1、第一章引论1、数值分析研究对象：数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。2、数值分析特点：面向计算机，要根据计算机特点设计切实可行的有效算法有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似计算要保证收敛性和数值稳定性要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存贮量，这也是建立算法要研究的问题。要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。3、数值分析实质：是以数学问题为研究对象，不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结
2、合，着重研究数学问题的数值方法及理论。4、用计算机解决科学计算问题通常经历以下过程实际问题-数学模型（应用数学）-数值计算方法- 程序设计- 上机计算结果（计算数学）5、误差来源及分类1.模型误差从实际问题中抽象出数学模型 2.观测误差通过测量得到模型中参数的值 （通常根据测量工具的精度，可以知道这类误差的上限值。 ）3.截断误差 当数学模型得不到精确解时，要用数值计算方法求它的近似解，由此产生的误差称为（截断误差）或（方法误差）4.舍入误差 由于计算机字长有限，原始数据的输入及浮点数运算过程中都有可能产生误差，这样产生的误差称为舍入误差6、五个关于误差的概念1.绝对误差 (*)ex2.绝对误
3、差限 *3.相对误差 (*)rex4.相对误差限 (*)rx（1）定义：设某一量的准确值为 x，近似值为 x*，则 x*与 x 之差叫做近似值 x*的绝对误差(简称误差) ，记为*)ex（2）性质：(1)绝对误差 e(x*) 可正可负 (2) |e(x*) |的大小标志着 x*的精确度 (3) 绝对误差 e(x*) 未知（3）判断：（1）定义：若指定一个适当小的 正 数 ， 使则称|(*)|*ex为近似值 x* 的绝对误差限。(有时用 表示近似值x*的精度或准确值的所在范围。)（2）性质：(1)在实际问题中，绝对误差一般是有量纲的，绝对误差限也是有量纲的。(2)绝对误差限是正的，有无穷（1）定
4、义：绝对误差与准确值之比 *(),0rexex称为 x*的相对误差。（2）性质：(1)相对误差是个无量纲量。值小者精度高。(2)由于准确值 x 未知，故实际问题中，当 | | 较小时，(*)re常取 ()rx（1）定义：若指定一个适当小的正数 ， 使(*)r|()| (*)r rex则称 为近似值 x*的相()r对误差限。（2）性质：当| 较小时，可用下(*)|rex式计算绝对误差是误差的绝对值？（错）多个【则比 大的任意正数均*是绝对误差限】(*)|rx5.有效数字（1）定义：若近似值 x*的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到 x*的第一位非零数字一共有 n 位，则称近似值 x*有 n 位
5、有效数字，或说 x*精确到该位。注意：近似值后面的零不能随便省去！（2）例题：取 x1*= 3 作为 的近似值，则 ：一个有效数字011|0.452e取 x2* =3.14 作为 的近似值，则 ：三个有效数字2|.9取 x3* =3.1416 作为 的近似值，则 ：五个有效数字431|0.702e它们的误差都不超过末位数字的半个单位。（3）性质：(1)有效数字越多，则绝对误差越小(2)有效数字越多，则相对误差越小有效数字的位数可刻画近似数的精确度！6、一元函数的误差估计问题：设 y=f(x)，x 的近似值为 x*，则 y 的近似值 y*的误差如何计算？(*)()edfe(*)()*eyfxe(
