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类型稳定性与鲁棒性lecture2——稳定性基础.ppt

  • 上传人:yjrm16270
  • 文档编号:5552214
  • 上传时间:2019-03-07
  • 格式:PPT
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    稳定性与鲁棒性lecture2——稳定性基础.ppt
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    1、稳定性与鲁棒性基础,Lecture2: 稳定性,稳定性的定义,当一个实际的系统处于一个平衡的状态时(就相当于小球在木块上放置的状态一样)如果受到外来作用的影响时(相当于对小球施加的力),系统经过一个过渡过程仍然能够回到原来的平衡状态,我们称这个系统就是稳定的,否则称系统不稳定。一个控制系统要想能够实现所要求的控制功能就必须是稳定的. 稳定性是系统运行的核心问题.,稳定性的萌芽思想,2000年前 ,汉朝的淮南王刘安 淮南子说山训 :“下轻上重,其覆必易”; 宋朝沈括在 梦溪笔谈中把这种观察到的事实付诸于应用 ,他在忘怀录 中指出:“安车车轮不欲高,高则摇” ; 类似稳定,至少可以追溯1500年前

    2、到晋书上所述“行人安稳,布帆无恙” ; 西方“stable”源出于拉丁文“stabilis” ,表示坚持、保持的意思; 以上说法与观念表现了对稳定这一概念的最初理解。,稳定性科学概念的发展,18世纪下半叶到19世纪末 ,发生了一些具有深远影响的事件,从中人们可以看到稳定性理论产生的必然性。J. Watt 1765改进了T. Newcomen 发明的蒸气机 ,引发了工业革命; J. L. Lagrange 1780年出版 分析力学,科学地讨论了平衡位置的稳定性; C. Hermite 1856年建立了关于多项式对根交错的理论; J. C. Maxwell 1868年发表的“论调节器” ,讨论了蒸

    3、气机自动调速器与时钟机构的运动稳定性;,A.L. Cauchy 在19世纪给出了关于极限描述的,N语言; H. Poincare在微分方程定义的积分曲线和天体力学方面作出了贡献; G. Peano,I. Bendixson和G. Darboux微分方程解对初值及参数连续依赖性的研究。上述这些重要事件及相关科学的进展促成了19世纪末稳定性理论的两个主要学派的形成。,两个主要学派,Routh-Hurwitz (1875,1895)通过判断系统的特征根是否在左半平面判定系统是否稳定;A.M. Lyapunov 1892发表著名的博士论文运动稳定性一般问题,通过考察系统能量是否衰减来判定稳定性。,稳定

    4、性的研究方法,Lyapunov函数法 大概也是迄今为止唯一的纯粹非线性 线性化方法 包括一点线性化,逐点线性化(完全线性化)本质上依赖于系统解析解的方法(仅限于线性系统) 特征值法(极点法) 含时域、频域等仅适用于定常系统注意:时变系统(“缓变系统”除外)一般而言:即便是线性的,特征值也毫无意义的,数值仿真法(也属于近似方法) 近似方法(既非必要,也非充分,数学基础也不完善) 描述函数法(谐波线性化方法),本质上的频域方法 相平面法(仅适用于平面系统(2阶),BIBO稳定性,假设系统H的描述方程x(t)Rn是系统的内部状态,u和y分别是系统外部输入信号和输出信号,如图任意输入u,系统H都有一个

    5、响应信号y与之对应:y=Hu 从数学意义上,H为输入函数空间U到输出函数空间Y的一个映射或算子,定义:对于算子H:LL,若存在两常数0和b0,使得成立,则称算子H是BIBO稳定的. 注:1、BIBO稳定意味着任何一个有界输入的激励响应都是有界的;2、不等式(1)并不局限于L空间,只要输入在某种范数意义下有界,输出就在同一范数意义下有界.,(1),考察线性系统(A,B,C)的BIBO稳定性 定理2.1 若In(A)=(0,n,0), 则系统 (A,B,C)是BIBO稳定性的 证明:系统(A,B,C)的输出响应表达式为由于In(A)=(0,n,0), 响应表达式(2)中状态转移矩阵有界,即对(2)

    6、取范数令 则,(2),即,系统是BIBO稳定的,小增益定理,增益:描述在由输入到输出的信号传递过程中,系统对信号的强度放大或缩小的一种度量。 控制系统的增益一般用算子范数定义 例:用增益讨论BIBO稳定,系统系统输出若存在 ,使得,则系统BIBO稳定。,小增益定理:对于系统H1, H2,如果存在以及 ,使得对任意 成立,且 ,则对任意的,小增益定理等价描述:若系统H1, H2的增益满足 ,则闭环系统是BIBO稳定的。 例:如图,系统满足(0)=0, 0k1(y)/y k2求系统BIBO稳定的条件。 解:相应的根据算子范数定义由 ,得系统稳定的充分条件为,Lyapunov稳定性,一、系统状态的运

