1、平面向量数量积性质的应用江苏 袁军平面向量数量积性质的应用是考试的重点，为使同学们能熟练应用平面向量的数量积，下面就平面向量的数量积几种题型进行归纳，希望对同学的学习有用。应用一：平面向量的模长问题例 1 已知 ，向量 与向量 的夹角为 ，求 。2,3abab60ab分析：关系式 可使向量的长度与向量的数量积互相转化，因此欲求 可求,将此式展开，由已知 及向量 与向量 的夹角为 可求()b2,360。a2)c解： ， = ，,3abcos60 = =4 ， = 。2b22()()79ab7点评：利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：（1） ；22aa或（2） ；2
2、2()bb（3）若 。,yxyx则应用二：平面向量的夹角问题例 2 已知向量 ， ， ，若 ，则 的(1,2)a(,4)b5c5()2abcac夹角为 。解析：向量 ， ， ，又设 ，(,)(,)(1,)ab(,)xy由 可得 ，假设 与 的夹角为 ，故可得5()2abc52xyc，所求角为122cosxy 521os2axyc。120点评：利用公式 求向量的夹角是我们最常用的一种方法，122osxyab在应用时，应考虑先将两个向量的数量积求出，再将它们的模的乘积求出，从而得到夹角余弦值。例 3.已知且 与 的夹角为 ，则当 为何值时，向量 与 垂直？5,4aba60kkab2解析： 。(2)
3、kb（ ） ()(2)0ab即 ，2(1)0a 0426cos4515k 。即 为 时，向量 垂直。54kk与 向 量点评：（1） 非零向量 是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中有关垂0ab直问题十分有效，应熟练掌握。（2） 若 。1212(,)(,)0xyabxy则应用四：平面向量的数量积的坐标表示例 4.已知向量 ， ， 。(3,4)OA(6,3)B(5,3)OCm若点 、 、 能构成三角形，求实数 应满足的条件；BC若 为直角三角形，且 为直角，求实数 的取值范围。解析：已知向量 ， ， 。(,)(,)(,)若点 、 、 能构成三角形，则这三点不共线，A ， ，故知 ，实数 ，(3
4、,1)B(2,1)m3(1)2m12m满足条件。若 为直角三角形，且 为直角，则 ，CABAC , .3(2)(1074点评：本题将平面几何中的三点不共线问题转化为向量 ， 不共线问题，从而利用解决，而对于 为直角，则可以转化为 ，因此，平面几何中121xyA0ABC的垂直，共线，夹角问题可用相应的向量知识解决练习：1. 在 中，设 且 是直角三角形，求 的值。ABC2,31,Ckk2. 若| |=2，| |= ， 与 的夹角为 45，要使 与 垂直，则 k= ababa。3. 若 ， 与 及 的夹角均为 ， ， ， 则 = c601a23,c2()bc。答案：1， 的值为 或 或 ；2， ；3，11.k321351平面向量的数量积的性质包括向量形式和坐标形式，在用的时候得分清是坐标形式还是坐标形式，恰当合理的选用公式。
