1、1八年级数学（下册）知识点总结二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子 （ 0）叫做二次根式。a2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； 被开方数中不含分母； 分母中不含根式。3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。4.二次根式的性质：（1） （ ） 2= （ 0） ； （2）a a25.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式， 变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号
2、外面的正因式平方后移到根号里面（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除） ，将被开方数相乘（除） ，所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 ab= （a0，b0） ； ba（b0，a0） （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律， 乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算典型例题1(1)二次根式 的值是（）.25（ -）（A） （B） 5 或 （C）25 （D）5(2)二次根式 2(3)的值是（）.（A） （B） 或 3 （C） 9 （D） 3（ 0）a（ 0）0
3、（ =0） ；2(3)计算: 16=(4)实数 ， 在数轴上的位置如图所示，则 的化简结果为 ab2()ab2. (1)若式子 1x在实数范围内有意义，则 x的取值范围为（ ）.（A） （B ） 1x （C） 1 （D ） 1x(2)函数 的自变量 的取值范围是 y3(1)下列各式计算正确的是（）.（A） （B）222ab（C） = （D ）)9(44936(2)下列各式计算正确的是（）.（A） （B）123(5)()2（C） = （D ）)9(449364 (1)（本小题满分 6 分，各题 3 分）计算：（1） ； （2） . 12+05)（ ） ( 234(0)ab(2).（本小题满分 6
4、 分，各题 3 分）计算：（1） ; （2） . 8+（ ） +3（ ） 25-（ ）（第 14 题）b a-1 10 x34勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2b 2=c2。2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长 a,b,c 满足 a2b 2=c2。 ，那么这个三角形是直角三角形。 3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 （例：勾股定理与勾股定理逆定理） 4.直角三角形的性质 （1） 、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：C=90 A+B
5、=90（2） 、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。A=30可表示如下： BC= AB21C=90（3） 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半ACB=90 可表示如下： CD= AB=BD=AD21D 为 AB 的中点6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC7、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 有关系 ，那么这个三角形是直角22cba三角形。8、命题、定理、证明 1、命题的概念判断一件事情的语句，叫做命题。理解：命
6、题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。2、命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。53、公理人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。4、定理用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。5、证明判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。6、证明的一般步骤（1）根据题意，画出图形。（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
7、9、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论 5
8、：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。10 数学口诀.平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。完全平方公式:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首尾括号带平方，尾项符号随中央。勾股定理经典习题1 （1）若 的三边长分别为 ，那么此三角形最大的内角的度数是（）.ABC 3,21（A） （B） （C） （D）3009060（2） 在 中， 则该三角形为（）. 681AB， ， ，（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）等腰直角三角形2如图，在 ABCD 中， 与 相交于 ， , ,则A
9、OB 的周长为（）.DO2,5B26AC（ A） （B） 51843（C） （ D）184626（第 10 题）ODCBA63 如图所示，一场台风过后，垂直于地面的一棵树在距地面 1 米处折断，树尖 B 恰好碰到地面，经测量，则树高为（ ）米.2AB（A） （B） （C） （D） 1+51+325-34.在 中， ， ，若点 在边 上移动，则 的最小值是 ABC 56BCPACBP5.（1）如图，在三角形纸片 ABC 中，BC =3， ， ,在 上取一点 ，沿 折叠，90EB使 的一部分与 重合， 与 延长线上的点 重合，则 的长为 ADE（2）如图有一块直角三角形纸片， , ，90C6B，现
