2017年江苏苏州市高三期中调研数学试题（解析版）.doc

1、2017 届江苏苏州市高三期中调研数学试题一、填空题1已知集合 ，则 _|02,|1AxBxAB【答案】 |1【解析】试题分析：由题意 |0x【考点】集合的交集运算2若命题 ，使 则： _:pxR21a:p【答案】 ，使0x【解析】试题分析：命题 ，使 的否定为： ，使:p210xaxR210xa【考点】命题的否定【名师点睛】1弄清命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题否定的前提2全称(存在性)命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全称(存在性)命题的否定是将其全称量词改为存在量词(存在量词改为全称量词)，并把结论否定3函数 的定义域为_12xy【答案】 ,【解析】试题分析： ，故定

2、义域为 102x1x(2,1【考点】函数的定义域4曲线 在点 处的切线的斜率为_ cosyx,【答案】2【解析】试题分析： ， 时， ，即切线斜率为 21sinyx21sin2y【考点】导数的几何意义5已知 ，则 _4tan3ta4【答案】7【解析】试题分析： 41tna3tan() 741t【考点】两角和与差的正切公式6已知等比数列 的各项均为正数，且满足： ，则数列 的前 9n 194a2logna项之和为_ 【答案】9【解析】试题分析： ， ，21954a52a ，92122192525logllogl()logl9a a 【考点】等比数列的性质【名师点睛】1在解决等比数列的有关问题时，

3、要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 mnpq，则 amana paq”，可以减少运算量，提高解题速度2等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前 n 项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口7已知函数 是定义在 上的周期为 2 的奇函数，当 时， ，fxR01x8xf则 _193f【答案】2【解析】试题分析：由题意 1319()()()823fff【考点】函数的奇偶性与周期性8在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，ABC, ,abc2,sin3ibcCB则 _【答案】 3【解析】试题分析：由 及正弦定理得正弦定理得

4、 ，代入sin3iB3cb得 ，则2abc7ab， 22291cos3A3A【考点】正弦定理，余弦定理【名师点睛】1选用正弦定理或余弦定理的原则在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息2(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用9已知函数 ，若函数 有三个零点，则实数21,0xfgxfm的取值范围是_m【答案】 1,04【解析】试题分析：函数 有三个零点，即函数 的图象与直()gxf

5、m()yfx线 有三个交点，作出函数 的图象和直线 ，有三个交点，则必有ym()y104【考点】函数的零点10若函数 ，则函数 的最小值为_cos21tan0i2yy【答案】3【解析】试题分析： ， (,)tan，2cos21cos11tantant2tan2iiy当且仅当 时取等号因此 的最小值为 2.t y【考点】二倍角公式，基本不等式11已知函数 ，将函数 的图象向右平移sin03fxyfx个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则 的最小值等于_23 【答案】3【解析】试题分析：平移后得 ，由22()sin()sin()33gxx题意 ， ，最小值为 32,kZ30kZ且 ）【考点】三

6、角函数图象平移变换【名师点睛】1本题写出平移后函数的解析式，利用诱导公式求出 2变换法作图象的关键是看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用 x 确定平移单位(x )3用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设 zx，由 z 取0， ， ，2 来求出相应的 x，通过列表，描点得出图象如果在限定的区间 2 32内作图象，还应注意端点的确定12已知数列 满足： ，数列 满足： ，na11,nnanb1nna:则数列 的前 10 项的和 _b0S【答案】 10【解析】试题分析：由 得： ，因此数列 是等差数11nna1na1na列，所以 ，即 ， ，所以1nn1()nb10210()

7、230Sb .【考点】等差数列的通项公式，裂项相消法求和.13设 的三个内角 对应的边为 ，若 依次成等差数列且ABC,ABC,abc,ABC，则实数 的取值范围是_22ackbk【答案】 1,【解析】试题分析： 依次成等差数列， ，, 3， ， ， ，222cosacacbaB220b20kb2k又 , ，所以 。2201kk【考点】等差数列的性质，余弦定理，基本不变式【名师点睛】本题是数列与解三角形的综合应用，解题时由等差数列的性质求出角 ，B再由余弦定理把 的值转化为边的关系，结合基本不等式建立 的不等关系式，从而Bk得出 的范围利用基本不等式建立参数的不等关系是我们在求范围时常用的方法

