1、函數及函數值,變數、常數及其對應關係,1,2,1,2,3,5,7,9,12,128,60,90,120,180,360,128,在生活上，我們常會看到兩組數量之間有著特殊 的對應關係。,1,變數、常數及其對應關係,例如：車速固定為每小時 120 公里時，時間 t 小時與距離 S 公里的關係為 S120t。,當一個數量改變時，另一個數量也跟著變化，,隨著時間 t 改變，車行距離 S 也跟著改變，而車速 則是不變的定數，因此我們說 t、S 都是 ， 而 120 是 。,變數,常數,128,此外，面積為 20 平方單位的長方形，當長為 x 單位、寬為 y 單位時，x、y 的關係式為 xy20。,隨著
2、長度改變，寬度也跟著改變，而面積則是不變的定數，因此，在這個例子裡，x、y 都是變數，而 20 是常數。,128,1,變數、常數及其對應關係,在上面的例子中，變數之間的對應關係可用一個關係式表示。關係式中，固定不變的數為常數，而會變動的數為變數。,129,1,變數、常數及其對應關係,由表列觀察變數對應關係,1,座號 2、5、9、14、17 的家庭人口數為 3 人， 因此有 5 位學生。,129,1,變數、常數及其對應關係,由表列觀察變數對應關係,1,每一個座號都是唯一的， 因此給定一個座號可以確定其對應的家庭人口數。,129,1,變數、常數及其對應關係,天數是 30 的有 4、6、9、11 四
3、個月分。,是。,129,1,變數、常數及其對應關係,由圖形觀察變數對應關係,2,右圖為某日高雄港碼頭水位 資料之時間與水位高 度的對應圖。觀察時間與 水位高度的對應關係，試問： (1) 對於每一個時間是否都能對應到唯一的一個水位高度？,由圖中可以觀察到，每一個時間都能對應到唯一的一個水位高度。,130,1,變數、常數及其對應關係,由圖形觀察變數對應關係,2,右圖為某日高雄港碼頭水位 資料之時間與水位高 度的對應圖。觀察時間與 水位高度的對應關係，試問： (2) 對於每一個水位高度是否能對應到唯一的一個時間點？,同一個水位高度可能對應到不同的時間點，例如： 4 點多、8 點多與 15 點多的水位
4、高度都是 90 公分，,因此給定一個水位高度不一定能對應到唯一的一個時間點。,130,1,變數、常數及其對應關係,(1) 對於每一個 x 值是否都能 對應到唯一的一個 y 值？(2) 對於每一個 y 值是否能對應到唯一的一個 x 值？,右圖直線上的任何一個點 P， 其坐標為 ( x , y )。觀察變數 x 與變數 y 的對應關係，試問：,是。,是。,130,1,變數、常數及其對應關係,在例題 1 中，我們發現每一個座號都能對應到唯一的一個家庭人口數。而在例題 2 的隨堂練習中，觀察直線上的任一點 P ( x , y )，在變數 x 與變數 y 的對應關係中，對於每一個 x 值都能對應到唯一的
5、 y 值。,從這兩個例子中，我們可以發現：對於兩個變數 x 與 y，當給定一個 x 值時，只有一個 y 值與之對應，我們稱此對應關係為 y 是 x 的函數，因此例題 1 中的家庭人口數是座號的函數，例題 2 的隨堂練習中 y 是 x 的函數。,131,2,函數及函數值,由關係式判斷函數關係,3,有一面積為 30 平方公分的三角形。若底邊長為x 公分，底邊上的高為 y 公分，則： (1) x、y 的關係式為何？ (2) y 是否為 x 的函數？,131,2,函數及函數值,12 公斤。,是。,131,2,函數及函數值,由表格判斷函數關係,4,因為回收數量 ( x ) 為 204 個時， 對應的班級
6、名稱 ( y ) 有 702 和 708 兩班， 所以 y 不是 x 的函數。,132,2,函數及函數值,因為同一個價格 x 可能對應到不同的餐號 y， 例如：99 元的有 1 號餐和 2 號餐， 所以 y 不是 x 的函數。,132,2,函數及函數值,一般而言，當 y 是 x 的函數時，我們記為 yf (x)， f (x) 讀作 f of x。,函數 yf (x) 在 xa 時的函數值，以 f (a) 表示。,例如：yf (x)2x5，在 x3 時的函數值 y 記 f (3)。將 x3 代入，可得 f (3)2 3511。,不過有時也常用其他英文字來表示函數，例如：g (x)、h (x)、。