    7、动及平衡状态 齐次状态方程: 初始条件(t0, X0)下,有唯一解X=(t; X0, t0), X=(t; X0, t0) 描述了系统在n维空间中从初始状态 (t0, X0)出发的一条状态运动轨迹。称为运动轨迹或状态轨迹。 平衡状态:若存在状态向量Xe,对所有t,都有 f (Xe, t)0 成立,则称Xe为系统的平衡状态或平衡点。 平衡状态不一定存在,也不一定唯一 如: 其平衡状态有:,Lyapunov稳定性是相对于平衡点而言的!,二、稳定性的几个定义 1、Lyapunov意义下的稳定 如果系统 对任意实数0,都对应存在实数(, t0) 0 ,使当 时,从任意初态X0出发的解都满足则称平衡状态

    8、Xe是Lyapunov意义下稳定的。 其中,实数与有关,一般也与t0有关。如果与t0无关,则称这种平衡状态是一致稳定的。,2、渐近稳定 如果平衡状态Xe是稳定的,而且当t无限增大时,轨线不仅不超出 ,而且最终收敛于Xe,则称这种平衡状态Xe是渐近稳定的。即有:,3、全局稳定 若存在一个含平衡状态Xe为内点的区域S,使得对任意的x0S,均有x(t)=x(t,x0,t0)S,且则称S为系统的平衡状态的吸引域若系统的平衡状态Xe是稳定的,且其吸引域为Rn,则称系统的平衡状态Xe是全局稳定的,4、全局渐近稳定 如果平衡状态Xe是渐近稳定的,且吸引域是整个状态空间(Rn),则Xe为全局渐近稳定的,其必要

    9、条件是整个状态空间只有一个平衡点。 线性系统:渐近稳定 全局渐近稳定 非线性系统:S()一般较小,小范围渐近稳定。 5、不稳定 如果对于某个实数0和任一实数0 ,不管多么小,由S()出发的状态轨线,至少有一条轨线越过S() ,则称 Xe为不稳定。,6、指数稳定 若系统在平衡状态Xe是渐近稳定的,且存在0和0,使得成立。则称系统的平衡状态Xe是指数稳定的 如果上式对任意的x0 Rn 均成立,则称平衡点Xe是全局指数稳定的,三、 Lyapunov稳定定理 不失一般性,设系统 的平衡状态Xe 0,下面讨论其稳定或渐近稳定的条件 设V(x,t)是连续可微的正定函数,若V沿着系统(3)解的轨迹对t求导,

    10、其导数半负定且连续,则称V(x,t)是方程(3)关于平衡状态Xe的Lyapunov函数 Lyapunov稳定定理:对于系统(3),若存在Lyapunov函数V(x,t),则Xe 0是该系统稳定平衡点。 Lyapunov渐近稳定定理:对于系统(3),若存在Lyapunov函数V(x,t)和负定函数W(x),满足则Xe 0是该系统渐近稳定平衡点。,(3),Lyapunov指数稳定定理:对于系统(3),若存在Lyapunov函数V(x,t)满足:其中,r10, r20,0为给定常数,则平衡点Xe 0是指数稳定的 以上定理中,若初始条件x0 Rn ,则平衡点Xe 0为全局指数稳定的 线性系统全局指数稳

    11、定:若系统 的零解是渐近稳定的,则该系统全局指数稳定,对Lyapunov函数的说明: (1)V(X)是正定的标量函数; (2)并非所有系统都能找到V(X)来证明该系统稳定或者不稳定; (3) V(X)如果存在,一般是非唯一的,但关于稳定性的结论是一致的; (4)V(X)最简单的形式是二次型V(X)=XTPX; (5)V(X)只是提供平衡点附近的运动情况,丝毫不能反映域外运动的任何信息; (6)构造V(X)需要一定的技巧。,四、Lyapunov方法在线性系统中的应用 线性定常连续系统渐近稳定性判据:设线性定常系统为: ,则平衡状态Xe0为全局渐近稳定的充要条件是:对任意给定的正定实对称矩阵Q,必

    12、存在正定的实对称矩阵P,满足Lyapunov方程: ATP+PA=-Q 且V(X)=XTPX就是Lyapunov函数。 线性定常离散系统渐近稳定性判据:设线性定常系统为:x(k+1)=x(k),则平衡状态Xe0为全局渐近稳定的充要条件是:对任意给定的正定实对称矩阵Q,必存在正定的实对称矩阵P,满足Lyapunov方程: T P -P =-Q 且V(X)=XTPX就是Lyapunov函数。,说明: (1)一般先取正定矩阵Q,带入Lyapunov方程,求出P,判别P的正定性,从而判断系统的稳定性; (2)通常取QI,以方便计算; (3)判据是充分必要的 A的特征值均具有负实部。,五、Lyapuno

