1、2019/7/3,几 何 光 学,2019/7/3,第三章 几何光学的基本原理,3-1几何光学的基本定律,一、光的直线传播定律 在均匀介质中，光沿直线传播。光的直线传播是我们日常生活中司空 见惯的现象。 如：小孔成像：,二、光的反射定律和折射定律,1、光的反射定律 ：反射光线、入射光线总是和法线处在同 一平面(入射面)内，入射光线和反射光线分 居于入射点界面法线的两侧，反射角等于 入射角。,入射光线,反射光线,法线,i,i,2、光的折射定律：,折射光线与入射光线和法线同处在一个,平面上，入射光线和折射光线分居于法线,两侧；入射角与折射角的正弦之比是一个,取决于两介质光学性质及光的波长的常量。,
2、2019/7/3,1、光的反射定律 ：反射光线、入射光线总是和法线处在同 一平面(入射面)内，入射光线和反射光线分 居于入射点界面法线的两侧，反射角等于 入射角。,2、光的折射定律：,折射光线与入射光线和法线同处在一个,平面上，入射光线和折射光线分居于法线,两侧；入射角与折射角的正弦之比是一个,取决于两介质光学性质及光的波长的常量。,n21称为介质2相对于介质1的相对折射率。,其中：,又称：斯涅耳定律,相对于真空的折射率称为绝对折射率，其定义为：,c:光在真空中的传播速度,则：,折射定律为：,3、光的可逆性原理,2019/7/3,n21称为介质2相对于介质1的相对折射率。,其中：,又称：斯涅耳
3、定律,相对于真空的折射率称为绝对折射率，其定义为：,c:光在真空中的传播速度,则：,折射定律为：,3、光的可逆性原理,如果反射光或折射光的方向反转，光线将按原路返回。,4、光的独立传播定律 光在传播过程中与其它光线相遇时，不改变传播方向，各光线之间互不受影响，各自独立传播，会聚处，光能量简单相加。,几何光学的适用范围：,空间障碍物以及反射折射面的线度远远大 于光的波长的情况。,2019/7/3,二、费马原理,古代科学家(如公元前2世纪的埃及人Hero)猜想光的传播遵从最短时间法则，即从A点到B点，光线沿最短时间的路径行进：,A,B,后来实验发现：绝大部份情况下，光程取极小值， 但也有光程取极大
4、值和恒定值的情形。 费马原理：光从一点传播到另一点将循着这样一 条路径，光沿这条路径传播所需要的时 间同附近的路径比起来，不是最大，便 是最小，或者相同。换句话说，光沿着 所需时间为极值的路径传播。,光在介质中的速度；,显然，,光在介质中经过,路程所需时间,等于光在真空中经过,路程所需时间,定义光程: 折射率 n 与路程 l 的积,2019/7/3,若由A到B充满着折射律连续变化的介质，则光由A到B的总光程为,后来实验发现：绝大部份情况下，光程取极小值， 但也有光程取极大值和恒定值的情形。 费马原理：光从一点传播到另一点将循着这样一 条路径，光沿这条路径传播所需要的时 间同附近的路径比起来，不
5、是最大，便 是最小，或者相同。换句话说，光沿着 所需时间为极值的路径传播。,光在介质中的速度；,显然，,光在介质中经过,路程所需时间,等于光在真空中经过,路程所需时间,定义光程: 折射率 n 与路程 l 的积,所用时间为：,时间 t 有极值的条件是定积分的变分为零。即,或,费马原理的数学表示,2019/7/3,若由A到B充满着折射律连续变化的介质，则光由A到B的总光程为,所用时间为：,时间 t 有极值的条件是定积分的变分为零。即,或,费马原理的数学表示,3-2 棱镜和全反射,一、棱镜：透明介质制成的棱柱体 如：三菱镜,：棱镜的顶角,分析：,：出射光线方向与入射光线方向的夹角,称：偏向角,外角等
