1、2017 届江西玉山县一中高三（上）月考（二）数学（理）试题一、选择题1设集合 ，集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ |1Ax2BaABa）A. B. (,(,C. D.1)1)【答案】A【解析】试题分析： ,故选1,2,2,| aBAaBxA则A.【考点】集合间的关系.2已知函数 定义域是 ，则 的定义域（ ）yfx()13， yfx()1A. B. 37， 4，C. D.5， 052，【答案】D【解析】试题分析： 的定义域为 ，所以 ，所以)1(xfy3,23,2x中 ，故选 D.2,41x 5,04得【考点】复合函数的定义域.【方法点晴】复合函数的定义域求法：（1）已知 的定义域，求
2、的定义)(xf )(xgf域：由复合函数的定义可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之内，一次可得其方法为：若 的定义域为 ，求出)(f ),(ba中 的解 的范围，即为 的定义域；（2）已知复合函数)(xgfbxa)( xg的定义域，求 的定义域：若 的定义域为 ，则由f )(f ),(确定 的范围即为 的定义域.bx)(x)(xf3 “ ”是“函数 在 上单调递增”的（ ）1acosfaRA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若函数 在 上单调递增,则恒成立,即xaxfcos)(R,即 ,则“
3、”0)(xf()sin0,sin,1si,1fxaaxxa是“函数 在 上单调递增”充分不必要条件,故选 A.coR【考点】函数导数的应用，条件的充分必要性.4下列四个图中,函数 10lnxy的图象可能是（ ）【答案】C【解析】试题分析：当 时，有 ，0x 01|ln0,1,| xyx故排除 A，B，又当 时，有 ，2 | 故排除 D，故选 C.【考点】函数的图象.5若幂函数 的图像经过点 ，则它在点 A 处的切线方程是（ ）amxf)( )21,4(AA. B.02yx 0yxC. D.14 1【答案】C【解析】试题分析：由 为幂函数，故 ；因为点 在幂函数amxf)()21,4(A上，代入
4、可得： .则 ，故 在点 处的切线的斜)(xf 21f21)( )(xf,率为 .根据直线的点斜式方程可知切线方程为： ，化简可得：41f 412y.故选 C.0yx【考点】导数的概念及几何意义.6函数 的一个零点所在的区间是（ ）3()ln1)fxA.（0,1） B.（1,2） C.（2,3） D.（3,4）【答案】B【解析】试题分析：由于 ，013ln2)1ln()2,01)ln()1 ff所以函数 的零点所在的大致区间是 ，故选 B.xxf2)1ln()2,1(【考点】函数零点存在定理；2.对数函数的性质.7已知定义在 R 上的偶函数， f在 时， ，若0()ln()xfe1faf，则
5、a 的取值范围是（ ）A. , B.(,)2 C. 1(,)2 D.1,【答案】B【解析】试题分析： 时, 在 上都是增0x )ln(,)l()( xexef ),0函数, 在 上单调递增;由已知条件知 得 ；)(f), |1|aff |1|a计算得出 . 的取值范围是 .故选 B.21a)21,(【考点】利用奇偶性，单调性解不等式.8执行如图所示的程序框图，输出的 x 值为（ ）a=2，x=3输出结束否是开始 y1x103xA. B.45C. D.67【答案】C【解析】试题分析：初始条件： ；第一次循环： ，所以3,2xa 38,23y，继续循环；第二次循环： ，所以 ，413x 416,4
6、y 514x继续循环；第三次循环： ，所以 ，继续循环；第四5,5y5x次循环： ，跳出循环，输出 的值为 .故本题正确答案为 C.63,26y【考点】程序框图.9设函数 ，若互不相等的实数 ， ， 满足0()xxf 1x23，则 的取值范围是（ ）123fxffx123xA. B.(4,6) (2,6)C. D. 4，【答案】A【解析】试题分析：函数 ， 根据二次函数性质得出0,36)(2xxf ，利用函数 ，不妨设 得出 时 ,632x4y21,0x3-miny时，令 ，得 ，故选 A.03 )64(),(,231x【考点】分段函数，函数零点，数形结合.10己知 是定义在 R 上的增函数，