7、當給定 x 的一個值 a，就可以得到一個與之對應的 y 值時，我們稱這個 y 值為,133,2,函數及函數值,代入關係式求函數值,5,求下列函數關係式在 x2 時的函數值。 (1) f (x)3x (2) g (x)5 ( x2 ),(1) 將 x2 代入 f (x)3x，f (2 )3 (2 )6，故 x2 時的函數值 f (2 )6。,(2) 將 x2 代入 g (x)5 ( x2 )，g (2 )5 (22 )5 00，故 x2 時的函數值 g (2 )0。,133,2,函數及函數值,求下列函數關係式在 x2 時的函數值： (1) f (x)2x,將 x2 代入 f (x)2x， f (
8、2)224，故 x2 時的函數值 f (2)4。,將 x2 代入 g (x)2 ( 3x4 )， g (2)2 ( 324 )20， 故 x2 時的函數值 g (2)20。,(2) g (x)2 ( 3x4 ),133,2,函數及函數值,當我們知道一個函數 yf (x)，其關係能用數學式 表示時，要求 xa 時的函數值，僅須將 xa 代入 關係式中，所得 f (a) 值即為 xa 時的函數值。,但有時候函數的對應關係不容易表示成數學式， 此時我們通常會從圖形或是表格觀察對應的函數值。,134,2,函數及函數值,從圖形判斷函數值,6,某家電信公司推出一手機費率優 惠專案，其通話時間 x 分與收費
9、 金額 y 元的關係如右圖所示。 設 yf (x)，試求 (1) f (200) 的值。,觀察圖形可知，當通話時間為 200 分鐘時，其對應的收費金額為 700 元，,因此 f (200)700。,134,2,函數及函數值,從圖形判斷函數值,6,某家電信公司推出一手機費率優 惠專案，其通話時間 x 分與收費 金額 y 元的關係如右圖所示。 設 yf (x)，試求 (2) f (80) 的值。,134,2,同理，當通話時間為 80 分鐘時， 其對應的收費金額為 400 元， 因此 f (80)400。,函數及函數值,右圖是變數 x、y 的關係對應圖， 若 yf (x)，試求 f (6) 的值。,
10、從圖形判斷， x6 時， 對應到的 y 值為 2， 因此 x6 時的函數值 f (6)2。,134,2,函數及函數值,由函數值反求給定值,7,當 xa 時， f (x)3x2 的函數值 f (a)3a2； g (x)2x13 的函數值 g (a)2a13。,若兩函數 f (x)3x2 與 g (x)2x13 在 xa 時的函數值相同，求 a 值。,因為兩函數值相同，所以 f (a)g (a)， 3a22a13，3a2a132，5a15，故 a3。,135,2,函數及函數值,若函數 f (x)8x12 在 xa 時的函數值為 12，求 a 值。,當 xa 時，f (x)8x12 的函數值 f (
11、a)8a1212，,8a1212，8a24，a3。,135,2,函數及函數值,1. 常數、變數,在一個關係式中，固定不變的數，稱為常數；而會變動的數，稱為變數。,135,2. 函數、函數值,(2) 設函數 yf (x)，則 f (a) 為函數 yf (x) 在 xa 時的函數值。,當給定一個 x 值時，只有一個 y 值與之對應，我們稱此對應關係為 y 是 x 的函數，記為 yf (x)。,135,1.下列各敘述中，哪些是正確的？ (A) 將長度為 20 公尺的繩子圍成一個長方形。 若長為 x 公尺，寬為 y 公尺，則 y 是 x 的函數(B) 若正方形的邊長為 x，面積為 y，則 y 是 x
12、的函數(C) 平年的每個月分都有對應的天數。若天數為 x， 月分為 y，則 y 是 x 的函數 (D) 若變數 x 和 y 的關係為 yx2，則 y 是 x 的函數答： 。,(A)(B)(D),136,因為每一個年齡都對應到唯一的一個身高， 所以 y 是 x 的函數。,136,136,4. 右圖為某年花蓮地區的每月平均相對溼度折線圖。若月分為 x，其對應的平均相對溼度為 y，試問：(1) x7 時，y？(2) x11 時，y？,由圖可知，7 月的平均相對溼度為 76， 故 x7 時，y76。,由圖可知，11 月的平均相對溼度為 76， 故 x11 時，y76。,137,5.已知函數 f (x)2x5， (1) 求 x0.5 時的函數值。(2) 若xa 時的函數值為 20，求 a 值。,xa 時， f (x)2x5 的函數值 f (a)2a520， 2a15，a7.5。,x0.5 時， f (x)2x5 的函數值 f (0.5)6。,137,本節結束。,
