1、 1 二一 六 年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷 （考试时间： 2016 年 7 月 3 日上午 9： 00 11： 30，满分 150 分） 一、填空题（共 10 小题，每小题 7 分，满分 70 分。请直接将答案写在题中的横线上） 1.若实数 x、 y 满足 x2 y2 xy 1，则 x y 的最大值是 _ 答案 : 2 33 2.已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0x1， b0)的焦距为 2c，直线 l过点 (a,0)和 (0， b)，且点 (1,0)到直线 l的距离与点 ( 1,0)到直线 l 的距离之和 s45c， 则 双曲线离心率 e 的取值范围 是 _
2、 答案： 52 ， 5 8.已知甲乙两个工程队各有若干人，如果从甲工程队调 90 人到乙工程队，则乙工程队的总人数是甲工程队的 2 倍，如果从乙工程队调部分人到 甲 工程队，则甲工程队的总人数是乙工程队的 6 倍 .则甲工程队原来最少有 _人 . 答案： 153 9. 已知 ,ab是方程3 2 7 4lo g 3 lo g (3 ) 3x x 的两个根，则 ab_ 答案： 1081 11a a 开始 a=2,i=1 i2016 i=i+1 输出 a 结束 否 是 第 4 题图 2 10.数列 01,na a a 满足 0 3a , 1 1nn naa a ,( ,nnaa分别表示 na 的整数
3、部分和小数部分 ),则2016a =_ 答案： 3024 3 二、解答题（共 6 小题，满分 80 分。要求写出解题过程） 11.（本题满分 13 分） 在非等腰 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且满足( 2 ) c os ( 2 ) c os .c b C b c B （ 1）求角 A 的大小； （ 2） 若 4,a ABC求 面积的 取值范围 解：（ 1）因为 ( 2 ) c os ( 2 ) c osc b C b c B ， 所以 ( 2 si n si n ) c os ( 2 si n si n ) c osC B C B C B ， 则 s
4、i n 2 si n 2 si n( )C B B C ， 所以 2 c os( ) si n( ) si n( )C B C B B C . 因为 ABC 不是等腰三角形，所以 sin( ) 0BC， 则 1cos( ) 2CB ，所以 120CB ，因此 60A . （ 2）方法 1.根据余弦定理 2 2 2 2 c osa b c bc A ，有 2216 b c bc 因为 222b c bc （当且仅当 2bc 时不等式取等号） 所以 2216 2 ,b c bc bc bc bc 即 16bc ，所以 ABC 的面积 13s in 4 3 ,24S b c A b c 且当 4ab
5、c 时等号取到，又因为 ABC 不是等腰三角形，所以 43S ； 又显然 0S ，所以 ABC 的面积的取值范围是 (0,4 3) . 方法 2.由正弦定理得：38s ins ins in CcBbAa， CcBb s in38,s in38 ， 3 34)302s i n(3 38)120s i n(s i n316s i ns i n316s i n21 BBBCBAbcS)34,0(),1 2 0,0( SB 3 12. （本题满分 13 分） 某电视娱乐节目的游戏活动中，每个人需完成 A、 B、 C 三个项目，已知选手甲完成 A、 B、 C 三个项目的概率分别为 332,443.每个项
6、目之间相互独立 . （ ）选手甲对 A、 B、 C 三个项目各做一次，求甲至少完成一个项目的概率； （ ）该活动要求项目 A、 B 各做两次，项目 C 做三次，如果两次 A 项目都完成，则进行项目 B，并获得积分 a，两次 B 项目都完成则进行项目 C 并获积分 3a， 3 次 C 项目只要两次成功，则该选手闯关成功并获积分 6a（积分不累计），且每个项目之间互相独立，用 X 表示选手甲所获积分的数值，写出 X 的分布列并求数学期望 . 解析：（ ）设选手甲对 A、 B、 C 三个项目记为事件 A、 B、 C，且相互独立，至少完成一个项目为事件 D，则 1 1 1 4 711 4 4 3 4
7、8P D P A B C . （ ） X 的取值分别为 0, ,3 ,6 .a a a 则 1 3 1 70 4 4 4 1 6PX (也可以 3 3 701 4 4 1 6PX )， 23 1 3 1 6 34 4 4 4 2 5 6P X a (也可以 23 3 3 6 314 4 4 2 5 6P X a )， 2 2 2 2123 3 1 1 2 2 13 4 4 3 3 3 2 5 6P X a C 2 2 2 2123 3 2 2 1 6 06 4 4 3 3 3 2 5 6P X a C （也可以 7 6 3 2 1 6 061 1 6 2 5 6 2 5 6 2 5 6P X
8、a ） X 的分布列为： X 0 a 3a 6a P 716 63256 21256 60256 故 7 6 3 2 1 6 0 2 4 3X 0 3 6 .1 6 2 5 6 2 5 6 2 5 6 1 2 8E a a a a 4 13. （本题满分 13 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD， BC CD 2，AC 4， ACB ACD 3， F 为 PC 的中点， AF PB. (1)求 PA 的长； (2)求二面角 B AF D 的正弦值 解 (1)如图，连接 BD 交 AC 于点 O， 因为 BC CD，即 BCD 为等腰三角形， 又 AC 平分 BCD，故
9、 AC BD. 以 O 为坐标原点， OB ， OC ， AP 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O xyz， 则 OC CDcos 3 1， 而 AC 4，得 AO AC OC 3， 又 OD CDsin 3 3. 故 A(0， 3,0)， B( 3， 0,0)， C(0,1,0)， D( 3， 0,0) 因为 PA 底面 ABCD，可设 P(0， 3， z)， 因为 F 为 PC 的中点，所以 F 0， 1， z2 . 又 AF 0， 2， z2 ， PB ( 3， 3， z)， 因为 AF PB，故 AF PB 0， 即 6 z22 0， z 2 3(