    13、v方法在非线性系统中的应用 Lyapunov方法用于非线性系统只能说明局部稳定性,而且只是充分条件而非必要条件。 1、雅可比(Jacobian)矩阵法 又称克拉索夫斯基(krasovski)法 设非线性系统: 假设原点Xe=0是其平衡状态,系统的雅可比矩阵,非线性系统稳定性充分判据: 任给定正定实对称矩阵P,使下列矩阵:为正定的。并且是系统的一个Lyapunov函数。如果当 时,有则Xe=0是全局渐近稳定的。,例题:系统方程: ,用雅可比矩阵法分析稳定性。 解:取PI,所以Q(X)是正定的。原系统稳定。且李氏函数:当 时,有 ,故系统是全局渐近稳定的。,2、变量梯度法变量梯度法又称为舒茨基布逊

    14、(Shultz-Gibson)法,由此二人在1962年提出。变量梯度法是基于以下事实:若能找到一个Lyapunov函数,证明系统是渐近稳定的,则这个Lyapunov函数的梯度是必定存在而且是唯一的。则V(X)对时间的导数可表示为:,基本思路:,先假定 具有某种形式(系数待定),根据 负定确定待定系数,由 求,判别 的正定性,步骤: (1)假设 为一待定系数的n维向量:(2)根据 负定来确定待定系数 (3)由 求 : 这是一个线积分。 线积分与路径无关的条件: 的旋度为0,即:,若满足以上旋度为0的条件,则有(4)判别V(X)的正定性 说明:即使用以上方法找不到合适的V(X) ,也不能说系统就是

    15、不稳定的。 例题:用变量梯度法分析以下系统的稳定性。,解:(1)假设(2)求欲使 负定,可选 则,为约束条件 在此条件下有:(3)求V(X) 先判断积分条件: 满足积分条件。,(4) V(X)正定所以在x1x21的范围内,平衡点Xe=0是渐近稳定的。在步骤(2)中,也可以选取其它的能使 负定的系数aij,渐近稳定的结论不会改变,但约束条件可能发生变化。,生态系统中的生物有出生和死亡,迁入和迁出;无机环境也在不断变化,因此,生态系统总是在发展变化的。生态系统发展到一定阶段,它的结构和功能能够保持相对稳定。生态系统所具有的保持或恢复自身结构和功能相对稳定的能力,叫做生态系统的稳定性。例如,当气候干

    16、旱时,森林中的动植物种类和数量一般不会有太大的变化,这说明森林生态系统具有抵抗气候变化、保持自身相对稳定的能力。生态系统的稳定性包括抵抗力稳定性和恢复力稳定性等方面。,生态系统的稳定性,抵抗力稳定性是指生态系统抵抗外界干扰并使自身的结构和功能保持原状的能力。生态系统之所以具有抵抗力稳定性,是因为生态系统内部具有一定的自动调节能力。例如,河流受到轻微的污染时,能通过物理沉降、化学分解和微生物的分解,很快消除污染,河流中生物的种类和数量不会受到明显的影响。再比如在森林中,当害虫数量增加时,食虫鸟类由于食物丰富,数量也会增多,这样害虫种群的增长就会受到抑制。,抵抗力稳定性,恢复力稳定性是指生态系统在

    17、遭到外界干扰因素的破坏以后恢复到原状的能力。河流被严重污染后,导致水生生物大量死亡,使河流生态系统的结构和功能遭到破坏。如果停止污染物的排放,河流生态系统通过自身的净化作用,还会恢复到接近原来的状态。再比如,一片草地上发生火灾后,第二年就又长出茂密的草本植物,动物的种类和数量也能很快恢复。,恢复力稳定性,对一个生态系统来说,抵抗力稳定性与恢复力稳定性之间往往存在着相反的关系。抵抗力稳定性较高的生态系统,恢复力稳定性就较低,反之亦然。例如,森林生态系统的抵抗力稳定性比草原生态系统的高,但是它的恢复力稳定性要比草原生态系统低得多。热带雨林一旦遭到严重破坏(如乱砍滥伐),要想再恢复原状就非常困难了。,生态系统稳定性的保护,人类的活动正在改变着自然界中各种生态系统的稳定性,导致出现了全球性的环境危机,如酸雨、温室效应等。人类在发展经济的同时,应当针对各种生态系统的稳定性特点,采取相应的保护对策,保护各种生态系统的相对稳定,这样才能使人与自然协调发展。草原生态系统的抵抗力稳定性较低,在草原上适当栽种防护林,可以有效地防止风沙的侵蚀,提高草原生态系统的稳定性。再比如避免对森林过量砍伐,控制污染物的排放,等等,都是保护生态系统稳定性的有效措施。,生态系统稳定性的保护,

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