6、于不相邻的两个内角之和,2019/7/3, 3-2 棱镜和全反射,一、棱镜：透明介质制成的棱柱体 如：三菱镜,：棱镜的顶角,分析：,：出射光线方向与入射光线方向的夹角,称：偏向角,外角等于不相邻的两个内角之和,又,则,设棱镜的折射率为n，,由折射定律得,联立求得：,实验和理论证明：,时，,偏向角最小，有,通常，实验中测量,和,测定n。,二、全反射,2019/7/3,则,设棱镜的折射率为n，,由折射定律得,联立求得：,实验和理论证明：,时，,偏向角最小，有,通常，实验中测量,和,测定n。,二、全反射,图中，光从水中发出，以不同的入射角度射向空气，所产生的折射和全反射的情形。,由折射定律：,时，发
7、生全反射。,此时，入射角称为：临界角,显然，,即：,光由光密介质射向光疏介质时，入射角 大于或等于临界角时，发生全反射。光由光疏介质射向光密介质时，不发生 全反射。,2019/7/3,由折射定律：,时，发生全反射。,此时，入射角称为：临界角,显然，,即：,光由光密介质射向光疏介质时，入射角 大于或等于临界角时，发生全反射。光由光疏介质射向光密介质时，不发生 全反射。,二、全反射,全反射的应用：,1.全反射棱镜,(a)改变路径的方向；,(b)使看到的物体变为倒立；,(c)同时改变路径的方向和使像变为倒立。,（d）,(d)潜水望远镜利用两个三棱镜来改变光线的行进方向，形成正立的像。,2019/7/
8、3,全反射的应用：,1.全反射棱镜,(a)改变路径的方向；,(b)使看到的物体变为倒立；,(c)同时改变路径的方向和使像变为倒立。,(d)潜水望远镜利用两个三棱镜来改变光线的行进方向，形成正立的像。,（d）,2.光导纤维,2019/7/3,2.光导纤维,水柱引导光线的行进,2019/7/3,3-3 成像的基本概念,一、同心光束,有一定关系的光线的集合，称为光束。若光束相交于一点，这样的光束称 为：同心光束,在各向同性均匀介质中，同心光束与球面波相对应；发光点在无穷远的同心光束，与平面波相对应。,二、成像、物和像的分类,同心光束的三要素:,中心、主光线、立体角,实物 未经光学系统变换的发散同心光
9、 束的心，称为实物,虚物 未经光学系统变换的会聚同心光束的心，称为虚物,实像 经光学系统变换后的会聚同心光束的心，称为实像,虚像 经光学系统变换后的发散同心光束的心，称为虚像,2019/7/3,虚物实像,实物实像,会聚同 心光束,发散同 心光束,会聚同 心光束,会聚同 心光束,实物 未经光学系统变换的发散同心光束的心，称为实物,虚物 未经光学系统变换的会聚同心光束的心，称为虚物,实像 经光学系统变换后的会聚同心光束的心，称为实像,虚像 经光学系统变换后的发散同心光束的心，称为虚像,二、成像、物和像的分类,2019/7/3,3-4 单球面折射成像,光学系统的组成：,透镜、反射镜等成像元件。,这些
10、元件的表面：一般多为：球面或平面；光通过球面的折射和反射成像是最基本 的成像。如图：,主光轴(optical axis)- 光学系统的对称轴,物点S(光轴上)，,折射点A、O,像点,一、长度和角度的符号规定 1.主光轴上的点对应的长度：一般以顶点O起算：顶点到点的方向与入射方向一致， 值为正；反之为负。如图：,0；,0；,2.轴外点对应的高度：,点到主光轴的距离,上方为正 下方为负,3.光线方向对应角：,光线与主光轴 光线与面法线,小于900的夹角,由主光轴或法向转向光线时,顺时针为正 逆时针为负,如图：,二、轴上点近轴（傍轴）光线成像的物象公式,.,2019/7/3,一、长度和角度的符号规定
11、 1.主光轴上的点对应的长度：一般以定点O起算：顶点到点的方向与入射方向一致， 值为正；反之为负。如图：,0；,0；,2.轴外点对应的高度：,点到主光轴的距离,上方为正 下方为负,3.光线方向对应角：,光线与主光轴 光线与面法线,小于900的夹角,由主光轴或法向转向光线时,顺时针为正 逆时针为负,如图：,二、轴上点近轴（傍轴）光线成像的物象公式,近轴（傍轴）光线(paraxial ray)- 与光轴夹角较小，并靠近光轴的光线,公式导出：,SAC中，由正弦定理：,SAC中，由正弦定理：,由折射定律得：（A点）,联立以上三式，可得：,2019/7/3,公式导出：,SAC中，由正弦定理：,SAC中，
