1、www.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！学数学 用专页 第 1 页 共 6 页 教数学 用华软抽象函数单调性的判断例 已知函数 对任意实数 ， 均有 且当 时，()fxxy)()(yfxyfx，试判断 的单调性，并说明理由. )(xf解析：根据题目所给条件，原型函数为 ， （ ） 此为增函数类比其证kx明方法可得：设 ，且 ，则 ，故 12,xR21x1)(12xf )(ff)(f)(f )12x11x (f 故 在（ ， ）上为增函数)(1xf)2)(xf例 已知函数 在 上是奇函数，而且在 上为增函数，yR(0)，证明 在 上也是增函数()fx0)，解析：此函数原型函数同样可以为
2、 ，而奇函数这个条件正是转化的媒()ykx介设 ，且 ，12(0)x， ， 12为奇函数， ， )f1()()fxf22)()fxf由假设可知 ，即 ，且 ，12x， (0， ， 12x由于 在 上是增函数，()f0)，于是有 ，即 ，从而 ，12(xf12()()fxf12()fxf在 上是增函数()yf)，例 已知函数 对于任意正数 ， 都有 ,且 0,xxy)(xf(f)y(xf当 1 时, 1试判断 在（， ）上的单调性，并说明理由x)(f)(f解析：此函数的原型函数可以为 显然此函数在（， ）上是减函数xywww.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！学数学 用专页 第 2 页
3、共 6 页 教数学 用华软对于 （， ）有 x)(xf0)()2xff又 ， )(f设 ， （， ） ，且 则1x21x2，2112 21 1()() ()fff fxxA ， 故 在（， ）上为减函数)(f)2ff一 般 形 式 为 y=f(x)且 无 法 用 数 字 和 字 母 表 示 出 来 的 函 数 ， 一 般 出 现 在 题 目 中 ， 或许 有 定 义 域 、 值 域 等 。 山 武 补 充 ：1 抽 象 函 数 常 常 与 周 期 函 数 结 合 ， 如 ：f(x)=-f(x+2)f(x)=f(x+4)2 解 抽 象 函 数 题 ， 通 常 要 用 赋 值 法 ， 而 且 高
4、考 数 学 中 ， 常 常 要 先 求 F（ 0） F（ 1）抽 象 函 数 的 经 典 题 目 ！ ！ ！我 们 把 没 有 给 出 具 体 解 析 式 的 函 数 称 为 抽 象 函 数 。 由 于 这 类 问 题 可 以 全 面 考 查 学 生对 函 数 概 念 和 性 质 的 理 解 ， 同 时 抽 象 函 数 问 题 又 将 函 数 的 定 义 域 ， 值 域 ， 单 调 性 ， 奇 偶性 ， 周 期 性 和 图 象 集 于 一 身 ， 所 以 在 高 考 中 不 断 出 现 ； 如 2002 年 上 海 高 考 卷 12 题 ，2004 年 江 苏 高 考 卷 22 题 ， 200
5、4 年 浙 江 高 考 卷 12 题 等 。 学 生 在 解 决 这 类 问 题 时 ， 往往 会 感 到 无 从 下 手 ， 正 确 率 低 ， 本 文 就 这 类 问 题 的 解 法 谈 一 点 粗 浅 的 看 法 。一 特 殊 值 法 :在 处 理 选 择 题 时 有 意 想 不 到 的 效 果 。例 1 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x)满 足 f (x + y) = f (x) + f ( y )(x， y R)， 当 x0， 则 函 数 f (x)在 a,b上 ( )A 有 最 小 值 f (a) B 有 最 大 值 f (b) C 有 最 小 值 f (b) D 有 最 大
6、 值 f ( )分 析 ： 许 多 抽 象 函 数 是 由 特 殊 函 数 抽 象 背 景 而 得 到 的 ， 如 正 比 例 函 数 f (x)= kx(k0)， , , ， 可 抽 象 为 f (x + y) = f (x) +f (y)， 与 此 类 似 的 还 有 特 殊 函 数 抽 象 函 数f (x)= x f (xy) =f (x) f (y)f (x)= f (x+y)= f (x) f (y)f (x)= f (xy) = f (x)+f (y)www.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！学数学 用专页 第 3 页 共 6 页 教数学 用华软f (x)= tanx f(