6、)r rfx故相应的误差限计算如下 (*)()*yfx()r rfx7、二元函数的误差估计问题：设 y=f(x1, x2)， x1, x2 的近似值为 x1*, x2* ，则 y 的误差如何计算？*121212(*)(,)(,)(*,)eyfxfxdfx()r rf xf12121(*,)(*,)(fxfxee121212121 1 2(,),)*,)(*,)() (fffxfxey eexxx故绝对误差限为 121212(*,)(,)()(*f fy xx8、多元函数的误差估计 12 12112(*,)(*,)(*) (*(*,)(n nnnii ifxxfxxeyeef 9、加减乘除运算的
7、误差估计加法 减法 乘法 除法绝对误差1212()()exex1212()()xex1212()()exxe1212()()xex绝对误差限1212()()xx1212()()xx1212()()()xx2121()()xx相对误差1212()(rexex1212()(rexex1212()()rrrexex1122()()rrrxeex相对误差限1212()(rxx1212()(rxx1212()()rrrxx1212(/)()rrrxx10、算法的数值稳定性概念及运算（1）定义：初始数据的误差或计算中的舍入误差在计算过程中的传播，因算法不同而异。一个算法，如果计算结果受误差的影响小，就称该
8、算法具有较好的数值稳定性11、设计算法的五个原则(一) 要避免相近两数相减 ;xxlnln1;si()si2cos()in2xx316e(二) 要防止大数“吃掉”小数，注意保护重要数据 291()410bsignbacx12291cxa求和时从小到大相加，可使和的误差减小。若干数相加，采用绝对值较小者先加的算法，结果的相对误差限较小 000054321.4.31.4532y(三) 注意简化计算步骤，减少运算次数，避免误差积累（秦九韶） 43240.6.259.16(25)1)Pxxx(四) 要避免绝对值小的数作除数 2121()()xxcosinisxx(1)1(五) 设法控制误差的传播许多算
9、法具有递推性。递推法运算过程较规律，但多次递推必然导致误差的积累。112,39/nnEe 11()()!()nnneEeEnn 1|()|nne 1|!ne第二章 逼近问题1，函数逼近1、插值问题： 求一条曲线严格通过数据点2、曲线拟合问题： 求一条曲线在一定意义下靠近数据点 2，插值问题1、定义：求一个简单函数 (x)作为 f(x)的近似表达式，以满足 (),0,1iixyn我们称这样的问题为插值问题； 并称 (x)为 f (x)的插值函数； f (x)为被插函数，x0 , x1, x2, , xn 是插值节(基)点； 是插值原则.,iiy3，插值多项式1、定义：求一个次数不超过 n 的多项
10、式 使满足插值原则201() nnPxaxa(条件) 称 Pn(x)为 f (x)的 n 次插值多项式),0,1niiPxy2、定理：在 n+1 个互异节点处满足插值原则且次数不超过 n 的多项式 Pn(x)存在并且唯一。注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。也是一个插值多项式，其中 可以是任意多项式。0()()nniiPxpx()px4,插值问题拉格朗日差值 牛顿插值0()()()nniLxylylx 00101(),().,nnnNxffx二次插值基函数 021112202()()(xlx0110()()()i iini injjilxxxx ()1,()0,iijlxl一
11、阶差商 (),jiijfxffk 阶差商 01201,.,.kkkfxxfx零阶差商 ()iifxf1.差商与节点的排列次序无关，称为差商的对称性2.高阶差商可由低阶差商反复作一阶差商得到，计算具有递推性3.若 f(x)在 a, b上存在 n 阶导数，则()01, ,!nfab()()nnRfLx(1)110!)()nnnxxx 为了使得| n +1(x)|尽可能小一些，插值基点的选取原则是：使 x 尽可能位于区间 Ix的中部，这里 Ix 是包含 x 以及所用基点的最小闭区间。()100()!,. =().()nnnnfRxxf1.计算量省，便于程序设计2.具有承袭性的插值公式，便于理论分析埃