12、由正弦定理：,由折射定律得：（A点）,联立以上三式，可得：,不等于常数,即：u不同的光线并不交于一点。因此， 出射光束不是同心光束，并不成像。,像散光束,在近轴条件下：,D点逼近O点，近似重叠。,均很小，故,得：,近轴成像的物象公式,三、焦点和焦距,1.焦点： 像方焦点：,物位于无穷远处，入射光线 平行于主光轴，其像点为像方焦点。 物方焦点：,物位于光轴某点，折射光线 平行于主光轴，该点点为物方焦点。,2019/7/3,得：,近轴成像的物象公式,1.焦点： 像方焦点：,物位于无穷远处，入射光线 平行于主光轴，其像点为像方焦点。 物方焦点：,物位于光轴某点，折射光线 平行于主光轴，该点点为物方焦
13、点。,2.焦距：,像方焦距：,物方焦距：,3.光焦度,单位：屈光度（D）（m-1）,则，,三、焦点和焦距,讨论： （1）光焦度、焦距仅同n、n、r有关， 表征了系统的光学特征； （2） n n时， 凸球面：0,f 0，有实的像方焦点，系统对光束有会聚作用； 凹球面： 0,f 0，有虚的像方焦点，系统对光束有发散作用；当n n时，则反之。 （3）f 的绝对值越小（的绝对值 越大），会聚或发散能力越强。,四、高斯公式和牛顿公 式 1、高斯公式,2、牛顿公式,2019/7/3,四、高斯公式和牛顿公 式 1、高斯公式,2、牛顿公式,则有：,后面可知，上面两公式也适用于 薄透镜和共轭理想光具组。,五、垂
14、轴小物成像和横向放大 率,条件：近轴光线、近轴小物,横向放大率(垂轴放大率)：,与,相似，对应边成比例：,利用近轴成像的物象公式，焦距 公式， 高斯公式和牛顿公式可得：,该公式普遍适用。,2019/7/3,横向放大率(垂轴放大率)：,与,相似，对应边成比例：,利用近轴成像的物象公式，焦距 公式， 高斯公式和牛顿公式可得：,该公式普遍适用。,例题1（P21）折射率为1.5的长玻璃棒， 左端磨成半径为4cm的凸半球面，长为 4mm的物垂直立于棒轴上，离球面顶点 12cm，求像的位置。,解：可用三个等效公式计算,（1）物像公式,1.5,(-12),4,(-12),+,1.5,(-12),36(cm)
15、,2019/7/3,例题1. 折射率为1.5的长玻璃 棒， 左端磨成半径为4cm的凸半球面，长为 4mm的物垂直立于棒轴上，离球面顶点 12cm，求像的位置。,解：可用三个等效公式计算,（1）物像公式,1.5,(-12),4,(-12),+,1.5,(-12),36(cm),（2）高斯公式,36(cm),（3）牛顿公式,=24(cm),=12+24=36(cm),横向放大率,=-2,2019/7/3,六、角放大率和拉格朗日-亥姆霍兹公式,1、角放大率,在近轴条件下：,定义：,则,又,2*、拉格朗日-亥姆霍兹公式,又,则,即：,一对共轭点之 间，,的乘积等于他们共轭量的乘积，即 折射前后不变。,
16、称拉格朗日-亥姆霍兹不变量。,七、经多个球面的折射成 像,共轴光学系统：球心在同一条直线上的 一系列折射球面或反射球面组成。 该直线是整个光学系统的主光轴。 其成像计算：逐次成像的方法计算。,2019/7/3,2*、拉格朗日-亥姆霍兹公式,又,则,即：,一对共轭点之 间，,的乘积等于他们共轭量的乘积，即 折射前后不变。,称拉格朗日-亥姆霍兹不变量。,七、经多个球面的折射成像,共轴光学系统：球心在同一条直线上的 一系列折射球面或反射球面组成。 该直线是整个光学系统的主光轴。 其成像计算：逐次成像的方法计算。,八、平面折射成像,球面半径,时，特殊情况。,在满足近轴条件下，,得,分析可知： 1.,同