8、，k也是重要的方法之一14已知函数 ，若对于定义域内的任意 ，总存在 使得2xaf1x2，则满足条件的实数 的取值范围是_21fxf【答案】 0a【解析】试题分析：由题意函数 无最小值，()fx，令 ，则 ，221()()xafta0， 时，函数为 ，符合题意， 时， ，即fyt0yt 20a，综上有 的取值范围是 0aaa【考点】函数的最值【名师点睛】本题考查学生对含有存在题词与全称题词的命题的正确理解， “对于定义域内的任意 ，总存在 使得 ”，说明函数 对定义域内的任一函1x221fxf()fx数值，总有比它小的值出现，因此函数在定义域内无最小值，这样总是转化为研究函数的最值问题对于分式

9、函数 ，分子是一次的，分母是二次的，可用2()afx换元法转化为二次函数讨论二、解答题15已知函数 3xxfR:（1）若 为奇函数，求 的值和此时不等式 的解集；1fx（2）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围6fx0,2【答案】 （1） ，解集为 ；（2） 35|xlog27【解析】试题分析：（1）函数为奇函数，根据奇函数的定义 恒成立()0fxf可求得参数 的值，也可由 求出 ，然后再检验即可（本题中 存在） ，(0)f()解不等式 只要把 作为整体（可用换元法） ，利用一元二次不等式的解法求()1fx3x得，注意 ；（2）不等式 即为 ，也即 ，306f36xx:23()x因此只要求

10、得 在 的最小值即可26()x0,试题解析：解：（1）函数 的定义域为 ，xxfR 为奇函数， 对 恒成立，fx即 对 恒成立，33130xxx: x 1此时 ，即 ，xf2x解得 或 （舍去）532x153x解集为 ， 3|log（2）由 得 ，即 ，6fx6xx:36x令 ，原问题等价于 对 恒成立，31,9xt6t1,9t亦即 对 恒成立， 26t,t令 ，,g 在 上单调递增，在 上单调递减t133,9当 时， 有最小值 ， 9t27g【考点】指数函数的性质16已知等比数列 的公比 ，且满足： ，且 是na1q2348a32a的等差中项.24,a（1）求数列 的通项公式；n（2）若 ，

11、求使 成立的正整数1122log,Snnbab 126nS:的最小值n【答案】 （1） ；（2）6n【解析】试题分析：（1）求等比数列的通项公式，关键是求出首项和公比，这可直接用首项 和公比 表示出已知并解出即可（可先把已知化简后再代入） ；（2）求出1aq的表达式后，要求其前 项和，需用错位相减法然后求解不等式可得最小值nbn试题解析：（1） 是 的等差中项， ， 324,a324aa代入 ，可得 ，2348a3 ， ，解之得 或 ， 240210aq12aq1 ， ，数列 的通项公式为1q12nn（2） ，1122loglnnnba: ， nS， 231 :得 2311122nn nnnS

12、 : ， ， ，126nS:126n16,5n使 成立的正整数 的最小值为 6 n【考点】等比数列的通项公式，错位相减法17已知函数 2sincos3fxx:（1）若 ，求函数 的值域；0f（2）设 的三个内角 所对的边分别为 ，若 为锐角且ABC,ABC,abcA，求 的值3,2fbcos【答案】 （1） ；（2） 0,5714【解析】试题分析：（1）由函数形式知，用两角和的正弦公式展开，用二倍角公式降幂，再用两角和的正弦公式化函数为一个三角函数，求出正弦号后面整个角的取值范围，结合正弦函数可得值域；（2）由（1）的解析式可求得角 ，由余弦定理可3A求得边 ，由正弦定理可求得 ，利用两角差的

13、余弦公式可得 asinBcos()B试题解析：（1） 23cosinfxxxx3sin2cossin2由 得， ， 0x43xsin213x ，即函数 的值域为 sin2132f0,2（2）由 得 ，3ifAsin23A又由 ， ， 042,在 中，由余弦定理 ，得 ，BC2cos7aba由正弦定理 ，得 ，siniABin1siAa ， ， ，ba27co 12732157coscossin4ABAB【考点】两角和与差的正弦公式，二倍角公式，正弦定理与余弦定理18如图，有一块平行四边形绿地 ，经测量 百米， 百米，CDCD，拟过线段 上一点 设计一条直路 （点 在四边形 的012CDEFAB