12、尔米特差值插值条件中除函数值插值条件外，还有导数值插值条件，即已知：2n+2 个条件求:一个次数不超过 2n+1 的多项式 H2n+1(x)解法 1：基函数法解法 2：承袭法分段低次插值原因： 当插值基点无限加密时，Pn(x)也只能在很小范围内收敛，这一现象称为龙格(Runge)现象，它表明通过增加基点来提高逼近程度是不宜的。定义： 设在 a,b上给出插值条件：求一个折线插值函数 Ih(x)满足xi x0 x1 xnf(xi) f0 f1 fn1Ih(x)是 a,b上的连续函数2Ih(xk)=fk， k = 0,1,n3Ih(x)在每个小区间 xk,xk+1上是线性函数则称 Ih(x)为分段线
13、性插值函数数学表达： 111kkhxxIff1()kkx性质：1分段线性插值多项式是分段函数；2可以预见，但 n 充分大时， Ih(x)能很好逼近 f(x)。3Ih(x)有一个缺点：在插值点处有尖点，即一阶导数不连续，不够光滑。解决办法： 三次埃尔米特插值三次样条插值两种构造方法5，最小二乘法1、 定义：已知：一组实验数据（x i，y i）(i=0,1,m)，且观测数据有误差求：自变量 x 与因变量 y 之间的函数关系 y=F(x) ，不要求 y=F(x)经过所有点，而只要求在给定点上误差 按某种标准最小。(0,1.iii m2、 度量标准：(1)使残差的最大绝对值为最小 max()minii
14、iiieyFx(2)使残差的绝对值之和为最小 ni(3)使 残差的平方和 为最小 2ie3、最小二乘法多项式拟合 01().()nFxaaxm已知：一组数据（ xi， yi）( i = 0,1,m) 求：在次数不超过 n 的多项式中找一个函数 ，使误差平方和最小，即()yF2 2()0 0()i()mmii iiFxni ixyx 是 次 多 项 式这里： 01().()nFaa解： 故： 解得：32010()(,)iiixy011,(,)a01,a4、最 小 二 乘 法 非 多 项 式 拟 合 参 数 线 性 0()()().()nFxaxxm已知：一组数据（ xi， yi）( i = 0,
15、1,m)求：在函数类 中找一个函数 ，使误差01),.,(nspanx ()ySx平方和最小，即 2 2()0 0(i()mmii iiSxiSy这里： 1().nSxaxa已知：一组数据（ xi， yi） ，且每个点对应权因子 wi 0, (i=1,2,m).求：在函数类 中找一个函数 ，使误01(),.,()nspanx )ySx差平方和最小，即 2 2()0 0mi(miii iiiSxiwSy 这里： 01()()().nSxaxa最 小 二 乘 法 非 多 项 式 拟 合 参 数 非 线 性 0134(2)()().(),!naaaaFxxxNO或第三章 定积分1，求解定积分问题方法
16、：（求曲边梯形面积）旧：（1）牛顿莱布尼兹公式 ()()bafxdFba【需要寻求原函数的困难】 【已知点离散】新：（2）机械求积公式 【多项式机械求积公式】*【解决原函数的困难】0()()nbkafxdAfx【中矩形公式】*【解决原函数的困难】2baabff【梯形公式】*【解决原函数的困难】()()xd【插值型求积公式】*【解决离散问题】0()nbbbnkaaafLxfxld2，代数精度 （1）目的：数值求积方法是近似方法，为了保证精度，我们自然希望公式能对“尽可能多”的函数准确成立，这就提出了所谓代数精度的概念。（2）定义：若某个求积公式对于次数m 的多项式均能够准确成立，但对于 m+1
