1、Chap3 决策的基本理论,决策科学与艺术,1 决策系统,一、系统输入与输出,系统 （决策研究对象）,系统的输入,系统的输出,可控决策变量（其取值称方案）,不可控自然状态变量（其取值称状态）,【输入的取值方案和状态的各种组合后果】,【输入（后果）的函数】,目标函数（益损函数）：由决策目标决定,约束函数：用来规定方案的可行性,二、决策系统的概念结构图 以单决策变量、单状态变量、单决策主体的离散型决策为例。,例：带伞问题决策,2 决策问题的模型描述,一、决策系统的结构模型1.决策系统的机理结构模型了解系统的运行机理 2.目标函数和约束函数的确定 3.决策变量和自然状态变量的确定 4.决策系统的变量
2、结构模型,林纸一体化创新模式的循环经济机理模型,Back,2.目标函数和约束函数的确定,广义上，有些约束函数和目标函数并无本质区别，都 由决策目标派生而来。例如“成本函数”：作为目标函数，在方案第二轮筛选（需求最优方案）时， 寻求成本最低方案； 作为约束函数，在方案第一轮筛选（需求可行方案）时， 将成本高于某一约束界限值的方案舍弃。,思考：如何确定目标函数和约束函数？,一般而言：目标函数是决策者需要追求并努力使其达到 最优的变量，如销售量、利润、工期、质量等。 约束函数是决策者希望确保并用以实现决策方案 的基本条件（如资金、劳动力、产能、原料供应等） 或不希望违反的制约因素（如环保、政策、法律
3、）即在于决策者是追求“最优”，还是必须“达标”。,3.决策变量和自然状态变量的确定,决策变量是实现决策目标的手段和途径。 决策变量的确定一般没有固定方法，经验和创造性思维很重要。 一些分析工具有益于决策变量的确定，如决策系统的输入体系结构（与输出体系类似）；目标手段链等。,4.决策系统的变量结构模型,将决策系统的输入变量、输出变量体系间的关联画在一张图上，即形成决策系统的变量结构模型。,决策系统的变量结构模型,二、决策系统模型,描述了系统的输出和输入之间的函数关系，包括目标函数（或效用函数）模型和约束函数模型。,1.目标函数模型,一般形式： fi=fi(x,),i=1,mfi第i个目标函数；i
4、=1,m x=x1,x2,xnT决策变量向量xi第i个决策变量，i=1,n =1, 2, pT自然状态变量向量i第i个自然状态变量，i=1,p,2.约束函数模型一般形式： vi=vi(x,), i=1,lvi第i个约束函数3.效用函数模型 ui=ui(x,), i=1,mui第i个效用函数（效用函数总是越大越好。）,思考：效用函数总是越大越好。目标函数是否也如此？,目标函数有可能越大越好，如利润； 目标函数有可能越小越好，如成本； 目标函数有可能越接近某一定值越好，例如：按法正林思想，幼龄林、中龄林、近成熟林的面积比以各1/3为佳；蓄积比以1：3：6为佳。,三、决策模型,决策模型由决策目标模型
5、和决策约束模型两部分组成。 决策模型的一般形式（以单目标决策模型为例）：,s.t.,上式中：,求取使目标函数到达最大值的 决策向量X的值。,第i个约束函数的约束界限值。,满足所有约束条件的方案成为可行方案；所有可行方案的集合称为决策变量的可行域。,决策变量的可行域表示为： X x |vi（x）（或，）i, i=1,l,xX。,类似地，多目标决策模型的一般形式为：,s.t.,i=1,l,离散型决策模型,对于离散型决策问题，决策模型难以 表示成解析形式，只能以各变量和函数 的离散值的集合、矩阵、表格或图形等 形式给出。,例如：离散型决策模型的矩阵形式,X=x(1),x(2),x(r)T =(1),
