1、Born to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解罗默高级宏观经济学 （第 3 版）第 3 章 新增长理论跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。3.1 考虑教材中第 3.2 节中 时的
2、模型。1（a）在均衡增长路径上， ，其中 是 的均衡增长路径值。利用这个事实AgtAg以及方程（3.6） 推导均衡增长路径上 的一个表达式，把它用 、 LtBatA t B、 、 和 来表示。La（b）应用对（a）问的答案以及生产函数 ，求均衡增长路径上1LYtAat的表达式。求最大化均衡路径产出的 的值。Yt La答：（a）关于产出和知识的生产函数为：（1）1LYtAt（2） 1tBatA 在均衡增长路径上， （3）/AtgnA对（2）两边除以 ，即： （4）1/LtBatA将（3） （4）联立得： 1 1/ /()L LBatnAnBatt 上式简化为：（5）1/1LAtBat（b）将（5
3、）代入（1）得： (1/1/ /1)() ()(/LLLYttnatB Born to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解两边取对数，可得： ln1/ln1/1ln1/1lnLLYt BnaLt一阶条件为：经过简单的数学运算求 ：La（6）值越大，新知识在生产函数中的作用越大。 值越大，劳动在生产函数中的作用越 大，需要雇佣越多的劳动。3.2 考虑两个经济（用 表示） ，这两个经济由 和 描12i， iiYtKtitstYA述，其中 。假设两个经济中 的初始值相同，但是 。证明 是连续增加的。1K12s
4、12/证明：将产出函数 代入资本累积方程 得：iiYttittYA， （1）iitstA1在方程（1）两边同时除以 以求出资本增长率的表达式，即：iK（2）1, /iiiigttsKtA对方程（2）求导数，求出资本增长率的增长率，即：（3）, ,/Ki ii KttgtA方程（3）简化为：（4）2,1KiKittgA如图 3-1 所示。图 3-1 资本增长率Born to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解由于 ，所以 总是保持增长。 的初始值是由储蓄率和资本存量决定的，1Kig， Kig，如方程（2）
5、所示。因此，即使两个经济中 的初始值相同，只要 ，则两个经济的初12s始资本存量的增长率 便不同。由方程（ 3）可知， 的增长率是由 决定的。0Kig， Kig， Kig，因此，高储蓄国家的资本存量的增长率总是高于低储蓄国家的资本存量的增长率。因此，对于所有的 ，有 ，并且两个国家的差距会越来越大。t12Ktt， ， 将高储蓄国家的产出与低储蓄国家的产出相比，即：（5）1212/YtKtt对方程（5）两边取对数，然后求导，得：（6）由方程（6）可以发现，高储蓄国家的资本存量的增长率总是高于低储蓄国家的资本存量的增长率，且由于对于所有的 ，都有 成立，并且两个国家的差距会0t12Kgtt， ，
6、越来越大，高储蓄国家的产出与低储蓄国家的产出的比率将持续上升，并且以递增的速率上升。3.3 考虑第 3.3 节中分析的经济。假设 ， ，且经济处于均衡增长路径上。10n说明以下各种变化如何影响 线和 线，以及变化发生时经济在 空间上0AgKA Akg，的位置：（a） 增加；n（b） 增加；K（c） 增加。答：（a） 增加n线和 线由下式给出：0AgKA（1）0AKkgn（2）1kA 资本和知识的增长率公式为：（3）（4）Born to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解从方程（1）可以看出，对于给定的
7、，由于 增加，满足 的 变大了，Agn0Kgk线向上移动；从方程（ 2）可以看出，由于 增加，对于给定的 ，满足 的0Kg A0Ag变小了，因此 向下移动，如图 3-2 所示。k 0Ag图 3-2 增加对 与 的影响n0AgK由于 并没有出现在方程（3）中，因此 没有随着 的增加而向上移动。同理，由于n kn并没有出现在方程（4）中， 没有随着 的增加而向上移动。Agn（b） 增加Ka由于 并没有出现在方程（1）和（2）中，因此 线和 线随着 的增加0AgKKa都没有变化。在方程（3）中， 增加引起资本的增长率 向下移动。在方程（4）中，Kak增加引起知识的增长率 向上移动。因此经济向 点移动