14、边上，不计路的宽度） ， 将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的 3 倍，设F百米， 百米Exy（1）当点 与点 重合时，试确定点 的位置；FDE（2）试求 的值，使路 的长度 最短xy【答案】 （1） 是 的中点；（2）当 （百米）时，路 最短为 （百米）EBC14xEF32【解析】试题分析：（1）只要利用面积公式求面积可得，先求得平行四边形的面积，然后求得 的面积（用 表示） ，利用它们的面积关系可得 值，ADFxx知 是 中点；（2）为了求 的长 ，要分类，分 在边 上和在 上，前EBEyFCDA者利用面积求得 ，由余弦定理求得 ，由基本不等式得最小值，后者同样利1Cx用面积关系求得

15、，在梯形 中求腰长 （可分类 和FCDEF） ，由二次函数性质得最小值比较后得结论D试题解析：（1）平行四边形 的面积为 ，当AB012sin23ABCS:点 与点 重合时， ，F013sin24CFESx ， （百米） ， 是 的中点14CFEABDS:3,4xEB（2）当点 在 上时， ， 0113sin224CFE ABCDSS:， 1F=x在三角形 中， ，CDE220cos1 ，当且仅当 时取等号23yx此时 在 中点处且 与 重合，符合题意； BF当点 在 上时，A ， ， 31324ABCDxFSS:梯 形 CED 1FxI当 时，过 作 交 于 ，/EG在 中， ，由余弦定理得

16、 ；G0,2x,6241yxII当 ，过 作 交 于 ，CEF/CA在 中， ，由余弦定理得 ；01,EF122yx由 I、II 可得 22 344yxx当 时， ，1xmin3此时 在 的八等分点（靠近 ）处且 （百米） ，符合题意； EBCC34DF由可知，当 （百米）时，路 最短为 （百米）14xE2【考点】解三角形的实际应用19已知数列 的前 项和为 ，对任意 满足 ，且 ，nanA*N12nA1a数列 满足 ，其前 9 项和为 63nb*2130,5bb（1）求数列 和 的通项公式；n（2）令 ，数列 的前 项和为 ，若对任意正整数 ，都有nnacbncnTn，求实数 的取值范围；n

17、T（3）将数列 的项按照“当 为奇数时， 放在前面；当 为偶数时，,nannan放在前面”的要求进行“交叉排列” ，得到一个新的数列：nb，求这个新数列的前 项和 123456,bb， nS【答案】 （1） ；（2） ；（3）na4a22 *13,46,5,41nnkSNnk【解析】试题分析：（1）由已知得数列 是等差数列，从而易得 ，也即得 ，nAnAn利用 求得 ，再求得 可得数列 通项，利用已1(2)nnaA(2)na1ana知 可得 是等差数列，由等差数列的基本量法可求得 ；20bb b（2）代入 得 ，变形后得 ，从而易求得和 ，于是有,nanc22ncnnT，只要求得 的最大值即可

18、得 的最13nT12n小值，从而得 的范围，研究 的单调性可得；（3）根据新数列的构造方a2n法，在求新数列的前 项和 时，对 分类： ， 和 三类，Snk41nk可求解试题解析：（1） ，数列 是首项为 1，公差为 的等差数列，12nAnA2 ，即 ，1nAn*2nN ，*1121nna n又 ， 1*nN ，数列 是等差数列，210nb nb设 的前 项和为 ， 且 ，nnB3796235b ， 的公差为 79bn *7351,2nbN（2）由（1）知 ，1nnac 12112342nnTccn ， 1232nTn设 ，则 ，nR 1142033nRnn数列 为递增数列，n ，1mi43对

19、任意正整数 ，都有 恒成立， 2nTa43（3）数列 的前 项和 ，数列 的前 项和 ，na1nAnb52nB当 时， ；*2kN2532nkkSBk当 时，*41n，22125481nkkkkSABk 特别地，当 时， 也符合上式；1S当 时，*4nkN221254nkkkSABk 综上： 22 *3,46,5,41nnSkNn【考点】等差数列的通项公式，数列的单调性，数列的求和20已知 ，定义320fxaa,max,fxgxhfg（1）求函数 的极值；f（2）若 ，且存在 使 ，求实数 的取值范围；gx1,2xhxfa（3）若 ，试讨论函数 的零点个数ln0【答案】 （1） 的极大值为 1