6、(2),(q)T P=p(1),p(2),p(q)T,U,式中，X决策变量x的可行方案向量；自然状态变量的状态向量；P自然状态变量的概率分布向量；U效用矩阵,再如：离散型决策模型的决策表形式,自然状态及其概率,3 主观概率,决策后果的两个基本特征产生了决策的两个基本问题：后果的不确定性主观概率 后果的效用性 效用函数,一、主观概率概念,1.客观概率,2.主观概率,二、主观概率的估计方法,1.逻辑推理法例如，每一张彩票中奖的概率P=m/n（n为本期彩票销量，m为本期彩票中奖总数）2.利用过去、现在的数据资料估计（频度估算）例如，某商场根据A商品过去30天的日销售记录统计，计算各销量区间的发生频度
7、，由此预计下月该产品某销量区间的概率。,3.概率分布模型法根据某随机变量的理论概率分布模型，由已知数据确定模型参数，由此预测该随机变量的概率分布。4.市场调查法5.专家调查法（经验估计法）,6.后验估计法,用已发生的随机试验的信息修正原先得到的主观概率，得到新的主观概率。该方法的使用前提：能够得到后验信息。,4 决策的效用理论,一、效用函数 1.效用函数是后果的实值函数单目标决策问题的效用函数可表示为： u=u(c)=uc(x,)= u(x,) 式中, c=c(x,）后果，由决策变量和自然状态变量决定。其矩阵形式如下：c=c(x,）,效用函数和后果的关系,1）若决策者认为后果c（i1,i2）优
8、于后果c（j1,j2）， 记作： c（i1,i2） c（j1,j2） 则 u（i1,i2） u（j1,j2） 2）若决策者认为后果c（i1,i2）劣于后果c（j1,j2）， 记作： c（i1,i2） c（j1,j2） 则 u（i1,i2） u（j1,j2） 3）若决策者认为后果c（i1,i2）无异于后果c（j1,j2）， 记作： c（i1,i2） c（j1,j2） 则 u（i1,i2） u（j1,j2）,2.效用函数u是后果优劣的一种度量，掺和着决策者的偏好和对风险的态度。,甲属于中间型决策者；乙属于保守型决策者；丙属于冒险型决策者。,二、效用函数的类型,冲动型,超脱型,三、期望效用函数及其决
9、策规则,1.概念后果效用值只反映了后果的优劣而不能反映方案的优劣（例如单目标、单变量的效用矩阵中，每个方案xi都有q个效用值来描述其优劣）。因此方案之间的优劣无法直观地比较。需要对其求数学期望。即 u(x)=Eu(x,),2.基于期望效用函数的风险型决策规则,贝努利原理：期望效用值最大者为最优方案。,对决策者进行询问，如心理测试法标准测定法。原理：采用问答方式，了解决策者对随机事件与确定型事件在效用值上的等价关系，通过损益值及其对应的效用值得出相应坐标点，以光滑曲线连接起来，得到该决策者的效用曲线。,四、效用函数的构造,具体做法：,对于特定的决策者，在不同的5个事件中（A、B、C、D、E）确定
10、其“最满足”和“最厌恶”的事件（例如A最满足，E最厌恶），令最满足事件的效用为1，最厌恶事件的效用为0u(A)=1,u(E)=0。若要测定u(B)，则提问： “有方案a1,a2,: a1可以P的概率获得A和（1P）的概率获得E； a2有1概率获得B。 你认为P？时，方案a1与a2等效？” 此时，有P*u(A)+(1-P)*u(E)=u(B),5 多目标决策理论,一、多目标决策问题及其模型1.多目标决策问题： 选择一个最优的可行方案，以满足若干个 目标f1, f2, , fm的要求。,2.多目标决策问题的数学模型,或,s.t. vi(x) (或=, ) i , i=1, ., l,表示形式：,上
11、式中：,xx1, , xn T n维欧几里得空间R n（称作决策空间）中的决策向量；xi 第i个决策变量，i=1, ., n；X 决策空间可行域；X 决策空间值域；f(x)= f1 (x), f2(x), ., fm(x)T m维欧几里得空间Rm（称作目标空间）中的目标向量；fi(x) 第i个目标函数，i=1, ., m；vi(x) 第i个约束函数，i=1, ., l；i 第i个约束函数的约束界限值，i=1, ., l 。,3.映射与反映射,决策向量xx1, , xn T的某个常数向量值： x(k)= x1(k1), , xn(kn) T 称为该多目标决策问题的一个备选决策方案，又称为决 策空