8、，如图 3-3 所示。KaAgF图 3-3 增加对 与 的影响Ka0AgK（c） 增加因为 没有出现在方程（1）中，因此 没有随着 增加而变化；因为 出现在方KBorn to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解程（2）中，因此 变的更加平坦；因为 没有出现在方程（3）中，因此资本的增长0Ag率 没有变化；因为 出现在方程（4）中，需要判断 增加的效果，可以发现 增加可能kg 会导致 向上、向下或保持不变，如图 3-4 所示。A图 3-4 增加对 与 的影响0AgK对方程（4）两边取对数，即： lnlln
9、l1lnAAgtctLtAt上式两边对 求导，可得： （5）l/lAgtt因此，如果 小于 1，则 ，随着 增加，知识增长率向下跳动；如果Atln0t大于 1，则 ，随着 增加，知识增长率向上移动；如果 等于 1，则Atln0t At， 不发生变化。这意味着向 的动态调整可能会依赖于随着 增加的 的ln0tAgNEWAg值。3.4 考虑教材第 3.3 节中描述的经济，并假定 且 。假设经济最初处于均10n衡增长路径上，且 发生持久性的增加。s（a）如果这种变化影响 和 曲线，那么它将怎样产生其影响?这种变化如0AgK何影响变化发生时经济在 空间上的位置？，（b） 增加后， 和 的动态学是什么？
10、画出每工人的对数平均产出的路径。sAgK（c）直观上， 增加的影响与其在索洛模型中的影响有何不同？s答：（a） 和 的方程分别为：0AKBorn to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解（1）0AKkgn（2）1kA 资本和知识的增长率公式分别为：（3）（4）因为 没有出现在方程（1）和（2）中，因此随着 的增加， 和 没有发生s s0AgK变化。同样，在（4）中 也没有出现，因此，随着 的增加，知识的增长率不发生变化。s不过，随着 的增加，资本的增长率会向上移动。如图 3-5 所示，经济从均衡增长路径
11、上的 点向 点移动。EF图 3-5 的持久性增加对 和 的影响s0AgK（b）在点 ，经济位于 曲线之上，因此 会上升，因为 的增加，资本的增F0Ags长率提高了，资本进入知识生产函数的数量提高了，因此知识的增长率提高了。在点 ，F经济位于 曲线之上，因此 下降了，经济会到达东南，并最终会绕过 的曲线，0KgK 0Ag从而 也开始下降。因为资本和知识的规模报酬递减，即 ，所以 的增加对于A 1s和 的增长率没有持久效应。经济最终会返回到 点。E生产函数为：（5）11KLYtatAtat对方程（5）两边先取对数再求导数，从而求得增长率，即：（6）在初始的均衡增长路径上，由（1）可得： ，将其代入
12、方程（6）可知，总KAgn产出也是以 的速度增长。因此，人均产出 在初始的均衡增长路径上以KAgn/YtLBorn to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解的速度增长。在过渡时期， 和 的增长率都变大，因此人均产出 的增长率Ag AgK /YtL也变大。图 3-6 中显示了人均产出 的增长率开始先增加而后又减少。不过，重要/YtL的一点是在过渡时期，增长率本身高于均衡增长路径上的 。最终，一旦经济返回到稳定Ag点 ，人均产出 的增长率再次为 。E/YtLAg图 3-6 人均产出 的变化/YtL（c）在本
13、模型中，储蓄率 增加的效应与索洛模型中的影响比较相似。因为规模报酬s递减，因此储蓄率 的增加只有水平效应。人均产出的路径位于原先的路径之上，人均产s出的增长率，不过对于人均产出的增长率没有持久效应，在均衡增长路径上，人均产出的增长率等于知识的增长率。这一点与索洛模型中资本的规模报酬递减有相似之处。从数量上讲，增长效应大于索洛模型，这是因为 的增长率提高后便为既定，这与索洛模型不同。A3.5 考虑第 3.3 节中 且 时的模型。 10n（a）应用（3.14）和（3.16） ，求使得 和 相等时 的取值。KgA/K（b）应用对（a）部分的答案，求当 时 和 的增长率。（c） 的增加如何影响经济的长