20、，极小值为 ；（2） ；（3）当fx4a时， 有两个零点；当 时， 有一个零点；当 时，02ahhx2a有无零点hx【解析】试题分析：（1）求出导数 ，求得 的解，讨论 的正负()fx()0fx()fx可得极值；（2）问题要进行转化，可转化为 在 上有解，即g1,2在 上有解，即不等式 在 上有32326axax1,3ax,解，这样只要求得 的最小值即可；（3）要研究233,xy的零点，在定义域内，由（1） 的最小值是 ，当()hx()f 241fa时无零点，当 时， 的最小值是 ，可确定240a2410afx()0fg只有一个零点，当 时，主要要研究 时函数的零点，为此设()hx01，求得

21、， 减函数，32lnfgxx()x()可得存在 使得 时， ，在一个零点，当 时00()hf0无零点，最终可得零点个数为 2()hx试题解析：（1）函数 ， 31fxa 36fxa令 ，得 或 ， ， ，列表如下：012xa012x,0 ,a2,afx0 0fx:极大值 :极小值 : 的极大值为 ，极小值为 f01f22814faa（2） ，存在 ，使 ，236gxfax,xhxf 在 上有解，即 在 上有解，f1,3232161,即不等式 在 上有解， 32ax,2设 ， 对 恒成立，23311,y2430xy1,2x 在 上单调递减，当 时， 的最大值为 4，3x,13y ，即 24a2（

22、3）由（1）知， 在 上的最小值为 ，fx0,24fa当 ，即 时， 在 上恒成立，20a2f0, 在 上无零点 mx,hfgx,当 即 时， ，又 ，241min1ff0g 在 上有一个零点， a,xfx0,当 ，即 时，设202，31ln1xfgxx ， 在 上单调递减，2360a 0,又 ，存在唯一的 ，使得2310,ae 01,xe，0xI当 时， ， 且00xfgxhxf为减函数，hx又 ， 在 上有一0000ln1,fgxfx0,个零点；II当 时， ， 且 为增0x0xfgxhxghx函数， ， 在 上有一零点；1gh0,从而 在 上有两个零点， maxfgx0,综上所述，当 时

23、， 有两个零点；当 时， 有一个零点；当2h2ahx时， 有无零点 2ahx【考点】导数与极值，最值，函数的零点，导数的综合应用【名师点睛】本题考查导数的综合应用，利用导数求极值、最值，研究函数的单调性，研究函数的零点其中涉及到常见的转化与化归思想的应用在第（3）小题研究函数零点时，第（3）小类中，当 ，即 时，由于（1）的讨论已知函数2410a2a的单调性：在 上递减，在 上递增，对 上零点的讨论不必()fx(0,)(,)(0,)x另设函数 ，增加难度与麻烦，此时 ，因此由 的定义，知lngxh的零点一定是 的零点，反之 的零点也一定是 的零点，这样可以()fx()hx()h()fx很容易得

24、出结论21如图， 是圆 的直径，弦 的延长线相交于点 垂直 的延长ABO,BDCA,EFBA线于点 求证：F2E:【答案】证明见解析【解析】试题分析：从证明形式看要利用圆中的比例线段，证明 四点共圆,ADEF有 ，证明 四点共圆或相似三角形可得BAFDE,FCB，代入待证式右边可得结论EC试题解析：证明：连接 ， 为圆的直径， ，AB又 ，则 四点共圆，, BF:又 ，AE ，即 ，CBAC: 2BEDACBFABFAB:【考点】四点共圆，相似三角形的判断，切割线定理22已知二阶矩阵 有特征值 及对应的一个特征向量 ，并且矩阵 将M81eM点 变换为 1,30,8（1）求矩形 ；（2）求曲线

25、在 的作用下的新曲线方程2xy【答案】 （1） ；（2）64M40xy【解析】试题分析：（1）设 ，由 及abcd18c列出方程组可解得 ；（2）设原曲线上任一点 在 作038abcdM,PxyM用上对应点 ，由 ，建立关系可求得新方程,Pxy 64xxy试题解析：（1）设 ，由 及 中，abcd18c1038abcd得 ，解得 ， 830abcd624cd24M（2）设原曲线上任一点 在 作用上对应点 ，,Pxy,Pxy则 ，即 ，解之得 ，624xyy624xy283xyy代入 ，得 ，320x20即曲线 在 的作用下的新曲线方程为 yM240xy【考点】特征值与特征向量，矩阵变换23已知