17、次多项式就不一定准确，则称该求积公式有 m 次代数精度。若某个求积公式对于 1, x, xm 均能够准确成立，但对于 xm+1 就不准确成立，则称该求积公式有 m 次代数精度。（3）定理：当 n 为偶数时，牛顿柯特斯公式至少有 n+1 次代数精度。注：在实际应用时，出于对计算复杂性和计算速度的考虑，我们常常使用低阶偶数求积公式，代替高一阶的奇数求积公式。3，插值求积公式（1）定理：具有 n+1 个求积节点的机械求积公式至少有 n 次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的。试总结证明机械求积公式是插值型求积公式的方法。（2）求积公式的余项若求积公式的代数精度为 m，则余项形如 其中 K(1)0(
18、)()nb mkaRffxdAfxf是不依赖于 f(x)的待定参数。3，牛顿柯特斯求积公式 梯形，辛普森，柯特斯1、 定义【牛顿柯特斯】 ()0()(nbnkafxdIbaCfx00()()()nb bkka afxdAffld () 0011(1)() ()!nkn nbbjnkkaaj jk kxClx td 梯形公式 辛甫生(Simpson)公式 柯特斯(Cotes)公式()2baSfb()4)(62bbSfaff012347()2()91()baCfxff一阶【2 次代数精度】令 f(x)=x2 二阶【3 次代数精度】令 f(x)=x4 四阶【5 次代数精度】3()1TfRba 4()
19、1802SbaRf 6()()945cbaRICf4，复化求积公式1、 定义：为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间，再在每个子区间上用低阶求积公式。这种方法称为复化求积法。复化求积法就是先用低阶的牛顿柯特斯公式求得每个子区间x k, xk+1上的积分 I k，然后再求和，用 作为所求积分 I 的近似值。即10nkI10nkI复化梯形公式 复化辛甫生公式 复化柯特斯公式1 10()2nkkkhTIfxf1()()nnkfaffb1201()4()62nknkfafxhSb110042130147()2()()927nnn kkkkhCfafxfxfxffb 310()2nTnkkRIhf3
20、102()nkkfbah14()082nkkhISf4()1,baf复化辛甫生公式精度优于复化梯形公式6()()95,nbahICf5，高斯求积公式1、 定义：机械求积公式 含有 2n+2 个待定参数：0()()nbkafxdAfx若适当选择这些参数使求积公式具有 2n+1 次代数精度 ，则这类公式,(0,1.,kxAn称为高斯公式。中矩形公式是2、 高斯点定义：高斯公式的求积节点称为高斯点。3、 求一点的高斯公式设一点高斯公式为 则其代数精度应为0()()bafxdAfx 210n4、 求二点的高斯公式再设两点高斯公式为 代数精度应为01()()()bafff2135、 高斯点的性质：定理：
21、对于插值型求积公式(4.1)，其节点 是高斯点的充要条件是以这(0,.)kxn些点为零点的多项式 与任意次数不超过 n 的多项式 P(x)均01()(.nx正交，即 【证明看习题】()0baPxd6、 高斯勒让得公式 特别地，取a, b=-1, 1，其上高斯公式为： 下面求对应的高10()()nkfxdAfx斯点。 对于任意求积区间a, b如何求？作变换 可以化到区间-1，1 上，这2bat时 1()()2baabfxdftd7、 带权的高斯公式1、定义：求积公式 若该公式具有 2n+1 次代数精度，则0()()nbkaxfdAfx称这类公式为带权的高斯公式。上述 (x)0 是权函数。2、定理
22、： 是高斯点的充要条件是 是(0,1.)kxn 01()(.()nxx区间a, b上关于 (x)的正交多项式。3、特别：若a, b = -1，1 ，权函数是 所建立的高斯公式为2()x【切比雪夫高斯公式】 【x k 是切比雪夫多项式的零点】120()()nkfxAfx第四章 解线性方程组1、分类系数矩阵为低阶稠密矩阵（阶数大约不超过 150）【直接法】 （经过有限步算术运算，可求得方程组的精确解的方法，一般用于解系数矩阵为低阶稠密矩阵）【一般形式】121212nnnaxaxb【矩阵形式】 Axb11nna1.nx1.nb系数矩阵为大型稀疏矩阵（阶数高且零元素较多） 【迭代法】 （用某种极限过程