17、 号，,表明像和物在界面的,同侧。,2. 实物（,0， 则,0），成虚像；,虚物则成实像。,3. 横向放大率,表明物和像等大，且正立。,注意：上述分析均为近轴情况下成立。 一般情况下，平面折射不能成像。 问题：为什么我们能在水面上看清水下的物体呢？,2019/7/3,八、平面折射成像,球面半径,时，特殊情况。,在满足近轴条件下，,得,分析可知： 1.,同 号，,表明像和物在界面的,同侧。,2. 实物（,0， 则,0），成虚像；,虚物则成实像。,3. 横向放大率,表明物和像等大，且正立。,注意：上述分析均为近轴情况下成立。 一般情况下，平面折射不能成像。 问题：为什么我们能在水面上看清水下的物体
18、呢？,水,空气,这些折射光线的延长线并不相交于一点； 平面折射不能成像。 眼睛的瞳孔很小（直径约3mm),仅可见,很少部分光线，,这些光线近似交于一点。,即：当观察装置足够小时，平面折射也能成像。,当眼睛由垂直位置向旁侧移动时，虚像 位置逐渐移向水面。,2019/7/3,水,空气,这些折射光线的延长线并不相交于一点； 平面折射不能成像。 眼睛的瞳孔很小（直径约3mm),仅可见,很少部分光线，,这些光线近似交于一点。,即：当观察装置足够小时，平面折射也能成像。,当眼睛由垂直位置向旁侧移动时，虚像 位置逐渐移向水面。,3-5 单球面反射成像,令折射定律 中,即可得反射定律,代入折射物像公式,得,反
19、射物像公式,同理可得,2019/7/3,1-6 单球面反射成像,令折射定律 中,即可得反射定律,代入折射物像公式,得,反射物像公式,同理可得,物方焦距,像方焦距,光焦度,单位：屈光度（D）（m-1）,近轴小物成像的横向放大率：,讨论： 1、凸球面 r0,凹球面 r 0; 2、物方焦点与像方焦点重合，凸球面时为虚焦点、凹球面时为实焦点。,2019/7/3,物方焦距,像方焦距,光焦度,单位：屈光度（D）（m-1）,近轴小物成像的横向放大率：,讨论： 1、凸球面 r0,凹球面 r 0; 2、物方焦点与像方焦点重合，凸球面时为虚焦点、凹球面时为实焦点。,1-6 薄 透 镜,薄透镜：两个折射球面顶点之间
20、的距离很小的透镜,凸透镜,凹透镜,通常,一、由逐次法推导薄透镜成像公式,可以认为，两球面顶点重合，称为光心。,2019/7/3,1-7 薄 透 镜,薄透镜：两个折射球面顶点之间的距离很小的透镜,凸透镜,凹透镜,通常,一、由逐次法推导薄透镜成像公式,可以认为，两球面顶点重合，称为光心。,物P经球面o1成像,对第二球面o2是虚像，,成像与,两式相加得,二、焦点、焦距、焦平面,1、焦点与焦距,2019/7/3,物P经球面o1成像,对第二球面o2是虚像，,成像与,两式相加得,二、焦点、焦距、焦平面,时，像位称像方焦点，,此时像距也,称像方焦距：,时，物位称物方焦点，,此时物距也,称物方焦距：,显然，,
21、若, 0,会聚透镜；,若, 0,发散透镜。,上两式相比得：,同球面折射中公式相同，,的物理意义相同。,1、焦点与焦距,2、焦平面 过焦点而垂直于主光轴的平面。,2019/7/3,时，像位称像方焦点，,此时像距也,称像方焦距：,时，物位称物方焦点，,此时物距也,称物方焦距：,显然，,若, 0,会聚透镜；,若, 0,发散透镜。,上两式相比得：,同球面折射中公式相同，,的物理意义相同。,2、焦平面 过焦点而垂直于主光轴的平面。,称 ：物方焦平面和像方焦平面,因为焦点的共轭点位主光轴上无限远， 则焦平面的共轭面也在无限远。从而有：,来自于无穷远的平行光线会聚于焦平面, 过透镜光心的光线 不改变方向（副