14、期增长率？s（d） 取什么值时可最大化经济的长期增长率？直观上，为什么该值不随 递增（K 表示资本在研发部门中的重要性）？答：（a）资本的增长率为：（1）其中， 11KKLcsa知识的增长率为：Born to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解（2）其中， 。AKLcB假设 和 ，方程（1） （2）可简化为：0n（3）11/KgtcLAtK（4）/Att因此，给定模型的参数和人口增长率， 决定了 和 两个增长率。/KgA使 和 相等，即：KgA11/ /KAcLAtcLt11/Kt进一步简化为：（5）(
15、)1/()/AKAtcL（b）令 ，将（5）代入（3）得：AKg()1/*1/KAKgcLcL上式简化为： 2()()()1/*111()KA 即：（6）（c）将 和 代入（6）中，可得：KAc（7） ()()()()()1/1* 111KLKLgsaBa 对（7）求自然对数得： （8）*ln/lnlnllnln1l KKLs aa利用方程（8）求经济长期增长率对储蓄率的弹性，即：（9）*ln/10gs因此储蓄率的增加会导致经济长期增长率的增加。这是因为储蓄率的增加导致更多的Born to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经
16、济学历年考研真题及详解资本被投入到生产中，而生产函数是规模报酬不变的。（d）通过 对 求导来判断资本用于研发部门的比例以最大化经济的增长率。lngKa一阶条件为：求解最优的 ：Ka ，因此有：/1/1KKaa01Ka（10）在研发部门使用的最优的资本份额为劳动的产出弹性。可以发现知识生产函数的资本份额并不影响研发部门使用的最优的资本份额。这是因为 增加有两个效应：一方面它使得资本在研发部门更加重要，因而倾向于提高 ；同时， 增加也使得新资本的生产更有Ka价值，当更多的产出被储蓄和投资时，新资本就生产出来。这倾向于降低 ，因为这意味Ka着更多的资源被投资于产出的生产而不是知识的产出，此处两种效应
17、正好抵消。3.6 考虑第 3.3 节中 且 的模型。10n（a）画出这种情形的相图。（b）证明：无论经济的初始条件如何， 、 （以及 的增长率）连续地增加。AKY（c）在 且 的情形下，讨论（a）和（b）的要求。10n答：（a）由教材中（3.15）式可得，资本增长率的增长率为：（1）由（1）式可知， 所表示的轨迹为：0KgA（2）KAgn由（2）式可知，在 平面上， 所表示的轨迹是一条斜率为 1 且纵截距AKg，0为 的直线，如图 3-7 所示。此外，当 （即位于 这条直线下方）时，n AKgn0KgA将增加；当 （即位于 这条直线上方）时， 将减小。Kg0AKgn0Born to win经济
18、学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解图 3-7 的相图0KgA由教材中（3.17）式可得，知识增长率的增长率为：（3）由（3）式可知， 的轨迹方程为：0Ag（4）由（4）式可知，在 平面上， 所表示的轨迹是一条斜率为 且AKg，0Ag1/纵截距为 的直线，如图 3-8 所示。此外，当 （即位于/n 1/KAgn这条直线上方）时， 将增加；当 （即位于 这条直线0AgAg/KAg0A下方）时， 将减小。A图 3-8 =0 的相图Ag由于 且 ，所以 所示的直线的斜率大于 所示直线的斜率，两10n0KgA 0Ag条直线
19、的相对位置如图 3-9 所示，不再相交。Born to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解图 3-9 且 时经济的动态10n（b） 和 的初始值是由模型中的参数和 、 、 的初始值所决定的。如图 3-9AgK AKL所示，不论经济始于何处，它最终将进入直线 与 之间的区域。一旦经济进入0g该区域， 和 的增长率将不断提高，从而总产出以及总产出增长率11KLYtatAtat也将不断增加。AtgtgtnA（c）当 且 时，直线 与 将有相同的斜率，且 所示的直100KgAA 0KgA线将位于 所示直线的上方
