1、第六节、线性方程组,三 线性方程组有解的判断条件,四 线性方程组的解法,一 线性方程组的概念,二 克莱姆法则,设线性方程组,则称此方程组为非,齐次线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,(一)方程个数与未知量个数相同的线性方程组的概念,设线性方程组,则称此方程组为非,齐次线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,(二)方程个数与未知量个数不相同的线性方程组,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,二 克莱姆法则,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为,证明,在把 个方程依次相加，得,
2、由代数余子式的性质可知,于是,当 时,方程组 有唯一的一个解,也是方程组的 解.,方程个数与未知量个数相等的方程的解的情况,定理1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 .,定理2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.,齐次线性方程组的相关定理,定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 没有非零解.,有非零解.,系数行列式,例1 用克拉默则解方程组,解,例2 用克拉默法则解方程组,解,解,齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解.,问题：,证,必要性.,从而,三 线性方程组有解的判断条件,这与原方程组有非零解相矛盾，
3、,充分性.,任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，,证,必要性,则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，,即可得方程组的一个解,充分性.,证毕,其余 个作为自由未知量,把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量,小结,齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,例4 求解齐次线性方程组,解,四 线性方程组的解法,即得与原方程组同解的方程组,由此即得,例 5 求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵B进行初等变换，,故方程组无解,例 6 求解非齐次方程组的通解,解 对增广矩阵B进行初等变换,故方程组有解，且有,所以方程组的通解为,例 7,解证,对增广矩阵B进行初等变换，,方程组的增广矩阵为,由于原方程组等价于方程组,由此得通解：,例 8 设有线性方程组,解,其通解为,这时又分两种情形：,非齐次线性方程组,齐次线性方程组,小结,
