1、二次函数与一元二次方程间的相互转化二次函数 2yaxbc与一元二次方程 2axbc0 有着紧密的联系，即：一元二次方程 0 就是二次函数 y当函数 y的值为 0 的情形下面举例说明这种转化关系的应用一、利用二次函数解决一元二次方程问题例 1（江西省中考题）已知二次函数 2yxm的部分图象如图 1 所示，则关于 x的一元二次方程 20xm的解为 解析：由图象得，抛物线对称轴是过点（1，0）且平行于 y轴的直线；抛物线与轴一个交点的横坐标 3设抛物线与 x轴另一个交点的横坐标为 1x每对对称点到对称轴的距离相等， 13解得 x-1根据二次函数与一元二次方程的转化关系，得一元二次方程 20xm的解为
2、-1 和 3总结：求一元二次方程的解可转化为求二次函数图象与 x轴交点的横坐标二、利用一元二次方程解决二次函数问题例 2（广州市中考题）二次函数 21yx与 轴的交点个数是（ ）A、0 B、1 C、2 D、3解析：当 y0 时， 2x0 24bac ()40，一元二次方程 21x0 有两个相等的实数根根据二次函数与一元二次方程的转化关系，得二次函数 2y与 轴只有一个交点，选 B例 3 二次函数 (62)(3)mxxm的图象如图 2 所示，则 m的取值范围是图 1xyO 1 3（ ）A m3 B m3 C 0 m3 D 0 m3解析：观察图 2，抛物线与 x轴有两个不同的交点根据二次函数与一元
3、二次方程的转化关系，得一元二次方程 2(6)(3)0有两个不相等的实数根 24bac 4mm0解得 3又抛物线开口向上， 0 m的取值范围是 0 m3，选 D总结：二次函数的图象与 x轴的交点个数可转化为一元二次方程的解的个数求解三、二次函数与一元二次方程的综合应用例 4（兰州市中考题）抛物线 22yax的一部分如图 3 所示，那么该抛物线在 y轴右侧与 x轴交点的坐标是 解析：观察图象，抛物线与 x轴一个交点的横坐标为-3根据二次函数与一元二次方程的转化关系，得-3 是方程 22ax0 的一个根 (3)()0解得 1-1， 2-2当 a-1 时，方程为 23x0，解得 1x1， 2-3当 -
4、2 时，方程为 460，解得 1， -3根据二次函数与一元二次方程的转化关系，得该抛物线在 y轴右侧与 x轴交点的坐标是（1，0）例 5 在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是 21已知镜面玻璃的价格是每平方米 120 米，边框的价格是每米 30元，另外制作这面镜子还需加工费 45 元设制作这面镜子的总费用是 y元，镜子的宽是x米O xy-3图 3yxO图 2（1）求 y与 x之间的关系式（2）如果制作这面镜子共花了 195 元，求这面镜子的长和宽解析：（1）镜子的宽是 x米，镜子的长是 2米，镜面玻璃的面积为 2x平方米，边框总长度为 6x米 03645yx 与 之间的关系式 201845yx（2）当 y195 时， 9整理，得 2865x解得 1， 24（舍去） x1答：这面镜子的长是 1 米、宽是 2米