20、。此时经济的动态与 且 时的情形类似，如图0Ag 10n3-10 所示。不论经济始于何处，它最终将进入直线 与 之间的区域。一旦经济KgAA进入该区域，资本、知识和产出的增长率将不断提高。图 3-10 且 时经济的动态10n3.7 埃塞尔生产函数（Ethier，1982） 。假设生产函数是 ，10dALiiYxjBorn to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解，其中 为资本品 的使用量， 表示资本品的潜在数量。01XiiA（a）假设在 时， 等于 ，在其他情况下等于 0。用 表示的 、0iAXi/KY
21、L和 的函数是什么？KA（b）假设资本品 的租金价格为 且工资为 。考虑一个厂商用最低成本生产 1 单ipi位产品的问题。（1）建立厂商成本最小化的拉格朗日方程。（2）求关于 的一阶条件。Xi（3）证明该一阶条件意味着资本品 的需求弹性为 。 （注意这表明，由i1/于一个垄断者的利润最大化价格是 乘以成本，因而资本品 的垄断供应者在利润/1i最大化价格下的利润是 ，或 ，其中 是资本品的利润最大1/pixpixpi化租金价格， 是该价格下的需求量。 ）Xi答：（a）将假设条件 代入生产函数得：/xiKA（1）因为 与 独立，所以：/KAi（2）因为 ，所以：0dAi（3）1LYaKA整理得：
22、（4） （b） （1）定义 为企业雇佣的劳动数量，企业的成本最小化问题为：YL（5）预算约束为：Born to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解（6）建立该厂商成本支出最小化问题的拉格朗日方程，即：（7）（2）对上面的拉格朗日方程，即方程（7）分别关于 、 求一阶条件，可得：YLxi（8）（9）（3）由于充分就业，可以将资本品 、 和 看作既定，用（9）除（8） ，可得：xiYLpi（10）运用成本最小化条件（6）简化（10） ，可得：（11）求出资本的需求，即：（12）方程（12）两边取指数 得：1
23、/（13）劳动的要素收入为劳动的边际产品，即：将上式代入方程（13）可得：Born to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解（14）将成本最小化条件（6）代入（14）中，可得：（15）写出对资本的需求弹性，即：（16）对（15）取自然对数得：（17）因此，由方程（16）和（17）可以求得需求弹性，为：（18）资本品 的垄断供应者在利润最大化价格下的利润是 ，资本品生产商的i 1pix利润是： picxi其中 是生产单位资本品的成本，厂商选择最大化利润的资本数量，其一阶条件为：ci（19）在（19）两边除
24、以 ，用（ 18）来替代资本需求弹性的导数，如下：pi（20）求解（20） ，得出：（21）这表明垄断厂商的价格是 乘以成本，将 代入（21） ，可得：/11/（22）Born to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解因此 ，将此式代入方程（22）可得：cipipiix将上式简化为：（23）1i3.8 罗默模型（保罗罗默，1990） 。考虑与习题 3.6 相同的模型。此外，假设， ，以及 。同时假设经济中居住的是永久存活KtYCtA LAtBat0LtA家庭，他们具有不变相对风险厌恶的偏好，因此 。最后
25、，假设产 /Ctrt品生产和知识生产厂商都将工资视为既定的，劳动力可在两个部门间自由流动，产品生产厂商将资本品的租金价格视为既定的。寻找一条均衡增长路径，其中 、 、 和 的增长率相同； 和 都保持不变；KAYraL和 都独立于 且不随时间变化。令 和 分别表示均衡增长路径上的xipii P/xKA和 的水平。ii（a）应用习题 3.7 中（b） （3）的结论来表示一项资本品出租的利润现值，把它表示为 、 、 和 的函数。Pxr（b）根据（a）部分的结果以及 的表达式，求知识生产部门工人的工资。A（c）应用生产函数求产品生产部门中劳动的边际产品的表达式。（d）应用生产函数求产品生产中资本品 的
26、边际产品的表达式。i（e）结合（b）（d）部分的结果求 的一个表达式，把它用 和模型参数1Lar来表示。（f）应用 的表达式来表示均衡增长路径上经济的增长率，把它用 、 和 来表A BLa示。（g）应用 以及（e）部分和（f）部分的结果来求均衡增长路径上的/CrA、 ，以及经济增长率。Lar（h） （g）部分中得出的 值是否有可能为负？如果是，由于知识生产中的劳动量实La际上不能为负，那么在这种情形下，均衡增长路径是什么？（g）部分中得出的 值是否La有可能大于 1？答：（a）资本品出租的利润现值为：Born to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点
