1、学习外微分形式的一些感受PB07210141 焦凡书外微分形式把 Stokes,Gauss 公式联系起来,而且推广到高维空间。初学时觉得很“神奇”，查阅了一些书籍后才知道 Poincare指出多重积分的体积元素应有一个正负定向导致了外微分的出现。而外微分的出现可以说标志着微积分从古典走向现代。在物理，力学，偏微分方程，微分几何中，外微分发挥了巨大的作用。外微分有其更本质的含义，下面是我的一些总结和感受。如果我们研究曲面（双侧曲面）的方向性，那么：在双侧曲面上任意取定一点 M，并在 M 处选定一个单位法向量 n(M)，对于曲面 S 上任意一点 M，在 S 上做一条连接 M,M的曲线，由 n(M)
2、沿曲线连续变化的原则，就可以唯一的确定 M处的单位法向量 n(M)，从而就完全确定了双侧曲面的一个侧。曲面 S 在 M 处的单位法向量有且仅有两个，它们是互为相反方向的单位向量，这两个向量正好确定了曲面的两个定侧。在双侧曲面内令：x=x(u,v) y=y(u.,v)则面积元素 dA=dxdy=| |dudv=| |dudv=( )dudvvuyx,vyxuyvx_若将 x,y 对换 dA=dydx=| |dudv=| |dudv=( )dudvvuxy,vxvyux_可得 dxdy=-dydxdxdx=0我们把满足上述关系即：两个相同微分乘积为零，不同微分乘积变换顺序时变号的微分之间的乘积称为
3、微分外积，用 表示。由微分的外乘积乘上函数组成的微分形式称为外微分形式。若 P,Q,R,H 是 x,y,z 的函数，则 Pdx+Qdy+Rdz 为一次外微分形式。Pdy dz+Qdz dx+Rdx dy 为二次外微分形式，Hdx dy dz 为三次外微分形式。可以证得（1）Newton-Leibniz 公式用外微分表示 =f(b)-f(a)=DdfDf（2）Green 公式用外微分表示 Pdx+Qdy, = ,QdyPxdxyP)(Dd（3）Gauss 公式用外微分表示 Pdy dz+Qdz dx+Rdx dy, Pdy dz+Qdz dx+Rdx dy= dx dy dz, S)(zRyxP
4、VVd（4）Stokes 公式用外微分表示 Pdx+Qdy+Rdz, ,)()()( dyxPQdxzRPdzyQRdzQyPxLS S而数量场的梯度，向量场的散度，旋度分别与之对应。因此他们的关系可以表示为 由此得出公式的一般形式：定理 设为 外微分形式，d 是它的外微分，则有GdG 是 d 的积分区域， G 表示 G 的边界。Stokes 公式揭示了微分与积分在空间上的关系。若令 ，d 为算子，则它们对偶.所以说 Stokes 公式是微积分中最本质的，由它引出了微分几何，广义相对论的很多内容，我的知识有限，希望以后有能力了解更多。参考书目：高等数学导论微积分五讲龚升 外微分形式的次数 空间 公式 对应的度0 直线段 Newton-Leibniz 梯度1 平面区域 Green 旋度1 空间曲面 Stokes 旋度2 空间区域 Gauss 散度
