1、第四章 级数,级数的基本性质 Taylor展式 Laurent展式,第一节 级数的基本性质,一、复数项级数 二、复变函数项级数 三、幂级数,一、复数项级数,1. 复数序列及其极限,复数序列收敛的等价条件,即,注,下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.,而,解,例1,所以数列发散.,例2 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.,2. 复数项级数,注：,说明:,与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散性的基本方法是:,复数项级数收敛的等价条件,复数项级数收敛的必要条件,重要结论:,例4,解,级数满足必要条件,但,例5,解,3. 柯西准则,定理4.1.1(复序列的柯西准则),定理4.1.2
2、(复级数的柯西准则),4. 绝对收敛，柯西乘积,例6,故原级数收敛, 且为绝对收敛.,因为,所以由正项级数的比值判别法知:,解,故原级数收敛.,所以原级数非绝对收敛,是条件收敛.,例7,解,定理4.1.3,二、复变函数项级数,1. 一致收敛,定义4.1.1,定理4.1.4(复函数列一致收敛的Cauchy准则),称为这级数的前n项部分和.,级数前n项的和,和函数,定义4.1.1,定理4.1.4(复函数级数一致收敛的Cauchy准则),定理4.1.5(维尔斯特拉斯判别法),注：,2. 一致收敛的级数(或序列)的性质,定理4.1.6,定理4.1.7,定义4.1.2,注,如,定理4.1.8,证,三、幂
3、级数,幂级数的定义,1. 关于幂级数的阿贝尔(Abel)第一定理,定理4.1.9,证,2. 幂级数的收敛圆,例如,级数,通项不趋于零,故级数发散.,例如, 级数,对任意固定的z,从某个n开始,总有,于是有,故该级数对任意的z均收敛.,.,.,收敛圆,收敛半径,问题1：,答案:,问题2：,答案:,在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一 般的结论, 要对具体级数进行具体分析.,例如, 级数:,收敛圆周上无收敛点;,在收敛圆周上处处收敛.,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,定理4.1.10,例8,解,3. 幂级数和的解析性质,定理4.1.11,例9,解,利用逐项积分,得:,所以,例10,解,例11 计算,解,