27、讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解（1）由习题 3.7 的式（23）可知，任何时点上的利润为： ，由于在均衡1pix增长路径上 和 都独立于 ，且不随时间变化，而 和 分别为在均衡增长xipii P/KA路径上资本品的价格和数量，所以（1）整理为：（2）因为实际利率不变，有：将上式代入（2）中，可得：（3）求（3）的积分，得：上式简化为：（4）（b）知识生产部门工人的工资为知识生产部门劳动的边际产品乘以知识生产部门产品的价格或知识的价格。更精确的讲，知识的价格等于设计新产品的价格。知识的价格将上涨到垄断生产部门供应新资本品所能得到的利润的贴现值。使用（4）并定义 为知识的Ap价格
28、，可得：（5）由于 ，知识生产部门的劳动边际产品为：LABa（6）将知识生产部门的劳动工资定义为 ，即：AW（7）Born to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解由习题 3.7 的（15）可知，资本的需求为：（8）对（8）两边同时取指数 ，在均衡增长路径上，可知：1（9）由（9）求出 ，即：P（10）将方程（10）代入方程（7）得：（11）化简式（11） ，可得：（12）（c）根据习题 3.7，定义 为在产品生产部门雇佣的劳动数量，由生产函1YLa数 可知在均衡增长路径上有：10dAYiLxji（13
29、）110dAYYiLxjiLxA在产品生产部门劳动的边际产品为：（14）（d）由习题 3.7 中的式（4）可知在 时的产出为：/xiKA（15）11LYYaLK则资本边际产出为：（16）又因为 ，所以式（16 ）可写为：/xKA（17）1YLxK（e）由于劳动可以在产品和知识生产部门自由流动，两部门的工资必然相等，即：Born to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解。由于在产品生产部门劳动得到其边际产品（产品的价格被正规化为 1） ，由式AwW（12）和（14）可知：（18）化简（18） ，可得：（1
30、9） YLBr因此，在产品生产部门雇佣的劳动数量为：（20）1/YLar（f）因为 ，所以知识增长率为：LABa（21）在均衡增长路径上， 、 、 和 以同样的速率增长，将速率定义为 ，因此有：KAYCg（22）LgBa（g）在均衡增长路径上，消费以一定的速率增长，如下：（23）将方程（20）的转化形式 代入（23） ，可得：/Lar（24）即：（25） rBLr整理利率的同类项可得：（26）r因此，在均衡增长路径上，利率为：（27）由于利率是个人耐心的减函数，个人越有耐心， 越小，即未来的贴现率越小，则在均衡增长路径上的利率越小。下面求均衡增长路径上的知识生产部门雇佣的劳动的比例 。LaBo
31、rn to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解由方程（20） 可知：1/LarB（28）将（27）代入（28）得：（29）化简（29）可得： （30）即： （31）最后，可以求出在均衡增长路径上经济的增长率，将（31）代入 ，可得：LgBa（32）即： （33）（h）下面检验在均衡增长路径上 是否可以大于 1。假定 ，则：La1La因此，只要 、 、 和 是正数， 便不可能大于 1。BLLa不过，只要 ，则 可以为负数，即个人非常没有耐心，对未来的折现率是如a此之高，相对于现在的消费从额外的知识中获取的
32、未来的收益是毫无价值的。下面考察为负数是否与家庭的最优化行为相一致。由教材的（2.2 ）式 ，La 1Ctut， ，并令 ，有下面的结果：010ng 0n（34）1g为确保终生效用不发散，将方程（33）的 代入下式：（35）化简可得：Born to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解（36）1BL即： （37）1方程（37）等价于： （38）如果 或者 ， 将为负数，因此对于正数 和 ，式BL/1LLa可以写为：1/1（39）为确保终生效用不发散，在均衡增长路径上 为负。La由于在知识生产部门劳动的投入
