1、,多元函数微分学,习题课(5),课件制作：胡合兴 易学军,一、内容总结,1.多元函数的概念,2.多元函数的极限和连续性,A.极限的定义，二重极限和二次极限的区别 B.连续性C.有界闭区域上连续函数的性质,3.偏导数的定义、计算以及几何意义,5.复合函数偏导数的链式法则,4.全微分的定义，形式不变性；可微和偏导数存在、偏导数连续，连续之间的关系,二、作业讲析 略,例1. 若,求,解:,三、典型例题讲解,7,例2 求极限,解,其中,证明函数,解:,同理,在（0,0）的两个二次极限存在，但二重极限不存在,例3.,但,特别取 得两个不同的极限0,1；故二重极限不存在。,9,习题 证明 不存在,证,取,
2、其值随k的不同而变化，,故极限不存在,说明,二重极限,存在要求点(x,y)在定义,域内沿任何路径以任何方式趋于点(x,y),证明函数,解:,在点（0,0）处关于x,y的偏导数存在，但在（0,0）点不连续,又,可见函数在（0,0）点极限不存在，更不连续但可偏导.,例4.,例5（1）,解,（2）,（1）,（2）,例6,解,利用偏导数定义讨论,要使上式极限存在，左右极限都应存在且相等。,当,时，只能,所以当,存在且,同理，当,存在且,例7,解,例8 设,讨论函数 在点,的可微性。,解 由,可微的定义，只要讨论极限,是否趋于0。,所以， 在点,处可微。,证明连续函数,x,y的两个偏导数存在但并非可微分.,但,在（0,0）点关于,解:,显然与k值有关，故不存在,从而不可微分,同理,习题.,例9,解法1 利用全微分的定义,解法2 利用一阶全微分形式的不变性,于是,例10. 设,其中 f 与F分别具,解法1 方程两边对 x 求导, 得,有一阶导数或偏导数, 求,解法2,方程两边求微分, 得,化简,消去 即可得,练习题,三、,五、验证下列各式,答案,