7、函数 的图象关于点（1，0）对称，()fx ()yf若对任意的 ，不等式 恒成立，则当 时，,y22(61)8fx3x的取值范围是（ ）2xA.（3,7） B.（9,25） C.（13,49 D.（9,49）【答案】C【解析】试题分析：由题意得 为奇函数，所以)(xf )8()216()()21608()216( 222222 yfxfyfxfyfxf ，当 时，表示以4()3(yx3x为圆心的半圆内部（不包括圆上点） ， 表示可行域上的点到坐标原点距)4,3(C2x离的平方，因此范围为 ，其中 ，即 ，故选 C.)(,22rOCA),(A9,1(【考点】函数性质，线性规划.【方法点晴】本题主
8、要考查的是线性规划与函数性质综合，属于难题.线性规划类问题的解题关键是先正确确定可行域，然后结合目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值.先根据函数图象变换，确定函数关于原点对称，进而确定函数奇偶性.再利用函数单调性，转化不等式，确定函数可行域.最后结合两点间距离公式，利用数形结合求最值.11设奇函数 xf在 1,上是增函数，且 1f，当 1,a时， 2atxf对所有的 ,x恒成立，则 t的取值范围是（ ）A. B. 或ttC. 或 或 0tD. 或 或2【答案】D【解析】试题分析：根据题意有 ，根据奇函数的性质，可知函12)(maxtf数的最大值为 ，所以有 对于 恒成立，所
9、以有1)(f 02t,a在 恒成立，即 ，解得 或02)(tag,02)1(tg2t或 ，故选 D.t【考点】奇函数的单调性；函数恒成立问题.【思路点晴】数学中有的多元参数问题,若按常规思路确定主元,会导致问题复杂化,若能针对题目的结构特征,改变思考的角度,选择某参变量为主元,反客为主,往往可使问题化难为易,迅速获解.本题中 在 恒成立即可以把 看02)(tag1,a作主元，那么就是一次直线型的函数，只需线段的两个端点在 轴或其上方即可保证x恒大于等于 ，即得 .002)1(tg12已知函数 满足 ，当 时 ，函数xf )1(xff 1,xf)(在 内有 2 个零点，则实数 的取值范围是（ ）
10、mfxg)(,( mA. B. 21,01C. D.)2,(【答案】A【解析】试题分析：当 时，0,1(x，在同一个坐标系内画出1)(),10( xffx的图象，动直线 过定点 ，再过 时，斜mxyf, my），（ 0-），（ 1率 ，由图象可知当 时，两个图象有两个不同的交点，从而2210有两个不同的零点，故答案为 A.xfxg)(【考点】函数零点的个数及意义.二、填空题13若函数 在其定义域上为奇函数，则实数 .xkf21k【答案】 k【解析】试题分析： 函数 在定义域上为奇函数，xkxf21)(，)()(xff即 ，化简可得 ，xxkk2121 01,1)2(2kkx.【考点】函数的奇偶
11、性.14已知命题 :关于 的方程 在 有解；命题px20mx,1在 单调递增；若“ ”为真命题，21:()log()qfx,)p“ ”是真命题，则实数 的取值范围为 .【答案】 )43,1(【解析】试题分析：命题 ：令 ，则 ，p2)(2mxf 2)0(f，解得 .故命题 ： ， ，0)(mf 1p11:mp，又由题意可得 假 真， ，即实数4321:q q43的取值范围为 .m),(【考点】1.一元二次方程根的分布；2.对数函数的性质.【方法点晴】 命题考察了二次函数根的分布问题，这属于常考题型，一般有两种解p决方法，一个是讨论二次函数的图象，一个是变量分离，此题两种方法都适用，若用分离，则
12、可以转化为 在 内有解（因为 不满足方程，所以方程两xm21,0(0x边可以同除以 ） ，进而作出 在 的图象即可得到 的范围.命题 也是xy,mq一个易错题型，在考虑单调性的同时还需注意定义域，即 在0212x上恒成立.),115已知函数 )0(ln)(axf ，其中 。若函数20(sinco)tdt)(xf在定义域内有零点，则实数 的取值范围为 .【答案】 1,0【解析】试题分析： ， ，从而20)cosin(dtt 1|cossin2020td，函数的定义域为 ，)1ln)(axf ),(，令 ，当 时， ，22-axf)( ),(0)(xf当 时， ， 时，函数 取得最小值 ， 函数)