33、比例不可能为负，因此可以求得一个角点解，即，因为 ，在均衡增长路径上经济的增长率为 0。0LaLgBa3.9 教材第 3.13.2 节的模型将从事研发的工人比例视为既定的。根据习题 3.73.8中分析的模型，下面各种情形对 的均衡增长路径值有何影响，并用一句话对各种情形进La行直观解释。（a） 下降。（b） 上升。B（c） 上升。L答：（a）由习题 3.8 的方程式（31）可知，在均衡增长路径上，知识生产部门雇佣的劳动的比例为：（1）由（1）可知：（2）由方程（2）可知， 下降，即个人对未来贴现率的下降，提高了在均衡增长路径上的的值。如果个人变得更加有耐心，相对于现在的消费而言从研究活动中所获
34、得的未来收La益将更有价值。因此，更多的资源将被投入到知识的生产部门，从而均衡增长路径将更高。（b）由（1）可知：（3）Born to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解化简（3）可得：（4）因此， 的符号可以由 来决定，如果 、 、 和 为正，则 为正。/LaBLL/LaB的增加表示在知识生产部门劳动生产率的提高。因此，在知识生产部门工资开始上升。B知识生产部门将吸引更多的工人，直到工资再次等于产品生产部门。（c）由（1）可知：（5）化简（5） ，可得：（6）因此， 的符号可以由 来决定。如果 、 、
35、 和 为正，则 为/LaBBB/LaB正。总的劳动数量的增加将导致在知识生产部门的劳动数量的增加。由习题 3.8 的（12）和（14）可知，在初始的 上， 的增加将导致知识生产部门工La资的提高和产品生产部门工资的降低。这会引起劳动从产品生产部门流向知识生产部门，一直上升到两部门的工资相等为止。La3.10 干中学。假设产出由教材中方程（3.24） ， 给定；1YtKtAtL为常数且等于 1； ；知识积累是产品生产的一个副产品： 。LKtsYtA tYtB（a）用 、 和各参数来表示 和 。t AgtKt（b）在 空间中画出 线和 线。AKg， 0A（c）该经济是否会收敛到一条均衡增长路径？如
36、果是，均衡增长路径上 、 和KA的增长率是多少？Y（d） 的增加如何影响长期增长？s答：（a）相关的方程为：（1）1YtKtA（2）tst（3）tYtBA将方程（1）代入（2）得 ，在该式两边除以 ，可以得到资本1tsKtA KtBorn to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解的增长率，即：（4）1/gKttsKtAtA将（1）代入（3）得： 1tBtA在该式两边除以 ，可以得到知识的增长率，即：At（5）/AgttKtA（b）对方程（4）两边取对数，产生资本的增长率的增长率为：即： （6）/1KKA
37、tgttgtA从（6）可知，当 时， 将是常数。因此，在 空间中 与 45Ag，0KgA线重合。如果 ， 将上升，即 位于 线之下；如果 ，则 将下降，KKg0A A则 会位于 之上。如图 3-11 所示。Kg0A图 3-11 曲线0KgA（5）两边取对数，可以求出知识的增长率的增长率：上式简化为：（7）/KAAtgttgt由（7）式可知，如果 ，则 将保持不变，即 将在 空间中位于Kg0AKg，45线上；如果 ，则 将上升，从而位于 线之上；如果 ，则 将下KAAgAgBorn to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学
38、历年考研真题及详解降，从而位于 线之下，如图 3-12 所示。0Ag图 3-12（c）将 和 置于一个图 3-13 上。0KgAA尽管在 的情况下可以推出经济将以一不变的速度增长，仍然没有足够的信息可A以断定唯一的均衡增长路径。如图 3-13 所示。图 3-13 时的 和 曲线AKg0gAA由上面的分析，已知： 11/KtsttstK/AgtBtBAt在任何情况下，资本和知识的增长率都是联系在一起的，因为它们都依赖于资本对知识的比率。由（5）可推出： /AtKgt或简化为：（8）1/AtBt将（8）代入（4）得：（9）)1/(/KAgtsgtBorn to win经济学考研交流群 点击加入 9
