1、第二讲 对坐标的曲线积分,对坐标的曲线积分,一、 对坐标的曲线积分的概念 、对坐标的曲线积分的性质 、对坐标的曲线积分的计算 、对坐标的曲线积分的应用 、两类曲线积分之间的联系,对坐标的曲线积分,一、 对坐标的曲线积分的概念 、对坐标的曲线积分的性质 、对坐标的曲线积分的计算 、对坐标的曲线积分的应用 、两类曲线积分之间的联系,一、 对坐标的曲线积分的概念,（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义,一、 对坐标的曲线积分的概念,（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义,变力沿曲线作功,分割:,求和:,取极限:,取近似:,力,设一质点在xoy面内从点A沿曲线L移动到点B,变力所作的功,?,一、
2、对坐标的曲线积分的概念,（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义,一、 对坐标的曲线积分的概念,（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义,定义,注,应用中经常出现组合形式的第二类曲线积分,(1),(2),通常记为,或,其中,即,以上两个积分也称为第二类曲线积分.,函数在空间有向曲线弧上对坐标的曲线积分,通常将,记作,对坐标的曲线积分,一、 对坐标的曲线积分的概念 、对坐标的曲线积分的性质 、对坐标的曲线积分的计算 、对坐标的曲线积分的应用 、两类曲线积分之间的联系,对坐标的曲线积分,一、 对坐标的曲线积分的概念 、对坐标的曲线积分的性质 、对坐标的曲线积分的计算 、对坐标的曲线积分的应用 、两
3、类曲线积分之间的联系,线性性质,可加性,与方向有关,对坐标的曲线积分,一、 对坐标的曲线积分的概念 、对坐标的曲线积分的性质 、对坐标的曲线积分的计算 、对坐标的曲线积分的应用 、两类曲线积分之间的联系,对坐标的曲线积分,一、 对坐标的曲线积分的概念 、对坐标的曲线积分的性质 、对坐标的曲线积分的计算 、对坐标的曲线积分的应用 、两类曲线积分之间的联系,设P(x,y)、Q(x,y)在有向曲线弧L上有定义且连续,定理,L的参数方程为,（t=对应L的起点，t=对应L的终点）,注,(1),对坐标的曲线积分的计算归结为计算一个定积分!,(2),化为定积分中的三个变化,在上述公式中,起点对应下限,终点对
4、应上限.,L,或,P(x,y) Q(x,y),(3),口诀:变量参数化、一小二起下.,(4),dx dy,特例,(1),L：,(2),L：,推广,空间曲线弧：,（x=a 对应L的起点，x=b 对应L的终点）,（y=c 对应L的起点，y=d 对应L的终点）,（t=对应的起点，t=对应的终点）,对坐标的曲线积分计算思路,明确L的方程,化为定积分,三变、一注意,积分弧段,L,被积函数,积分元素,一点注意,起点对应下限,计算定积分,或,明确,选择,参数方程,确定,起点和终点对应的参数值,对坐标的曲线积分解题思路,对坐标的曲线积分解题模板,L:,明确,选择,确定,t由变到,起点终点对应的参数值 必写!,
5、明确L的方程,化为定积分,计算定积分,例1,例2,(1),按逆时针方向绕行的上半圆周.,(2),注,正确选择L的方程对计算的繁简非常重要!,注,被积函数相同、起点和终点也相同，但积分路径不同，积分值可能不相等!,例3,计算,其中L为,(1),(2),(3),注,积分路径不同，积分值可能相等!,例4,对坐标的曲线积分,一、 对坐标的曲线积分的概念 、对坐标的曲线积分的性质 、对坐标的曲线积分的计算 、对坐标的曲线积分的应用 、两类曲线积分之间的联系,对坐标的曲线积分,一、 对坐标的曲线积分的概念 、对坐标的曲线积分的性质 、对坐标的曲线积分的计算 、对坐标的曲线积分的应用 、两类曲线积分之间的联
6、系,变力沿曲线作功,例5,对坐标的曲线积分,一、 对坐标的曲线积分的概念 、对坐标的曲线积分的性质 、对坐标的曲线积分的计算 、对坐标的曲线积分的应用 、两类曲线积分之间的联系,对坐标的曲线积分,一、 对坐标的曲线积分的概念 、对坐标的曲线积分的性质 、对坐标的曲线积分的计算 、对坐标的曲线积分的应用 、两类曲线积分之间的联系,L的参数方程,t=对应起点A,L上任一点M(x,y)处的切向量为,( 的指向与L方向一致),t=对应终点B,L的参数方程,t=对应起点A,L上任一点M(x,y)处的切向量为,( 的指向与L方向一致),t=对应终点B,L的参数方程,t=对应起点A,L上任一点M(x,y)处
7、的切向量为,( 的指向与L方向一致),t=对应终点B,的方向余弦,L的参数方程,t=对应起点A,L上任一点M(x,y)处的切向量为,( 的指向与L方向一致),t=对应终点B,L的参数方程,t=对应起点A,L上任一点M(x,y)处的切向量为,( 的指向与L方向一致),t=对应终点B,的方向余弦,L的参数方程,t=对应起点A,L上任一点M(x,y)处的切向量为,( 的指向与L方向一致),t=对应终点B,L的参数方程,t=对应起点A,L上任一点M(x,y)处的切向量为,( 的指向与L方向一致),t=对应终点B,L的参数方程,t=对应起点A,L上任一点M(x,y)处的切向量为,( 的指向与L方向一致),t=对应终点B,、：,L在点(x,y)处的切向量的方向角,类似可得,例6,例7,