13、,(x0)(xf)(faln在定义域内有零点 ， ， 函数 在定义域内有零点时，f lna1xf的取值范围是 ，故答案为： .a1,(,(【考点】微积分基本定理，导数的运用，考查函数的零点.【方法点晴】本题在考察求定积分时用到了先化简再求值；本题还考察了学生函数零点问题， 在定义域有零点，即为 在)0(ln)(axf )0(1lnaxa有解，一般有两种做法：一个是含参讨论，对 求导，利用单调性说明图），（ 0 )(f象解决零点问题，另一个是变量分离， 在定义域有解，令xln，求导研究 的图象，即可找到 的取值范围.xxgln)()(xga16对于函数 ，有下列 4 个命题：si,0,2()1(
14、)()2ffx任取 ，都有 恒成立；120,x、 12ffx ，对于一切 恒成立；()()fkf*)kN0,函数 有 3 个零点；lnyx对任意 ，不等式 恒成立.02()fx则其中所有真命题的序号是 .【答案】【解析】试题分析：作 的图象如图所示， （1） 的最大值为 ,最小值为 ,)(xf )(xf1-任取 ,都有 恒成立,正确；（2）0,21x|)(|1xf,故不正确；（3）如图所)821()6(8)421()(2)1( fffff示,函数 有 个零点；（4）对任意 ,不等式 恒成lnxy30xxkf)(立,则实数 的取值范围是 ,结合图象,可得（4）正确.因此，本题正确答案是: k)8
15、9(.【考点】函数的图象，函数的零点，数形结合.三、解答题17已知集合 ， .273|xA1log|B2x（1）分别求 ， ；BRCA（2）已知集合 ，若 ，求实数 的取值范围.ax1a【答案】 （1） ， ；（2） .32|A3|xBR 3a【解析】试题分析：（1）解指数不等式我们可以求出集合 ,解对数不等式,我们可以A求集合 ,再由集合补集的运算规则,求出 ,进而由集合交集和并集的运算法则,即BCR可求出 ；（2）由（1）中集合 ,结合集合 ,我CR)( 1|axC们分 和 两种情况,分别求出对应的实数 的取值,最后综合讨论结果,即可a得到答案.试题解析：（1） 即 ， ，273x31x
16、31|,1xAx，即 ，log2x 2|,logl B；|BA； 3|,| xACxCRR（2）由（1）知 ，当1| AC当 为空集时， ，a当 为非空集合时，可得 3a综上所述 .3【考点】解对数不等式；集合间的关系.18已知函数 ， .3()cos(incos)2fxxxR（1）求 的最小正周期和单调递增区间；f（2）设 ，若函数 为奇函数，求 的最小值.0()gxf【答案】 （1）最小正周期 ，单调递增区间为 ；（2）T Zkk,1,25的最小值为 .3【解析】试题分析：（1）利用三角函数的诱导公式将 化简为)(xf)(xf，即可解得到 的最小正周期，及单调递增区间；（2）根据（1）)2
17、sin(x)(xf得到函数 的解析式，因为 是奇函数，得到 ，从而求解ggZk,62的最小值.试题解析：（1）解：)1cos(23cosin23)cos(sinco)( 2 xxxxf，所以函数 的最小正周期 . )i(23i1)(f T由 ， 得 ，Zkxk,2 12125kxk所以函数 的单调递增区间为 . )(f Z,15（注：或者写成单调递增区间为 .）kk)(（2）解：由题意，得 ， 因为函数 为奇函32sin() xxfg )(xg数，且 ，Rx所以 ，即 ， 所以 ，0)(g0)32sin(Zk,解得 ，验证知其符合题意. 又因为 ，Zk,6 0所以 的最小值为 .【考点】三角函
18、数的图象和性质.19如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，且 .点PABCDAB60DAB是棱 的中点，平面 与棱 交于点 .ECEFFBDCPEA（1）求证： ；EF（2）若 ，且平面 平面 ，求平面 与平面 所PAPDABPAFE成的锐二面角的余弦值.【答案】 （1）证明见解析；（2） .13【解析】试题分析：对于（1） ，先根据菱形的性质得到 ，进而得到 面CD/B，接下来根据 四点共面，且平面 平面 ，即可得PCDFEBA, ABEFEFP到结论；对于（2） ，取 中点 ，连接 ，根据等腰三角形的性质以及线面DGP,垂直的知识得到 ，进而根据菱形的性质得到 ，建立空间直角坐G标系 ，利用向