39、85/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解和 必须位于某一点上以满足方程（9） ，在图 3-14 中标为 线。不论 的初KgA A/K始比率如何，经济将从 线上的某一点开始，最后移动到 点。因此，经济将收敛到唯E一的均衡增长路径上的 点。E图 3-14 经济收敛于 点E为计算在均衡增长路径上资本和知识的增长率，在 点， 与 相交，此时0KgAA。令 代表共同的增长率，由（9）可知：AKgg 1/*()/sB简化为：（10）*1gsB对方程（1）两边取对数并求导数，可以得出实际产出的增长率： /KAtYtgtA在均衡增长路径上， ，代入上式，可得：
40、AKg（11）*1/1tYggsB因此，在均衡增长路径上，资本、知识和产出的增长率均为 。g（d）由（10）可知，储蓄率的提高，会使长期的资本、知识和产出的增长率提高 。g由（6）和（7）可知，随着储蓄率的变化， 和 曲线都不会发生变化。由（4）0KgAA可知， 的增加会使 向上跳动。由（9）可知， 曲线会移动。因此，随着 的增加，sKg s经济将从原先的均衡增长路径上的 点移动到 点，接着经济沿着 线向新的稳定点EF移动，如图 3-15 所示。NEWBorn to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解图
41、 3-15 经济沿 线向新稳定点 移动ANEW3.11 假设厂商 的产出由 给定，其中 和 是厂商使用的资本量i1iiKYLiKiL和劳动量； 和 是总的资本量和劳动量； ， ， 。假设各要素报酬KL001为其私人边际产品，因而 。假设 和 的动态学分别由 和 给定，/iirYLsYALnA所有厂商的 都相同。/iL（a）作为 的函数的 是多少？Kr（b）均衡增长路径上的 是多少？均衡增长路径上的 是多少？/Lr（c） “如果国内储蓄的增加会提高国内投资，那么资本的正的外部性将缓和资本的私人边际产品的下降。因此，对于第一章描述的费尔德斯汀与胡瑞卡关于储蓄和投资的结论来说，资本的正的外部性和对资
42、本流动的不大的障碍二者的结合可能是其原因。 ”（a）部分和（b）部分中的分析是否支持这一论断？请进行直观的解释。答：（a）对厂商的产出函数 关于 求偏导数，可得：1iiKYLiK（1）在均衡时，资本劳动比率在各厂商之间是相等的。因此， ，将它代入/iKL（1）中，得到资本的私人边际产品，即：（2）（b）由于 在各厂商之间是相等的并且生产函数有不变的回报率，因此总生产函/iKL数为 ，进一步简化为：1Y （3）1YKL令 和 ，并在方程（3）两边同除以 ，得：/kL/yYBorn to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历
43、年考研真题及详解则单位劳动的产出量为：（4）yk在 两边取导数，即：/kKL（5）将资本积累方程 ，劳动增长率 ，即 代入（5）中，可得：KsYAn/LnA（6）将（4）式，即每单位劳动产量公式，代入（6） ，可得：（7）KsknA经济将收敛于下面的情况：每工人实际投资 等于持平投资 ，即在均衡增长路nk径上，每工人的资本是不变的。因此， ，进而可由方程（7）推出下式：0A1/sknks简化为：（8）1/(*)将（8）代入（2）得： 1/()()1/ /rsnsn因此，在均衡增长路径上，资本的边际产品为：（9）*/r（c）以上的分析不支持这一结论， 并不影响稳态的资本的私人边际产品价值 。另
44、*r外， 并不影响随着储蓄率的变化 变化的方式。由（9）式可以得到 ，*r *2/rsns而 并不依赖 值。因此，资本正的外部性并不会缓和由于储蓄增加引起*2/rsns的资本的边际产品下降的趋势。原因在于， 值越高， 对于资本劳动比率的变化的反r应越小，如（2）所示；不过， 值越高，意味着资本劳动比率会对储蓄率的变化做出更大的反应，如（8）所示。因此，效果互相抵消。3.12 （瑞贝罗，1991）假设有两种生产要素：资本和土地。资本被用于两个部门，而土地只被用于生产消费品。具体来说，生产函数是 和 ，其1cCtKtTKtBABorn to win经济学考研交流群 点击加入 985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义 ,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解中 和 是两个部门分别使用的资本量（因而 ） ， 是土地的数量，cK CKtttT， 。要素报酬是其边际产品，资