12、间的一个决策解。可行方案又称为可行解。此外，目标向量f(x)的某个常数向量值f x(k)称为该多 目标决策问题的一个目标值，又称为目标空间的一个目 标点。我们把目标点f x(k)称作是决策空间的决策解x(k)在 目标空间的映射；反过来，称决策解x(k)为目标空间的目标点f x(k)在 决策空间的反映射。,映射和反映射示意以2维决策空间和2维目标空间为例,二、多目标决策问题的基本特性,1.目标间的矛盾性 例如：质量和成本；经济效益和生态环境效益； 旅游景点的开发和自然环境的保护 2.目标间的不可公度性 目标之间常常是没有共同的度量标准和量 纲，因而难以比较，也难以通过加权等简单的方 法综合成单目
13、标。,三、决策方案的二元优劣关系 （备选方案两两比较的优劣关系）,1.优于/劣于若某多目标决策问题的2个备选方案x(k)和x(l) 的目标函数值有如下关系： fi x(k) fi x(l) i=1, ., m，且至少存在 一个i使fi x(k) fi x(l)，则称方案x(k)优于方案 x(l)，记作x(k) x(l)；同时，称方案x(l)劣于方案 x(k)，记作x(l) x(k)。上式中，x(k), x(l)分别为决策向量x=x1, , xn T 的第k和第l个备选方案，x(k), x(l)X。,2.无异于,若某多目标决策问题的2个备选方案x(k)和x(l) 的目标函数值有如下关系：fi x
14、(k) =fi x(l) i=1, ., m则称方案x(k)无异于方案x(l)，记作x(k) x(l)；或 称方案x(l)无异于方案x(k)，记作x(l) x(k)。,3.优于或无异于/劣于或无异于,若某多目标决策问题的2个备选方案x(k)和x(l) 的目标函数值有如下关系：fi x(k) fi x(l) i=1, ., m则称方案x(k)优于或无异于方案x(l)，记作 x(k) x(l)；同时，称方案x(l)劣于方案x(k)，记作 x(l) x(k)。,4.不可比,若存在ij（i, j = 1, ., m），使得多目标决 策问题的2个备选方案x(k)和x(l)的目标函数值有 如下关系：fi
15、x(k) fi x(l)，且fj x(k)fj x(l)则称方案x(k)和x(l)不可比，或x(l)和x(k)不可比， 记作x(k) x(l)，或x(l) x(k)。,5.二元优劣关系集,多目标决策任意两个备选方案的优劣关系必定是，且只能是以上4种关系之一。也就是说，二元关系集可表示为：R = ,四、决策方案的多元优劣关系 决策解的性质,1.最优解 定义（1）: 若多目标决策问题存在可行解x*，满 足以下条件：x(k) x* k=1, ., r；x*X = x(k)| k=1, ., r 则x*为该多目标决策问题的最优解。上式中，X 为决策空间可行域。,定义（2）：,对多目标决策问题的各目标函
16、数分别进行单目 标优化得：若在决策空间中存在目标点（称作理想点）的反 映射决策解x*X，即由上式解出的m个单目标最 优解集x*(i)（i=1, , m）的交集不为空集：则称x*X *为决策空间的最优解。当最优解x*存在时，x*使得各个目标均达到最优，因此也称作理想解。,说明：,（1）最优解不一定存在。根据定义1，最优解x*存在前提是：所有可行解的二元关系都是可比的，这一点难以保证。 从定义2来看，通常有：因此多目标决策问题的最优解x*不一定存在。,说明：,（2）最优解不一定是唯一的。根据定义1，二元关系“劣于或无异于”包含了“无异于”的情况，因此与最优解x*无差别的决策解也是最优解。 从定义2
