2018/3/5,2018/3/5,
