1、测量电池电动势和内阻的系统误差分析山西晋城一中 闫月平（）问题提出在“用伏特表和安培表测量电池电动势和内阻” 的实验中，由于伏特表和安培表的接入会对电路产生影响，所以测量结果必将存在系统误差。那么，测量值和真实值之间有什么关系呢？（）分析方法本文介绍三种不同的分析方法。 该实验可以用图 l 中的甲和乙两种电路进行，两种电路产生的系统误差不同，在每种分析方法中将作分别讨论。设伏特表和安培表的内阻分别为 RV 和 RA，电池电动势和内阻的真实值分别为 E 真 和r 真 ，测量值分别为 E 测 和 r 测 。一、公式推导设在每种电路中变阻器阻值为 R1 和 R2 时，伏特表和安培表的两组测量值分别为
2、 U1I1 和 U2I2 。1如图 1 甲，根据闭合电路欧姆定律有：E 测 = U1+ I1r 测 （1） E 测 = U2+ I2r 测 （2）由（1） （2）解得： r 测 = 12I（3）当变阻器阻值为 R1 和 R2 时，外电路总电阻的实际值为：图 1R1/= ，R 2/ = 。干路电流为：I /1=VA)( VAR2)(, I/2= 。安培表的读数(由分流原理得)为：I 1真真 rE/1 真真 rE/I2= 伏特表的读数为：,1/1RVA,2/1IRVAU1=I1(R1+RA),U2=I2(R2+RA)。将 U1I1U2I2 的表达式代入（3）式得：r 测 = （4）V真 真将（4）
3、式代入（1）式得：E 测 = （ 5）真真 ERrV(4)(5)两式告诉我们，用图甲 1 电路测量时，电池内阻的测量值要比真实值小，或者说测出的内阻实际上是电池内阻的真实值和伏特表内阻的并联值；电动势的测量值也比真实值小，或者说测出的电动势实际上是用伏特表直接接在电池两极时的路端电压(伏特表的读数) 。2如图 1 乙，根据闭合电路欧姆定律有：E 测 = U1+ I1r 测 （6） E 测 = U2+ I2r 测 （7）由（6） （7）解得： r 测 = 12I（8）当变阻器阻值为 R1 和 R2 时，外电路总电阻的实际值为：R1/=RA+ , R2/=RA+ 。 干路电流(安掊表的读数 )为：
4、V1 V2I1= , I2= 。伏特表的读数为：真真 rREVA1 真真 rREVA2U1=I1R1/ ，U 2=I2R2/ 。将 U1I1U2I2 的表达式代入（8）式得： r 测 =r 真 +RA （9） 将（9）式代入（6）式得：E 测 =E 真 （10）（9） （10）两式告诉我们，用图 1 乙电路测量时，电池内阻的测量值要比真实值大，或者说测出的内阻实际上是电池内阻的真实值和安培表内阻的串联值；电动势的测量值等于其真实值，即没有系统误差。 二、图象比较 由闭合电路欧姆定律得出路端电压和通过电池内部的电流强度的关系为U=EIr , U I 图象如图 2 所示，图中直线和 U 轴的交点表
5、示电池的电动势，内阻为斜率的负值，即图中的 tan 值。如图 1 甲，伏特表的读数就是路端电压，而安培表的读数由于伏特表的分流却小于通过电池内部的电流强度，即 U 的测量值准确，I 的测量值偏小按这样的测量值作出的 UI 图象肯定存在系统误差现将由测量值作出的 UI 图线（实线）和准确的 UI 图线（虚线）在同一图中进行比较如图 3 所示，由于对应于每一路端电压值，I 的测量值总是偏小，而且随着变阻器阻值的减小（电流的增大）时，这种误差也减小，当外电路阻值为零时，这种误差也为零，所以实际画出的 UI 图线和准确的UI 图线在 I 轴上相交。即 E 测 r 真 。三、等效变换1如图 l 甲，实际
6、的伏特表 V 可以等效为理想的伏特表 V。和电阻RV 的并联 (图 5)，而电阻RV 和实际电池（E 真 、r 真 ）又可以等效为一个新电池(E 1、r 1) (图 6)。这样由于 V0 是理想的，安培表的读数就没有误差了。而 E1 为等效电池的电动势，即为图5 中 a、b 两点的开路电压，E 1=Uab= = 。 VR真真真真 Er1 为等效电池的内阻，即为等效电池 a、b 间短路时电动势 E1 和短路电流 I1 的比值，r 1= 。 因此，电真真真 真真真 rRrEIVV池电动势和内阻的测量值为：E 测 =E1= , r 测 =r1=真真V。和方法 1 的结果真真 rRV完全相同。2如图
7、l 乙，实际的安培表 A 可以等效为理想的安培表 A0 和电阻 RA 的串联(图 7)，而 RA 和实际电池又可以等效为一个新电池(E 2、r 2) (图 8)。这样，由于 A0 是理想的，伏特表的读数就没有误差了。 而 E2 为等效电池的电动势，即为图 8 中 c、d 两点的开路电压，E 2=Ucd=E 真 ，r 2 为等效电池的内阻，即为等效电池 c 、d 间短路时电动势 E2 和短路电流 I2 的比值，r 2=，因此，电池的电动势和内阻的测量值为AARrI真真真真2E 测 =E=E 真 ，r 测 =r2=r 真 +RA。和方法一中的结果也完全相同。（）总结以上三种分析方法都可以分析出甲和乙两种电路中电动势和内阻的测量值和真实值之间的关系。按甲图实验结果表明：当 RVr 真 时，测量误差就很小，而一般情况下都能满足RV r 真 所以，在一般情况下采用甲图测量比较合适。按乙图实验结果表明：当 RA r 真 时，测量误差也很小，但若 RA 和 r 真 可以比较的话（如蓄电池）,这种误差就不容忽视了。注：本文获“全国第八届中学物理教学改革研讨会一等奖”并发表于1999中学物理教学丛谈（）