17、来看，如果交集不为空成立，单目标最优解集的交集X *有可能含有多个解。,2.非劣解,若多目标决策问题存在可行解 满足以下条件：x(k) k=1, ., r； X = x(k)| k=1, ., r 则 为该多目标决策问题的非劣解。 上式中，符号“”表示不优于。 由于“不优于” = 所以，若把式中的“”去掉，非劣解就成了最优解。可见，最优解是非劣解的特例。,3.劣解,若多目标决策问题至少存在一个可行解 x(k)，使得：x(k) X = x(k)| k=1, ., r 则 为该多目标决策问题的劣解。 多目标决策时，劣解是不予考虑的 。,4.最佳调和解,当多目标决策问题不存在最优解时，决策者须要在非
18、劣解集中寻找一个能够使各个决策目标都取得比较满意的目标值的决策解，这个解就叫做多目标决策问题的最佳调和解。 显然，判断最佳调和解并没有统一的标准，它将取决于决策规则和决策者对各目标的偏好。,5.决策解优劣关系的几何解释 （1）离散型多目标决策,某企业欲决定某产品应当采用哪种生产工艺，同时要进行原料的选择。设，这两者依次是决策变量x1和x2。为此，考虑2个决策目标：产量f1(x)和质量f2(x)。 下图给出了7个可行的决策备选方案。有的方案生产工艺比较复杂，能够提高产品质量，但产量则会下降；有些原料对提高质量有好处，但加工起来难度较大，很费工时，因而产量受到影响这就需要决策者对这两个目标进行综合
19、和权衡。,下图给出了7个可行的决策备选方案，决策者需要对质量和产量两个目标进行综合和权衡。,思考：根据上图目标空间中的目标点的关系，看出决策空间中的决策解之间的关系？, 优于：x(2) x(1)，x(6) x(2)等。 不可比：x(5) x(6)，x(2) x(3) 等。 劣解：x(1)、x(2)、x(3)。 非劣解：x(4)、x(5)、x(6)、x(7)。 最优解：不存在全局的最优解。局部来看，例如在x(1)、x(2)、x(3)、x(6)范围内看，x(6)是局部最优解。 最佳调和解：在非劣解中，方案x(5)虽然质量很高，但产量太低，不可取。x(7) 虽然产量很高，但质量太低，也不可取。剩下x
20、(4)和x(6)能够使得产量和质量2个目标都比较好，可在这两者中作选择。如果决策者认为，质量目标比产量目标略显重要，则可选x(6)作为最佳调和解，即作为最终的决策。,上例中各决策解之间的关系：,5.决策解优劣关系的几何解释 （2）连续型多目标决策,某企业有2种产品：产品和产品。现欲制定下一生产周期这两种产品的产量x1和x2。由于产量在一定范围内是连续变化的，故决策空间可行域X是一个有限的区域。该问题的决策目标有2个：产品的销售利润f1(x)和设备的开工率f2(x)。,连续型多目标决策的决策空间和目标空间示例,五、多目标决策的基本思路,多目标决策的方法，也就是求解最佳调和解的方法很多，但归纳起来
21、主要有化多为单法和序贯消元法两种基本思路。,1.化多为单法,通过各种途径将多目标化成单目标，然后用单目标决策的方法进行求解（新的单目标决策问题实际上包含了原来多目标的主要信息，也即“调和”了原有多目标的不同要求）。 化多为少的主要途径有：（1）剔除一些次要目标或重复目标；（2）合并一些量纲一致的目标；（3）把一些“硬目标”放到约束条件中去（如e 约束法）；（4）将多目标综合成单目标，其中包括加权综合法、目标无量纲化法（如功效系数法）、理想点法（如目标规划法）、层次分析法、模糊决策法等。,2.序贯消元法（目标排序法）,实际决策中，决策者有时是一个一个目标分别考虑的，这样可以降低决策的难度。决策者首先考虑最重要的目标，从备选方案中筛选出部分较好的方案；然后，在这些较好的方案中，考虑第二重要的目标，再从中筛选出一部分方案；如此下去，选中的方案越来越少，直到筛选出唯一方案为止。,END,