10、将 沿直线 折叠，使点3BCcmBEF落在直角边 的中点 处，则 ADcm6（本小题满分 6 分）如图一架长 的梯子 斜靠在竖直的墙面 上,此时 的长 ，如果梯子的顶端 沿着墙下10AOBA6B滑 1 ，那么梯子底端也向外移动 吗？为什么？ 17 （本小题满分 8 分）已知： 和 都是等腰直角三角形， 的顶点 在 的斜边 上（如图所ACBEDACBECD示） ， .1（1）求 的长；（2）设 ，求 的值.,xy2xBOO A墙 地面 l2 l1 xy P AO 1（第 18 题） （第 20 题）（第 19 题） O DCBA（第 23 题）E A DBC（第 16 题）B EDC F A（第
11、 8 题） （第 15 题）PCBAABCDE（第 16 题）7四边形 1四边形的内角和与外角和定理：（1）四边形的内角和等于 360；（2）四边形的外角和等于 360.2多边形的内角和与外角和定理：（1）n 边形的内角和等于(n-2)180；（2）任意多边形的外角和等于 360.3平行四边形的性质：因为 ABCD 是平行四边形 .54321） 邻 角 互 补（ ） 对 角 线 互 相 平 分 ；（ ） 两 组 对 角 分 别 相 等 ；（ ） 两 组 对 边 分 别 相 等 ；（ ） 两 组 对 边 分 别 平 行 ；（4.平行四边形的判定：.是 平 行 四 边 形） 对 角 线 互 相 平
12、 分（ ） 一 组 对 边 平 行 且 相 等（ ） 两 组 对 角 分 别 相 等（） 两 组 对 边 分 别 相 等（ ） 两 组 对 边 分 别 平 行（ ABCD543215.矩形的性质：因为 ABCD 是矩形 .3;2;1） 对 角 线 相 等（ ） 四 个 角 都 是 直 角（ 有 通 性） 具 有 平 行 四 边 形 的 所（6. 矩形的判定：四边形 ABCD 是矩形.边 形） 对 角 线 相 等 的 平 行 四（ ） 三 个 角 都 是 直 角（ 一 个 直 角） 平 行 四 边 形（ 321AB CD1 234AB CDA BDOCA BDOCADBCADBCADBCOADB
13、CO87菱形的性质：因为 ABCD 是菱形.321角） 对 角 线 垂 直 且 平 分 对（ ） 四 个 边 都 相 等 ；（ 有 通 性 ；） 具 有 平 行 四 边 形 的 所（8菱形的判定：四边形四边形 ABCD 是菱形.边 形） 对 角 线 垂 直 的 平 行 四（ ） 四 个 边 都 相 等（ 一 组 邻 边 等） 平 行 四 边 形（ 3219正方形的性质：因为 ABCD 是正方形 .321分 对 角） 对 角 线 相 等 垂 直 且 平（ 角 都 是 直 角 ；） 四 个 边 都 相 等 ， 四 个（ 有 通 性 ；） 具 有 平 行 四 边 形 的 所（CDA B（1） A B
14、CDO（2） （3） 10正方形的判定：四边形 ABCD 是正方形.一 组 邻 边 等矩 形）（ 一 个 直 角） 菱 形（ 一 个 直 角一 组 邻 边 等） 平 行 四 边 形（ 321(3)ABCD 是矩形又AD=AB 四边形 ABCD 是正方形14三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.一 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，三角形中位线，梯形中位线.二 定理：中心对称的有关定理CDBA OCDBA OCDA B91关于中心对称的两个图形是全等形.2关于中心对称的两个图形，对
15、称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.3如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.三 公式： 1S 菱形 = ab=ch.（a、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为 c 边上的高）212S 平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边，h 为 a 上的高）四 常识：1若 n 是多边形的边数，则对角线条数公式是： .2)3n(2规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.3如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.4常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 ；
16、是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 .注意：线段有两条对称轴.平行四边形1 (1)如图， ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是 CD 的中点，若 BC ，6cm则 OE 的长为 cm(2)如图， ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是 CD 的中点，若 AD ，则 OE 的长为 4cm cm2 如图，在平行四边形 ABCD 中，AEBD 于点 E，CFBD 于点 F，则图中全等三角形共有（）.（A）2 对 （B）3 对 （C）4 对 （D）5 对4. （1）四边形 中，对角线 、 相交于点 ，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形AB
