1、复合函数的单调性,复合函数的单调性,复合函数的单调性由两个函数共同决定；,引理1：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。,证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ax1x2b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1u2，且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)f(u2), 即y=fg(x1) y=fg(x2),故函
2、数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。,复合函数的单调性,引理2：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。,证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ag(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1u2，且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)f(u2), 即y=fg(x1) y=fg(x2),故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。,复合函数的单调性,规律：当两个函数
3、的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。 “同增异减”,增函数,增函数,增函数,减函数,减函数,增函数,增函数,减函数,减函数,减函数,增函数,减函数,解：由1-9x20得：-1/3x1/3 当-1/3x0,x增大时，1-9x2增大，f(x)减小 当0x1/3，x增大时，1-9x2减小，f(x)增大 函数的单调区间是 -1/3，0，0，1/3。,例2. 已知f ( x )=x2 + 2x + 8， g ( x ) = f ( 2x 2 )，求g ( x )的单调增区间,【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以应“分层剥离”为两个函数t=x2+
4、2 y = f ( t ) =t 2 + 2t + 8 ,(1)x(-,-1 时,函数递增,且t1,而t (-, 1 时,函数也递增，故(-,-1 是所求的一个单调增区间；,(2)x (-1,0时，函数递增，且t(1,2 ， 而 t(1,2 时，函数递减， 故(-1,0 是g ( x )的单调减区间；,(3)x(0,1时,函数递减，且t(1,2 ， 而 t(1,2,函数也递减， 故(0,1是g ( x )的单调增区间；,（4）x(1，+)时， 函数递减，且t(，1) 而t(，1) 时，函数递增， 故(1，+)是g ( x )的单调减区间 综上知，所求g ( x )的增区间是,和,例2：设f(x
5、)是定义在实数集R上的偶函数，且在区间（-，0上是增函数，又f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1),试求a的取值范围。,问：设f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且在区间（-，0)上是增函数，问在 区间(0，+）上f(x)是 增函数还是减函数？,(0a3),例1：设f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且在区间（-，0）上是增函数，又f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1),试求a的取值范围。,抽象函数,例4:,例6:已知,是定义在-1,1上的奇函数，,则有,(1)判断,（2）解不等式,在-1,1上的增减性，并证明你的结论；,解：（1）,在-1,1上增。,证明：任取,则,故,在-1,1上增
6、。,若,（2）,在-1,1上增，,不等式的解集为,是定义在-1,1上的奇函数，,则有,在-1,1上的增减性，并证明你的结论；,若,例6:已知,(1)判断,复合函数的单调性小结,复合函数y=fg(x)的单调性可按下列步骤判断：(1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数;(2) 确定函数的定义域；(3) 分别确定分解成的两个函数的单调性；(4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为增函数；(5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为减函数。复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。,