19、量运算解决.xyzG试题解析：（1）证明：因为底面 是菱形，所以 .ABCCDAB/又因为 面 ， 面 ，所以 面 .ABPCP/P又因为 四点共面，且平面 平面 ，FE, EFEF所以 ./（2）取 中点 ，连接 .因为 ，所以 .又因为平面DGB,AAG平面 ，且平面 平面 ， 所以 平面 .PABCPDDCPBCD所以 .在菱形 中，因为 是 中点，所AB,60,以 .如图，建立空间直角坐标系 .设 ，xyzGaA2则 .)3,0(),(),03,2(),03,(),0(),0( aPDaCBaAG又因为 ，点 是棱 中点，所以点 是棱 中点.所以EF/PF.所以 .)2,(),23,(
20、 ),2,(),2,(EaA设平面 的法向量为 ，则有 所以 AFE),(zyxn0Fnxyz3令 ，则平面 的一个法向量为 .3xAFE)3,(n因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量.BGPD)0,aGBPAF因为 ，139|,cosn所以平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .PAFEzyxGAECDBF【考点】线面，面面的位置关系.20已知函数 .()ln1()fxaxR（1）求 的单调区间；（2）若 在 上恒成立，求所有实数 的值；()0fx(,)a【答案】 （1）当 , 减区间为 ，当 时, 递增区间为 ，axf),0(0)(xf),0(a递减区间为 ；（2） .),(1【解析
21、】试题分析：（1）求导,利用导数得出函数单调性；（2）对 进行分类:当时, 递减,又知 可得 ；当 时,只需求0a)(xf0)(f )1,0()(xf 0a,让最大值小于等于零即可.1ln)(maxaf试题解析：（1） ，)()( xxf当 时， ， 减区间为 00f,0当 时，由 得 ，由 得a)(fa)(xfa递增区间为 ，递减区间为 .)(xf,（2）由（1）知：当 时， 在 上为减区间，而0a)(xf)00)1(f在区间 上不可能恒成立；0)(xf,(x当 时， 在 上递增，在 上递减， 0a)(xf,0a),(a，1ln)(maxf令 ， 依题意有 ，而 ，且lg0)(gagln)(
22、0在 上递减，在 上递增， ，故 .)(1,0,(1mi1【考点】导数的应用.21已知椭圆 C: 的离心率为 ，点 在椭圆 C 上.)0(12bayx233(,)2A（1）求椭圆 C 的方程；（2）设动直线 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 O 为圆心的圆，l满足此圆与 相交两点 ， （两点均不在坐标轴上） ，且使得直线 ， 的斜率1P2 1P2之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.【答案】 （1） ；（2）当圆的方程为 时，圆与 的交点42yx 52yxl满足斜率之积 为定值 .21,P21k4【解析】试题分析：（1）由椭圆离心率可知 ，点 在椭圆 上，将2
23、3ac),1(AC代入椭圆方程，再结合 ，即可求出椭圆的标准方程；（2）当)23,(A2b直线斜率存在时利用解的性质可以得 ，14km， ，可以0)4)(1)8(2221 km 1,2211 krmxkx确定当 为定值时， ，当直线斜率不存在时，确定直线方程，进行判断，即2152r可得到圆的方程.试题解析：（1）解：由题意，得 ，又因为点 在椭圆22,3cbac)23,1(A上，所以C， 解得 ， 所以椭圆 的方程为 .432ba3,12cbaC42yx（2）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为 .证明如下：52yx假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为 .)0(2r当直线 的斜率存在时，设