26、平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数，xOyCcosinry） 以直角坐标系原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的0rx l极坐标方程为 2sin104（1）求圆 的圆心的极坐标；C（2）当圆 与直线 有公共点时，求 的取值范围lr【答案】 （1） ；（2）,452【解析】试题分析：（1）把圆的参数方程消去参数 得普通方程，从而得圆心的直角坐标，再由公式 ， 求得 得极坐标；（2）把直22xycos,inxy,线的极坐标方程化为直角坐标方程，由圆心到直线距离不大于半径列出不等式可得的范围r试题解析：（1）由 得 ，cos2:inxrCy22xyr曲线 是以 为圆心，

27、 为半径的圆，2,圆心的极坐标为 ,4（2）由 得 ，:sin10l:10lxy从而圆心 到直线 的距离为 ， l252d圆 与直线 有公共点， ，即 Clr【考点】极坐标与直角坐标的互化直线与圆的位置关系24已知 都是正实数，且 ，求证：,abcd1abcd221115【答案】证明见解析【解析】试题分析：把不等式的左边写成形式，利用柯西不221111abcdabcd 等式即证试题解析：证明： 221111abcdabcd 21111abcd :， 2bcd又 ，115acd22b【考点】柯西不等式25某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了 三个测试项ABC、 、目，假定张某通过项

28、目 的概率为 ，通过项目 的概率均为 ，且A12B、 01a这三个测试项目能否通过相互独立（1）用随机变量 表示张某在测试中通过的项目个数，求 的概率分布和数学期望XX（用 表示） ；Ea（2）若张某通过一个项目的概率最大，求实数 的取值范围a【答案】 （1）分布列见解析，期望为 ；（2）410,【解析】试题分析：（1）由于有三个项目，因此随机变量 的可能取值为X0，1，2，3分别计算概率可得分布列，由期望公式可计算出期望；（2）说明在概率分布表中 不小于其他三个值，列出不等式组解之即可(1)PX试题解析：（1）随机变量 的可能取值为 0，1，2，3；2020Ca；0122211PXa；122

29、2CaC2213PXCa，从而 的分布列为X0 1 2 3P2a2a的数学期望为X， 2222111410 3aE （2） ，220PXa22111 aPXa，23由 和 ，得 ，即 的取值范围是 210a1a102a10,2【考点】随机变量概率分布列和数学期望26在如图所示的四棱锥 中， 底面SABCDS， 为线段0,9,30ABCDaAE上的一个动点.S（1）证明 ： 和 不可能垂直；DESC（2）当点 为线段 的三等分点（靠近 ）时，求二面角 的余弦值BBSCDE【答案】 （1）证明见解析；（2） 2105【解析】试题分析：由题意 两两垂直，因此以它们为坐标轴建立空间直,AS角坐标系，写

30、出各点坐标， （1）假设 和 可能垂直，则有 ，设DEC0DESC其中 ，计算出 ，如满足条件，说明存在，如不满足条件说明,0Exaxax不存在；（2）求出二面角的两个面 和 的法向量，由向量的夹角与二面角S相等或互补的关系，计算法向量夹角余弦值可得结论试题解析：（1） 底面 ， 两两垂直，SA0,9BCABAS、 、以 为原点， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标AD、 、 xyz系（如图） 则 ，0,0,30SaCDa ，且 ，设 其中 ，ABSAB,Ex0xa ,3,DEx假设 和 垂直，则 ，SC0DS:即 ，解得 ，224aax2xa这与 矛盾，假设不成立，所以 和 不可能垂直0xESC（2） 为线段 的三等分点（靠近 ） ， ，EBSB1,03设平面 的一个法向量是 ，平面 的一个法向量是CD11,nxyzD，22,nxyz ， ，,0,3aSa10nCS:即 ，即 ，取 123xyz12xyz12,3 ， ，,0,3CDaEa20nCDE:即 ，即 ，取 ，22130xyaaz25xyz2,15设二面角 的平面角大小为 ，由图可知 为锐角，SCDE ，1212410cos, 23n:即二面角 的余弦值为 SE0521【考点】用向量法证明垂直、求二面角