10、舍去 2 3)， 所以 |PA | 2 3，所以 PA 的长为 2 3. (2)由 (1)知， AD ( 3， 3,0)， AB ( 3， 3,0)， AF (0,2， 3) 设平面 FAD 的法向量为 n1 (x1， y1， z1)，平面 FAB 的法向量为 n2 (x2， y2， z2) 由 n1AD 0， n1AF 0 得 3x1 3y1 0，2y1 3z1 0， 因此可取 n1 (3， 3， 2) 由 n2AB 0， n2AF 0 得 3x2 3y2 0，2y2 3z2 0， 故可取 n2 (3， 3， 2) 从而法向量 n1， n2的夹角的余弦值为 cos n1， n2 n1n2|n
11、1|n2| 18. 二面角 B AF D 的正弦值 为 638 5 14.（本题满分 13 分） 若数列 na 的前 n 项和为 nS ，点 ( na , nS )在 y 16 13x 的图象上 (n N*) (1)求数列 na 的通项公式； (2)若 1c 0，且对任意正整数 n 都有112logn n nc c a 求证：对任意正整数 n2，总有2341 1 1 1 1 3+ + +34nc c c c. (1)解 Sn 16 13an， 当 n2时， an Sn Sn 1 13an 1 13an， an 14an 1. 又 S1 16 13a1， a1 18， an 18 14 n 1
12、12 2n 1. (2)证明 由 cn 1 cn log12an 2n 1， 得当 n2 时， cn c1 (c2 c1) (c3 c2) (cn cn 1) 0 3 5 (2n 1) n2 1 (n 1)(n1) 1c2 1c3 1c4 1cn 122 1 132 1 142 1 1n2 1 12 1 13 12 14 13 15 1n 1 1n 1 12 1 12 1n 1n 1 34 12 1n 1n 1 34. 又 1c2 1c3 1c4 1cn1c2 13， 原式得证 6 15. （本题满分 14 分） 已知点 F 是椭圆 )0(11 222 ayax 的右焦点，点 ( ,0)Mm
13、、 (0, )Nn分别是 x轴、 y 轴上的动点，且满足 0NFMN 若点 P 满足 POONOM 2 （ 1）求点 P 的轨迹 C 的方程； （ 2）设过点 F 任作一直线与点 P 的轨迹交于 A 、 B 两点，直线 OA 、 OB 与直线 ax 分别交于点 S 、T （ O 为坐标原点）， 试判断 FS FT 是否为定 值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由 解析：（ 1） 椭圆 )0(11 222 ayax 右焦点 F 的坐标为 (,0)a ， ( , )NF a n ( , )MN m n ， 由 0NFMN ，得 02 amn 设 点 P 的坐标为 ),( yx ，由 POONO
14、M 2 ，有 ( , 0) 2( 0 , ) ( , )m n x y ， .2,ynxm 代入 02 amn ，得 axy 42 （ 2） (法 1)设直线 AB 的方程为 x ty a， 211( , )4yAya、 222( , )4yBya， 则 xyaylOA 14: ， xyaylOB 24: 由axxyay ,41，得 214( , )aSa y ， 同理得 224( , )aTa y 214( 2 , )aF S a y ， 224( 2 , )aF T a y ，则 4212164 aF S F T a yy 由 axy atyx 4 ,2，得 044 22 aatyy ，
15、212 4y y a 则 044)4( 164 22242 aaaaaFTFS 因此， FS FT 的值 是定值，且定值为 0 (法 2) 当 AB x 时， ( ,2 )Aa a 、 ( , 2 )B a a ，则 :2OAl y x ， :2OBl y x 由 2,yxxa 得点 S 的坐标为 ( , 2 )S a a ，则 ( 2 , 2 )FS a a 由 2,yxxa 得点 T 的坐标为 ( ,2 )T a a ，则 ( 2 , 2 )FT a a 7 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 0FS FT a a a a 当 AB 不垂直 x 轴时，设直线 AB 的方程为 ( )(
16、0)y k x a k ， ),4(121 yayA 、 ),4( 222 yayB ，同解法一，得 4212164 aF S F T a yy 由2( ),4y k x ay ax ，得 224 4 0ky ay ka ， 212 4y y a 则 044)4( 164 22242 aaaaaFTFS 因此， FS FT 的值 是定值，且定值为 0 8 16. （本题满分 14 分） 已知函数 ln() xfx x （ 1） 设实数 k 使得 ()f x kx 恒成立，求 k 的取值范围； （ 2）设 ( ) ( ) ( R )g x f x k x k ，求 函数 ()gx在区间 21 ,
17、ee 上的有两个零点 ,求 k 的取值范围 . 解：（ ）设2( ) ln( ) ( 0 )f x xh x xxx ，则31 2 ln( ) ( 0 )xh x xx 令 31 2 ln 0xhx x ，解得： ex 当 x 在 (0, ) 上变化时， ()hx ， ()hx 的变化情况如下表： x (0, e) e ( e, ) hx + 0 - ()hx 12e 由上表可知，当 ex 时， ()hx 取得最大值 12e由已知对任意的 0x ， () ()fxk h xx恒成立 所以， k 得取值范围是 1( , )2e. ( )令 ( ) 0gx 得：2( ) lnf x xk xx由 ( )知，2ln() xhx x在 1 , ee上是增函数，在 2 e,e 上是 减函数 . 且 21( ) eeh ， 1( e)2eh ， 242(e ) eh 当421e 2ek时，函数 ()gx在 21 ,ee上有 2 个零点 所以 k 的取值范围421e 2ek.