17、DABO的是（）.（A） （B ）C ， ADCB，（C） （D）O， ，（2）下列结论中，不正确的是（）.（A）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （B） 对角线相等的平行四边形是矩形； （C）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形；（D）对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半.FEDCAB（第 8 题）DECBA（第 13 题）OD CBA（第 9 题）DCBA（第 13 题）10（3)用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（）.（A）菱形 （ B）矩形 （C）矩形和菱形 （D）正方形5.（本小题满分 6 分）如图所示，把一幅直角三角板摆放在一起， 30AB，, ,量
18、得 ，45BCD90ABDC2cm试求 、 的长6（1）如图，O 为矩形 ABCD 对角线的交点，DE AC ，CEBD（1）试判断四边形 OCED 的形状，并说明理由；（2）若 AB=4，BC=6，求四边形 OCED 的周长和面积(2)（本小题满分 7 分）如图，在 中，对角线 、 相交于 ， , ,求 的度数.ABCDABDOAD43BOC（第 18 题）DBA CDCBAO E（第 21 题）BOOA墙地面l2 l1xyPAO1（第 18 题） （第 20 题）（第 19 题）ODCBA117.（本小题满分 8 分）如图，在 ABC 中，ACB=90，点 E 为 AB 中点，Rt连结 C
19、E，过点 E 作 EDBC 于点 D，在 DE 的延长线上取一点 F，使 AF=CE（1）求证：四边形 ACEF 是平行四边形（2）若 ，试求 的面积与2CxABC四边形 ACEF 面积的比值8.（本小题满分 9 分）如本题图 1，在 中， ， 是 关于直线 的对称点，连接ABC a2ACbDBAC交 于 ，连接 、 , 是线段 上一动点，连接 、 BDODPBPO（1）判断四边形 是怎样的四边形，并说明理由；E（2）设 ， 的面积为 ，求 随 变化的解析式，写出自变量 的取值范围；Px yxx（3）如本题图 2，延长 交线段 于点 ，作 于 ,设 的面积为 .当QRQRt s时, 试比较 与
20、 的大小，并对结论给予证明.ysA9 如图，在 中， ， ， 为 中点， 于点 ，连接 ,设ABCD510BCFADCEABCF(609)（1）当 时，求 CE 的长；a（2）当 时, 证明： ；E设 的度数为 ， 的度数为 ，AEFxFDy求 关于 的函数解析式y （第 25 题）FEDCABBDCAF E（第 23 题）（第 25 题图 1）DPOCBA（第 25 题图 2）AB COP RQ D12一次函数一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做 变量 ；数值始终不变的量叫做 常量 。二、函数的概念：函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量 x 与 y，并且对于
21、 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数三、函数中自变量取值范围的求法：（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为 0 的一切实数。（3）用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一 切实数。（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。四、 函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如
22、果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象五、用描点法画函数的图象的一般步骤1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。 ）注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来） 。六、函数有三种表示形式：（1）列表法 （2）图像法 （3）解析式法七、正比例函数与一次函数的概念：一般地，形如 y=kx(k 为常数，且 k0)的函数叫做正比例函数.其中 k 叫做比例
23、系数。 一般地，形如 y=kx+b (k,b 为常数，且 k0)的函数叫做一次函数. 当 b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.八、正比例函数的图象与性质：（1)图象:正比例函数 y= kx (k 是常数，k0) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线 y= kx 。(2)性质:当 k0 时,直线 y= kx 经过第三，一象限，从左向右上升，即随着 x 的增大 y 也增大；当 k0，b0 图像经过一、二、三象限；（2）k0，b0 图像经过一、三、四象限；（3）k0，b0 图像经过一、三象限；（4）k0，b0 图像经过一、二、四象限；（5）k0，b0
24、图像经过二、三、四象限；（6）k0，b0 图像经过二、四象限。一次函数表达式的确定求一次函数 y=kx+b（k、b 是常数，k0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数 y=kx（k0）时，只需一个点即可. 5.一次函数与二元一次方程组：解方程组从“数”的角度看，自变量（ x） 为何值时两个函数的值相等并求出这个函数值 解方程组 从“形”的角度看，确定两直线交点的坐标.一次函数1 (1)若正比例函数 kxy的图象经过点（2，1） ，则 k的值是（）.（A） 2 （B） （C） 21 （D） 2(2). 若正比例函数 kxy的图象经过点（1，2） ，则 k的值是（ ）.（A） 1 （B ） （C）
25、 （D ） 2cbayx22112211142. 根据下表中一次函数的自变量 与函数 的对应值，可得 的值为（ ）.xyp 20 1 3 0 （A） （B） （C） （D） 11 33. (1）对于函数 3yx，下列结论正确的是 （）.（A）它的图象必经过点 ()， （B ）它的图象经过第一、二、三象限（C）当 1x时， 0y （D） y的值随 x值的增大而增大（2） 一次函数 若 随 的增大而增大，则 需要满足的条件是 2kxk（3）一次函数 若 随 的增大而增大，则 的取值范围是 ,1)(myym4 (1）如图，直线 ： 与直线 ： 相交于点 P（ ， 2） ， 则 关 于 的 不 等 式
