1、第四章 稳定性 与李雅普诺夫方法,2019年7月5日,4.稳定性与李雅普诺夫方法,4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.2 李雅普诺夫第一法 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用,稳定性的几个问题,什么是系统的稳定性？ 为什么要研究稳定性？ 经典控制理论中稳定性的判别方法？ 对于状态空间表达式如何判断稳定性？,4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义,系统的平衡状态 所研究系统的齐次状态方程为x为n维状态矢量；f为与x同维的矢量函数，并且是x与时间t的函数，一般为时变的非线性函数，如果不显函t，则为定常非线性系统。 若存在状
2、态矢量xe，对所有时间t都能使f (xe,t) 0 ，称xe为系统的平衡状态。线性定常系统的平衡状态 平衡状态需要满足Axe 0 当A为非奇异矩阵时，系统存在唯一的平衡状态xe0； 当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。非线性系统的平衡状态 可以有一个或者多个,平衡状态,稳定性的基本概念,稳定性是系统本身固有的，与输入无关。,稳定性的几个定义,李雅普诺夫意义下的稳定 渐进稳定 大范围渐进稳定 不稳定,李雅普诺夫意义下的稳定性,说明： S() -定义一个以平衡状态为中心半径为的邻域，系统的运动状态保持在该邻域内； S( ) -定义一个以平衡状态为中心半径为的邻域，为了满足系统的运动状态保
3、持在S() 内，系统的初始状态应该在S( ) 内。,渐进稳定,大范围渐进稳定,不稳定,稳定 渐进稳定 不稳定,分析下列系统的稳定性,表面有摩擦,李雅普诺夫稳定性判别方法,第一法（间接法）：先求解系统的微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。第二法（直接法）：构造李雅普诺夫函数，根据这个函数的性质判断系统的稳定性。适用与任何复杂系统,4.2 李雅普诺夫第一法（间接法）,线性定常系统,提问：有没有可能出现状态不稳定而输出稳定的情况？有没有可能出现输出不稳定而状态稳定的情况？,非线性系统,xe为平衡状态，f(x,t)为与x同维的矢量函数，且对x具有连续的偏导数。,将非线性矢量函数f(x,t)在
4、xe邻域内展开为泰勒级数,其中R(x)为级数展开式中的髙阶导数项。,若令 则可以得到系统的线性化方程,在线性近似的基础上，用线性系统稳定性的判别定理。,举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统的稳定性,第一步：令,求得系统的平衡状态,第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化,求近似线性系统的特征根：1，+1， 所以系统在平衡状态x1e不稳定,第三步：将系统在平衡状态x2e附近线性化,求近似线性系统的特征根：j，+j，实部为0；所以系统在平衡状态x2e的稳定性用线性化方程无法判断。,课堂练习：用李雅普诺夫第一法判断下列系统的稳定性,第一步：令,求得系统唯一的平衡状态,第二步：将系统在平衡状态附近线性
5、化,第三步：求近似线性系统的特征根：1，2所以系统在平衡点渐进稳定。,4.3 李雅普诺夫第二法（直接法）,基本思路： 一个系统被激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐衰减，当能量最小时，达到平衡状态，那么这个平衡状态是渐进稳定的。 反之，如果系统不断从外界吸收能量，存储能量的能量越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的。,李雅普诺夫函数： 一个正定的标量函数V(x) 虚拟的广义能量函数 根据dV(x)/dt的符号（能量的变换规律）判断系统的稳定性，,4.3.1预备知识 1.标量函数的符号性质,设V(x)为n维矢量x所定义的标量函数， ，且在x=0处，恒有V(x)=0。对于所有在域 中的任何非零矢
6、量x，如果：1）V(x) 0，则称V(x)为正定。例如V(x)=x12 +x22； 2）V(x) 0，则称V(x)为半正定（或非负定）。例如V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=(x12 +2x22)； 4）V(x) 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如 V(x)= -(x1 +x2)2； 5）V(x) 0或者V(x) 0，则称V(x)为不定的。例如V(x)=x1 +x2；,2二次型标量函数,设x1，x2， ，xn为n个变量，定义二次型标量函数为,如果pij=pji，则称P为实对称阵。,对于二次型函数， 若P为实对称阵，则必存在正交矩阵T，通
7、过变换,，使之化成,上式，为二次型函数的标准型。它只包含变量的平方项，其中为对称阵P的互异特征值，且均为实数。,二次型函数的标准型,二次型函数的标准形正定的充要条件式对称阵P的所有特征值,均大于零。,矩阵P的符号性质,设P为nn的实对称阵，V(x)=xTPx为由P所决定的二次型函数。 1）若V(x)正定，则P正定，记做P 0； 2）若V(x)负定，则P负定，记做P 0； 3）若V(x)半正定（非负定），则P半正定（非负定），记做P 0； 4）若V(x)半负定（非正定），则P半负定（非正定），记做P 0；矩阵P的符号性质与它所定义的二次型函数V(x)的符号性质完全一致。因此判断V(x)的符号只要判断P的符号即可（希尔维斯特判据，Sylvester）。,3希尔维斯特判据,