23、去逐步逼近精确解的方法，一般用于解系数 矩阵为大型稀疏矩阵）2、范数向量范数 矩阵范数类型 在 Rn上的向量 x =(x1, xn)T Rn 在 Rnn上的矩阵 A=(aij),定义设对任意向量 x Rn，按一定的规则有一实数与之对应，记为 x，若 x满足1)0;00()x当 且 仅 当 时 才 有 ； 正 定 性2|,;()齐 次 性3) )nxyxyR三 角 不 等 式则称 x为向量的范数设对任意矩阵 AR nn，按一定的规则有一实数与之对应，记为A，若A满足1000()A当 且 仅 当 时 才 有 ； 正 定 性2|,;()cAcR齐 次 性3B三 角 不 等 式4),()相 容 性则称
24、A为矩阵的范数称为范数或最大范数1maiin【绝对值最大的元素】称为 1范数1|iix称为 2范数122()ni称为 p范数1()npipx【所有值绝对值的 P 次方求和，再开 P 次方】称为范数或行范数1maxnijijA【所有元素绝对值之和最大的一行】称为 1范数或列范数11a|nijji【所有元素绝对值之和最大的一列】称为 2范数max2()TA【A TA 的最大特征值开平方】称为 Frobennius范数12,()nijFi【所有元素平方和开平方】性质定义：如果 Rn 中有两个范数 |x|s 与 |x|t ，存在常数 m, M0，使 对 任 意 n 维 向 量 x 有则称这两个范数等价
25、.stsmxM性质：对两种等价范数而言，某向量序列在其中一种范数意义下收敛时，则在另一种范数意义下也收敛。定理：Rn 上的任意两个范数等价。 【 注：今后研究向量序列的收敛性时，可在任何一种范数意义下研究。】3、 “病态”方程组1、定义：当一个方程组，由于系数矩阵 A 或右端常数项 b 的微小变化，引起方程组 Ax=b 解的巨大变化，则称此方程组为“病态”方程组，矩阵 A 称为“病态”矩阵，否则称方程组为“良态”方程 组，A 为“良态”矩阵.2、如何划分“病态”的程度：条件数：设 A 为非奇异阵，称 cond(A)v=|A-1|v|A|v (v =1, 2, ) 为矩阵 A的条件数。 【b】1
26、| | |cond()xbA 【A 】|cond()| |1x则系数矩阵 A 的条件数刻划了方程组的 “病态”程度。 条件数 愈大，方程组的“病态”程度愈大，也就愈难得到方程组的比较准确的解；当矩阵 A 的条件数相对地小，则方程组是“良态”的。4、 线性方程组解法向量序列的收敛性 矩阵序列的收敛性定义 1 设 x(k) 为 Rn中的向量序列，xR n，如果 其中()lim|0kkx|.|为向量范数，则称序列 x(n)收敛于 x，记为 ()lik设 A (k) 为 n 阶方阵序列，A 为 n 阶方阵，如果 其中|.|为()lim|0kk矩阵范数，则称序列 A(n)收敛于 A，记为 ()lik定理
27、 1 Rn中的向量序列 x(k)收敛于 Rn中的 设 A(k) = (aij) (k=1, 2, )，A = 向量 x 当且仅当 ()()()12lim,.,.(kikkTnxx(aij)均为 n 阶方阵，则矩阵序列A (n)收敛于矩阵 A 的充要条件为()lim(,12,.)kjijajn高斯直接消去法基本思想 ：用逐次消去未知数的方法把原来方程组AX=b 化为与其等价的三角形方程组，而求解三角形方程组就容易了！高斯消去法的 特点 ：消元和回代不同步！使用高斯消去法的 条件 ：使用高斯消去法要求在每步消元时 ， ()0ka定理 ：约化的主元素 (i=1,2,n) 的充要()k条件是矩阵 A