7、x+y)= 此 题 作 为 选 择 题 可 采 用 特 殊 值 函 数 f (x)= kx(k0) 当 x 0 即 kx 0。 . k 0， 而 ， 则 得 ，即 f (x)在 R 上 是 一 个 减 函 数 ， 可 得 f (x)在 a,b上 有 最 小 值 f(b)。例 3 已 知 函 数 y = f (x)(x R， x0)对 任 意 的 非 零 实 数 ， ， 恒 有 f( )=f( )+f( ),试 判 断 f(x)的 奇 偶 性 。解 ： 令 = -1， =x， 得 f (-x)= f (-1)+ f (x) 为 了 求 f (-1)的 值 ， 令 =1， =-1， 则 f(-1)
8、=f(1)+f(-1),即 f(1)=0,再 令 = =-1 得 f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) f(-1)=0 代 入 式 得f(-x)=f(x),可 得 f(x)是 一 个 偶 函 数 。三 利 用 函 数 的 图 象 性 质 来 解 题 ：抽 象 函 数 虽 然 没 有 给 出 具 体 的 解 析 式 ， 但 可 利 用 它 的 性 质 图 象 直 接 来 解 题 。抽 象 函 数 解 题 时 常 要 用 到 以 下 结 论 ：定 理 1： 如 果 函 数 y=f(x)满 足 f(a+x)=f(b-x)， 则 函 数 y=f(x)的 图 象 关 于 x= 对 称 。定 理
9、 2： 如 果 函 数 y=f(x)满 足 f(a+x)=f(b+x)， 则 函 数 y=f(x)是 一 个 周 期 函 数 ， 周期 为 a-b。 例 4 f(x)是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ， 且 f(x)=f(2-x)， 证 明 f(x)是 周 期 函 数 。分 析 ： 由 f(x)=f(2-x)， 得 f(x)的 图 象 关 于 x=1 对 称 ， 又 f(x)是 定 义 在 R 上 的 偶函 数 ， 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， 根 据 上 述 条 件 ， 可 先 画 出 符 合 条 件 的 一 个 图 ， 那 么 就 可 以化 无 形 为 有 形 ， 化 抽 象
10、为 具 体 。 从 图 上 直 观 地 判 断 ， 然 后 再 作 证 明 。由 图 可 直 观 得 T=2,要 证 其 为 周 期 函 数 ， 只 需 证 f (x) = f (2 + x)。证 明 ： f (x) = f (-x) = f 2-(-x) = f (2 + x)， T=2。 f (x)是 一 个 周 期 函 数 。例 5 已 知 定 义 在 -2， 2上 的 偶 函 数 ， f (x)在 区 间 0， 2上 单 调 递 减 ， 若 f (1-m)0 时，f(x)0.试判断 f(x)的奇偶性和单调性.分析：在 f(x+y)=f(x)+f(y)中，令 x=y=0，得 f(0)+f
11、(0)=0，f(0)=0，又令 y=x，f( x)+f(x)=f( xx)=f(0)=0 ，即 f(x)=f (x)，f(x)是奇函数，再设 x1、x 2R，且 x10，f(x 2x1)0，从而 f(x2)f(x1)，f(x)在( .+)上是增函数.二、变量代换根据题设条件中所给等式或不等式的结构特点及欲证的结论，将题中的某些量替换为的需要的量(要注意新换的变量的取值范围，要与原题设条件等价) ，可以得到较为简单的等式或不等式，然后再设法作进一步的转化从中获解，例 2 已知函数 f(x)存在反函数且 f(x)+f(x)=2，则 f1 (x1)+f1 (3x)=_.分析：本题无法直接求出 f 1
12、(x)，若将已知等式左边看成两个函数，利用变量代换，则有如下简解：令 y1=f(x)，y 2=f(x)，则 x=f1 (y1)， x=f1 (y2)，且当 y1+y2=2 时，有 f1 (y1)+f1 (y2)=xx=0，(x 1)+(3x)=2，f 1 (x1)+f 1(3x)=0.三、利用函数性质根据题目所给的条件，分析、探求函数具有哪些特殊的性质，比如：函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，然后充分利用这些性质进行求解.例 3 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足如下两个条件：对于任意 x，yR，有f(x+y)=f(x)+f(y)；当 x0 时，f (x)0，且 f(1)=2.求函