22、光轴）；, 平行光线会聚一点；,2019/7/3,因为焦点的共轭点位主光轴上无限远， 则焦平面的共轭面也在无限远。从而有：,来自于无穷远的平行光线会聚于焦平面, 过透镜光心的光线 不改变方向（副光轴） ；, 平行光线会聚一点；,三、高斯公式与牛顿公式 横向放大率,两边除以得：,将焦距公式,代入得出薄透镜的高斯公式,2019/7/3,三、高斯公式与牛顿公式 横向放大率,两边除以得：,将焦距公式,代入得出薄透镜的高斯公式,代入,得,牛顿公式,下面讨论横向放大率：,薄透镜由两个球面组成，故放大率 等于两个球面放大率的乘积：,将公式,四、空气中的薄透镜,薄透镜置于空气中时，,上述相关公式变为：,201
23、9/7/3,代入,得,牛顿公式,下面讨论横向放大率：,薄透镜由两个球面组成，故放大率 等于两个球面放大率的乘积：,四、空气中的薄透镜,薄透镜置于空气中时，,上述相关公式变为：,磨镜者公式,光焦度：,高斯公式：,牛顿公式 ：,横向放大率：,会聚点到光轴的距离：,x,五、密接的薄透镜,2019/7/3,光焦度：,高斯公式：,牛顿公式 ：,横向放大率：,会聚点到光轴的距离：,x,五、密接的薄透镜,得：,令,，得像方焦距,光焦度：,对密接系统而言，光焦度可以相加。,2019/7/3,得：,令,，得像方焦距,光焦度：,对密接系统而言，光焦度可以相加。,六、作图求像法,基本法则：,1、三条特殊光线 平行于
24、主光轴的入射光线，经透镜 后通过像方焦点（对于发散透镜，延长 线通过像方焦点）；通过物方焦点的入射光线（对于发 散透镜，延长线通过物方焦点），经 透镜后平行于主光轴；对于空气中的透镜（或两边介质相 同），通过镜心（光心）的光线方向 不变。 2、焦平面性质 平行于副光轴的入射光线经过透镜后， 会聚于（或反向延长线相交）该副光轴 与像方焦平面的焦点； 过物方焦平面上轴外一点（或延长线 经过物方焦平面上轴外一点）的入射光 线经过透镜后平行于过该点的副光轴。,2019/7/3,六、作图求像法,基本法则：,1、三条特殊光线 平行于主光轴的入射光线，经透镜 后通过像方焦点（对于发散透镜，延长 线通过像方焦
25、点）；通过物方焦点的入射光线（对于发 散透镜，延长线通过物方焦点），经 透镜后平行于主光轴；对于空气中的透镜（或两边介质相 同），通过镜心（光心）的光线方向 不变。 2、焦平面性质 平行于副光轴的入射光线经过透镜后， 会聚于（或反向延长线相交）该副光轴 与像方焦平面的焦点； 过物方焦平面上轴外一点（或延长线 经过物方焦平面上轴外一点）的入射光 线经过透镜后平行于过该点的副光轴。,画出下面各图中的共轭光线：,2019/7/3,例2.一双凸透镜两球面的曲率半径都是12cm， 透镜的折射率为1.5，若将透镜 （1）置于空气中， （2）置于折射率1.62CS2中，求透镜的焦距。,解：,（1）置于空气中
26、,（2）置于折射率1.62CS2中,由公式,例3.一双凸透镜两球面的曲率半径都是100 cm，透镜的折射率为1.5，一高为2cm的物 体在光轴距透镜20cm，物方为空气n1=1, 像方为水n2=1.33,求物体经透镜所成的像， 并作图。,可见，当凸透镜置于比其折射率大 的介质中时，透镜的像方焦距（或光 焦度）为负，它是一个发散透镜。,解：,已知,（一般习惯常用高斯公式和焦距公式）,由公式,2019/7/3,例3.一双凸透镜两球面的曲率半径都是100 cm，透镜的折射率为1.5，一高为2cm的物 体在光轴距透镜20cm，物方为空气n1=1, 像方为水n2=1.33,求物体经透镜所成的像， 并作图。,解：,已知,（一般习惯常用高斯公式和焦距公式）,由焦距公式,由高斯公式,则像位：,像高：,作图：,在透镜的物方成虚像。,2019/7/3,例4. 凸透镜L1和凹透镜L2的焦距 均为10cm，L2在L1右方35cm处，在L1左方 20cm处放一小物，试求其最后像的位置、 虚实与横向放大率。,解（1）公式法： 作简单示意图：,由高斯公式,横向放大率,以O2为顶点,横向放大率,总横向放大率,（2）作图法,可见最后成像：,在凹透镜L2的物空间成虚像；,成倒像。,