26、1lyx2lyxnax 的 解 集 为 （）.xn（A） （B） （C） 1 （D）my（2）（本小题满分 7 分）如图，直线 与直线 在同一平面直角坐标系内交于点 Pxyl2:13:2kxyl（1）直接写出不等式 2x kx+3 的解集;（2）设直线 与 x 轴交于点 A，求OAP 的面积2lyxOP2a（第 10 题）1l2lBOOA墙地面l2 l1xyPAO1（第 18 题） （第 20 题）（第 19 题）ODCBA155直线 沿 轴平移 个单位，则平移后直线与 轴的交点坐标为 12xyy3y6（1）.（本小题满分 7 分）已知：一次函数 的图象经过 ， 两点.kb(0,2)M(1,3
27、)N（1）求 的值；、（2）求直线 与 轴的交点坐标.yx(2) （本小题满分 8 分）已知：一次函数 的图象经过 ， 两点.kb(2,1)(,3)（1）求一次函数的解析式；（2）当 时，求 的值；3yx（3）当 取何值时， .x0?y7.（本小题满分 9 分）“五一节”期间，何老师一家自驾游去了离家 170 的某地，下面是他们离家的距离 与汽车kmykm行驶时间 （h ）之间的函数图象 .x（1）出发半小时后离家多少 ？km（2）求 关于 的函数解析式，并指出 的取值范围；yx（3）他们出发 2 小时时，离目的地还有多少 ？k8（本小题满分 9 分）、 两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆
28、汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终AB在高速公路上正常行驶甲车驶往 城，乙车驶往 城，甲车在行驶过程中速度始终不变甲车距BA城高速公路入口处的距离 （千米）与行驶时间 （时）之间的关系如图yx（ 1） 求 关 于 的 表 达 式 ；yx（ 2） 已 知 乙 车 以 60 千 米 /时 的 速 度 匀 速 行 驶 ， 设 行 驶 过 程 中 ， 两 车 相 距 的 路 程 为 （ 千 米 ） 请直s接写出 关 于 的 表 达 式 ；s（ 3） 当 乙 车 按 （ 2） 中 的 状 态 行 驶 与 甲 车 相 遇 后 ， 速 度 随 即 改 为 （ 千 米 /时 ） 并 保 持 匀 速
29、行 驶 ， 结a果 比 甲 车 晚 40 分 钟 到 达 终 点 ， 求 乙 车 变 化 后 的 速 度 ,并 在下图中画出乙车离开 城高速公路B入口处的距离 （千米）与行驶时间 （时）之间的函数的图象yx（第 16 题）（第 24 题）2.51.517090y(km)o x(h)BA1 2 33435360120180240300360O/千米/时x（第 24 题）16数据的分析数据的代表：平均数、众数、中位数、极差、方差1解统计学的几个基本概念总体、个体、样本、样本容量是统计学中特有的规定，准确把握教材，明确所考查的对象是解决有关总体、个体、样本、样本容量问题的关键。2.平均数当给出的一组
30、数据，都在某一常数 a 上下波动时，一般选用简化平均数公式 ，其中 a 是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数; 当所给一组数据中有重复多次出现的数据，常选用加权平均数公式。3.众数与中位数平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。中位数与数据排列有关，个别数据的波动对中位数没影响；当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。4.极差用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极
31、差，极差最大值最小值。5.方差与标准差17用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，计算公式是s2= (x1- )2+(x2- )2+(xn- )2；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越大，波动越大，也越不稳定或不整齐。数据的分析1小明妈妈经营一家服装专卖店，为了合理利用资金，小明帮妈妈对上个月各种型号的服装 销售数量进行了一次统计分析，决定在这个月的进货中多进某种型号服装，此时小明应重点参考的是（）.（A）众数 （ B）平均数 （C）加权平均数 （D）中位数2. 在一次九年级学生视力抽检中，随机检查了 8 个人的右眼视力，结果如
32、下：4.0、4.2、4.5、4.0、4.4、4.5、4.0、4.8，则下列说法中正确的是（）.（A）这组数据的中位数是 4.4 （B）这组数据的众数是 4.5（C）这组数据的平均数是 4.3 （D）这组数据的方差是 03下表是某网络公司员工月收入情况表, 此公司员工月收入的平均数是 月收入（元） 45000 17000 10000 5600 5000 3800 3000 1600人数 1 1 1 2 5 2 11 24（本小题满分 8 分）甲乙两人参加某项体育训练，近期五次测试成绩得分情况如图所示：（1）分别求出两人得分的平均数;（2）谁的方差较大？（3）根据图表和（1）的计算，请你对甲、乙两
33、人的训练成绩作出评价.1 2 3 4 5 次数10111213141516得分甲：乙：（第 22 题）0185.（本小题满分 7 分）下表是某网络公司员工月收入情况表.月收入（元） 45000 17000 10000 5600 5000 3800 3000 1600人数 1 1 1 2 5 2 11 2（1）求此公司员工月收入的平均数；（2）若用所求平均数反应公司全体员工月收入水平，合适吗？若不合适，用什么数据更好？6.（本小题满分 8 分）为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取 5 棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图；请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势01234567891 2 3 4 5 植株高度/cm乙苗高统计图19