13、数 f(x)在3，3上的最大值和最小值.分析：设 0x1x23，由条件 得 f(x2)=f(x2x1)+x1=f(x2x1)+f(x1)，即 f(x2x1)=f(x2)f(x1)，www.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！学数学 用专页 第 5 页 共 6 页 教数学 用华软x 2x10，由条件得 f(x2x1)0,f (x2)f(x1)0，即 f(x2)f(x 1)，f (x)在0，3 上是减函数，在条件中令 x=y=0，则 f(0+0)=f(0.)+f(0)，f(0)=0.再令 x=y，得 f(xx)=f(x)+f(x)，f (x)=f(x)，f(x)是奇函数，f(x)在 3，0上
14、是减函数，又当 x0 时 f(x)=f(x)0，从而 f(x)在3，3上是减函数，f(x) max=f(3)=f(3)=f(1+2)=f(1)f(2)=f(1)f(1)f(1)=3f(1)=6，f(x)min=f(3)=f(3)=6.例 4 已知函数 f(x)=ax5+bsinx+3，且 f(3)=7，求 f(3)的值.解析:f(x )的解析式中含有两个参数 a、b，却只有一个条件 f(3)=7，无法确定出 a、b的值，因此函数 f(x)(解析式不确定 )是抽象函数，注意到 g(x)=ax5+bsinx=f(x)3 是奇函数，可得 g(3)=g(3)，即 f(3)3=f(3)3，f (3)=6
15、f(3)=1.四、正难则反当关于某些抽象函数的命题不易从正面直接证明时，可采用反证法，它往往需结合其它一些求解策略，而此法是处理“是否存在”型函数综合题的常用方法.例 5 已知函数 f(x)在区间(，+) 上是增函数，a、bR，(1)求证：若 a+b0，则 f(a)+f(b)f(a)+f(b)；(2)判断(1) 中命题的逆命题是否正确，并证明你的结论.证明：(1)由 a+b0，得 ab，由函数 f(x)在区间(，+)上是增函数，得 f(a)f(b)，同理，f(b)f(a)，f(a)+f(b)f( b)+f(a)，即 f(a)+f(b)f(a)+f(b).(2)中命题的逆命题是：若 f(a)+f
16、(b)f(a)+f(b)，则 a+b0，此逆命题为真命题，现用反证法证明如下：假设 a+b0 不成立，则 a+b0，a b，ba，根据单调性，得 f(a)f(b)，f(b)f (a)，f (a)+f(b)f (a)+f(b)，这与已知 f(a)+f(b)f(a)+f(b)相矛盾，故 a+b0 不成立，即 a+b0 成立，因此(1)中命题的逆命题是真命题.五、利用模型函数探路抽象型函数问题的设计或编拟，常以某个基本函数为模型，在解题前，若能从研究的抽象函数的“模型 ”入手，根据已知条件，寻找其模型函数，通过分析、研究其图象及性质，找出问题的解法或证法.www.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软
17、传奇！学数学 用专页 第 6 页 共 6 页 教数学 用华软例 6 已知定义域为 R+的函数 f(x)满足：(1)x1 时，f (x)0；(2) f( )=1；(3)对任意的12x，yR +，都有 f(xy)=f(x)+f(y).求不等式 f(x)+f(5x)2 的解集 .解析：由题设(3)知 f(x)以 y=logax 为模型函数，由题(1)知 0a1，从而 y=logax 在(0,+)上为减函数，故本题可先证 f(x)在(0,+) 上为减函数为突破口.设 0x 1x 2，则 1，且由 f(xy)=f(x)+f(y)，得 f(x2)=f( x1)=f( )+f(x1)，x2x1 x2x1 x
18、2x1又由条件 x1 时，f( x)0，得 f( )0，f(x 2)f(x 1)，f(x)在 R+上为减函数，x2x1又由 f(1)=f(1)+f(1)，得 f(1)=0，又 f( )=1，f (2 )=f(2)+f( )=0，f(2)=1，12 12 12f(x)+f(5x)2=2 f(2)=f(4)，于是 ，解得 0x1 或 4x5，)解集为 x(0，14，5).六、数形结合根据题目所给的函数的有关的性质和背景，作出大致符合条件的函数的图象，再根据图象的直观性作出正确解答.例 7 若 f(x)为奇函数，且在(，0)内是增函数，又 f(2)=0，则 xf(x)0，xf( x)0；当 0x2 时，f (x)0，xf( x)0.故不等式 xf(x)0 的解集为(2，0)(0 ，2)，选 A.
