1、数学必修 1 专题 1：抽象函数的单调性1. 三类抽象函数的类型及其单调性分析(1) 已知定义在 R 上的函数 对任意实数 都满足 ，且当)(xfyx、 )()(yfxyf时， 判断 的单调性并证明0x0)(xff证明：令 ，则 y)0()(f0)(f令 ，则 x0)(xfxf )(xf在 R 上任取 ，且使21， 21即0)()()() 12 xfxffxff )(12xff由定义可知 在 R 上为单调递减函数(2) 已知函数 的定义域是 ，满足 ，且当 时，)(xf，0)()(yfxyf1x判断 的单调性并证明 0)(xff证明：令 ，则 1y)1()(f)(f令 ，则 x 0( xff
2、)(1xf任取 ，且使， 021 21即0)()()( 11212 xffxffxf )(12xff由定义可知 在 上为单调递增函数)(f，0(3) 已知函数 的定义域是 ，且对一切 都有 ，当xf， 0yx， )()(yfxyf时，有 判断 的单调性并证明1x0)(f)(xf证明：令 ，则 y11f0)(f任取 ，且使 则 即， 021x21x)122xfff )(12xff由定义可知 在 上为单调递增函数)(f，2. 简短评价(1) 注意三类函数的定义域不同的区别；(2) 其实我们可以看出解题的思路大致一样：求出 或 ；令 或)0(f1fxy1针对练习：1. 已知函数 的定义域是 ，满足
3、，且对于定义域内任意 x、y 都有)(xf，01)2(f成立，那么 _)(yfxyf)4(1f2. 定义在 R 上的函数 满足 ， ，则)(f xyfxy)()(R， 21(f_)3(f3. 已知函数 在定义域 上为增函数，且满足 ，)(xf，0 )()3(yff3f(1) 求 的值；279，(2) 解不等式 2)8()xf4. 设函数 对任意的 ，都有 ，且当 时，(fRba， 1)()(bfabf 0x1)(xf(1) 求证： 是 R 上的增函数)x(2) 若 ，解不等式54(f 3)23(mf5. 设函数 是定义域为 R，并满足 ， ，且当 时，)xf )(yfxyf13f0x0)(xf
4、(1) 求 的值；(2) 判断函数的奇偶性；(3) 如果 ，求 x 的取值范围2)()fx6. 已知函数 对一切 ，都有 ，若 ，则是否可以Ry， )()(yfxyfaf)3(用 a 表示 )12(f7. 已知函数 的定义域是 ，当 时， ，且x，01x0)(xf )()(yfxyf(1) 求 )1(f(2) 证明： 在定义域上是增函数x(3) 如果 ，求满足不等式 的 x 的取值范围1)3(f 2)1()xf8.(河南省许昌市四校高一（上）期中联考)已知定义域为（0，+ ）的函数 满足：x1)(f时， ； 对任意的正实数 x，y，都有xf1)2(f )(yfxyf(1) 求证： ， ；0)1
5、f )(xff(2) 求证： 在定义域内为减函数；(xf(3) 求不等式 的解集2)5()2xf9.(湖南永州市祁阳四中高一（上）期中数学试卷)已知定义在 R 上的函数 满足)(xf，当 x0 时 ；)()yffx2)1(0)(ff，(1) 求证： 为奇函数；(2) 求 在3，3的最值；)(xf(3) 当 t2 时， 恒成立，求实数 k 的取值范围0)2log(l)log(22tftkf10. 已知函数 定义域为1，1 ，若对任意的 ，都有 ，x 1， yx )()(yfxyf且 时，有0x0)(f(1) 证明： 为奇函数；(2) 证明： 在1，1上为单调递增函数；)(xf(3) 设 ，若 ，对所有 ， 恒成立，求实数 m12)(amf 1， yx，a的取值范围。11. 已知 的定义域为 ，且满足 ，又当 时，)(xf，0 )()()2(yfxff ， yxyf(1) 求 的值；)4(1f、(2) 如果 ，求 x 的范围23x12. 设 是定义在 上的增函数，且对任意 都有)(f，0，、 0yx )()(yfxyf(1) 求 )1(f(2) 若 ，解不等式1)4(f 2)1(6(xff