24、 的方程为 . llmkxy由方程组 得 ， 142yxmk 048)4(22因为直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，lC所以 ，即 . 0)()8(2221 k 12km由方程组 得 ， 22ryxm0122rkx则 .0)(4)(22 rk设 ，则 ， ,21yxP1,1221 krmxkx设直线 的斜率分别为 ，所以.21,O1,212212121 )()( xkxmkxyk，221rkkrm将 代入上式，得 .42)1(4221rk要使得 为定值，则 ，即 ，验证符合题意.21k224r52所以当圆的方程为 时，圆与 的交点 满足 为定值 .52yxl21,P21k4当直线 的斜率不存在
25、时，由题意知 的方程为 ，l x此时，圆 与 的交点 也满足 .2l21,P421k综上，当圆的方程为 时，圆与 的交点 满足斜率之积 为定值52yxl,P21k.41【考点】椭圆方程，直线和椭圆的位置关系.【方法点晴】直线和位置关系的考题中，常用的方法就是“设而不求” ，在本题中，设出 ，根据信息，分析出坐标的方程即得：),(),(21yxP，进而就可以通过212212121 )()( xmkxmkxyk 设直线与曲线联立，由韦达定理得出根与系数的关系，当直线斜率存在时利用解的性质可以得 ， ，42km0)4)(4)8(2221 k，可以确定当 为定值时， ，当直线斜率,2121 rxx 2
26、152r不存在时，确定直线方程，进行判断，即可得到圆的方程.22已知函数 ，函数 ，其中 .2()f()lngxtt（1）如果函数 与 在 处的切线均为 ，求切线 的方程及 的值；x1lt（2）如果曲线 与 有且仅有一个公共点，求 的取值范围.()yf()yxt【答案】 （1） ， ；（2） .t021,0|t或【解析】试题分析：（1） 和 在 处的切线相同，则在该点出)(xfy)(gx的导数相等，从而求解 的值，以及切线 的方程；（2）设函数tl，则将原问题转化为有 有),0(,n1)()(2txgfxh 0)(xh唯一解，然后对 进行分类讨论即可.t试题解析：（1）解：求导，得 . )0(
27、,)(,2)( xtgxf由题意，得切线 的斜率 ，即 ，解得 .l 1k2tk1t又切点坐标为 ，所以切线 的方程为 . )0,1(lyx（2）解：设函数 . ),0(,ln)(2xtgxfh“曲线 与 有且仅有一个公共点”等价于“函数 有且仅有)(fy )(xhy一个零点”. 求导，得 . xttxh22)( 当 时，0t由 ，得 ，所以 在 单调递增.),(x0)()(),0又因为 ，所以 有且仅有一个零点 ，符合题意.1hxhy1当 时， t当 变化时， 与 的变化情况如下表所示：x)(x)1,0( ),1()(xh)(x0 所以 ()x在 0,1上单调递减，在 (1,)上单调递增，所
28、以当 时， min()0h，故 ()yx有且仅有一个零点 1，符合题意. 当 01t时，令 ()h，解得 t.当 x变化时， ()x与 h的变化情况如下表所示： (0,)tt(,)t()x- 0h 所以 ()hx在 上单调递减，在 上单调递增，),0t ),(t所以当 时， . (minx因为 ，且 在 上单调递增，1,)(th)h),(t所以 .0又因为存在12e(0,)t，ln21)(,1122 ttttt eehe所以存在 使得 ， )(0x0x所以函数 存在两个零点 ， ，与题意不符.y综上，曲线 与 有且仅有一个公共点时， 的范围是)(xf)(gyt.1,0|tt或【考点】导数的应用.【方法点晴】方程的根，函数的零点，图象与 轴的交点属于一类问题，常用的方法x有三个：构造函数法，这种方法往往需要讨论参数，进而研究函数的零点个数，上述解法就属于这一种，还有一种比较简单的就是参变分离法， 等价于0ln21xtx，这种方法需要注意，讨论 时的情况，问题就转成立研究txln211x的图像，优点就是研究的函数没有参数；最后一种，有时零点问题也可以yl转成两个函数图象的交点问题，小题用此法比较多.