28、的顺序主子式 0(1,2.)iDn定理 6：如果 n 阶矩阵 A 的所有顺序主子式均不为零，则可通过高斯消去法（不进行交换两行的初等变换） ，将方程组约化为三角形方程组。定理 6：如果 A 为 n 阶非奇异矩阵，则可通过高斯消去法（及交换两行的初等变换）将方程组 Ax=b 化为三角形方程组。(1)()(1)(1)222()()nnnxaab()()()()1,2.,nkkkjjxbaxa推论： 如果 A 的顺序主子式不等于 0，则(1)1(k,3n)kaD直接消去法主元素法在采用高斯消去法解方程组时，小主元可能产生麻烦，故应避免采用绝对值小的主元素。对一般矩阵，最好每一步选取系数矩阵（或消元后
29、的低阶矩阵）中绝对值最大的元素作为主元素，以使高斯消去法具有较好的数值稳定性！列主元素法：选主元时仅考虑按列选取，然后换行使之变到主元位置上，再进行消元计算。列主元消去法的特点：（1）能够得到较高精度要求的 解 ；（2）计算量大大减少完全主元素法：其中 y1,y2,yn 为121122.nnnaayb 未知数 x1,x2,xn 调换后的次序。 【第一步：首先在 A中选取绝对值最大的元素作为主元素；然后交换到第一行、第一列的位置；再进行第一次消元， 】完全主元素消去法的缺点：在选主元素时要花费较多机器时间。时时纪录 x 顺序的变化情况 1(),2.,nnkkjkjybaya高斯约当消去法高斯约当
30、消去法定义：则同时消去对角线上方和下方的元素。高斯约当消去法的特点：(1) 消元和回代同时进行；(2) 乘除法的次数要比高斯消去法大，所以通常用于同时求解系数矩阵相同的多个方程组或求逆矩阵。()12()10nnxb直接三角分解法 ALU定理: (矩阵的 LU 分解)设 A 为 n 阶矩阵，如果 A 的顺序主子式( i = 1,2,n-1)， 则 A 可分解为一个单位下三角矩阵 L 和一个 上三角矩阵 U 的乘积，且这种分解是唯一的。注：若 A 实现了 LU 分解，则 Ax = b (LU)x=b Ly = b Ux = y 121321300ul LU单位下三角阵 上三角阵101422LU解得
31、123605y12365y解得123140xy123x平方根法A=LDLTA=LLT平方根法 适用于 系数矩阵为对称 正定 阵的方程组的求解。定理 1 (对称阵的三角分解定理)设 A 为 n 阶对称阵，且 A 的所有顺序主子式均不为零，则 A 可唯一分解为 A=LDLT 其中L 为单位下三角阵，D 为对角阵.定理 2 (对称正定阵的三角分解定理)设 A 为 n 阶对称阵，且 A 的所有顺序主子式均大于零，则存在一个非奇异下三角阵 L 使A=LLT，当限定 L 的对角元素为正时，这种分解是唯一的。Cholesky 分解11232123 300TDLLl11213232300TlllLLlll直接
32、三角法追赶法A=LU追赶法适用于系数矩阵为 三对角阵 的方程组的求解。利用系数矩阵的特点，可以将 A 分解为两个三角阵的乘积， A=LU，其中 L 为下三角矩阵，U 为单位上三角矩阵。 12231nbcaAcab 1210.nnlLll2130U 1 12 23 1nn 雅克比迭代法一般形式 121212nnnaxaxb11122212,1(.)/.(.)/nnnnxaxbax(0)()0()(1) ()1,Tnkkiiijxba初 始 向 量矩阵形式将方程组记为 Ax = b 其中 A 非奇异且 aii 0 (I=1, 2, , n).将 A 分裂为 A = D 其中1 1222100. n
33、nnaaLU (0)()0()12,.,)TnkkxxBf初 始 向 量高斯塞德尔1121122212,1(.)/.(.)/nnnnnxxbaax0)(0()1(1) ()()1,Ti nkkki jijjixba初 始 向 量 将方程组记为 Ax = b 其中 A 非奇异且 aii 0 (I=1, 2, , n).将 A 分裂为 A = D 其中 12na 210naL 120.naU(0)()0()1211,.,)TkkxxDUb初 始 向 量迭代法超松弛x(k+1) = x(k) + x 1 时，称为超松弛法，简称 SOR法用分解式 A = D，则可写为(1)1()()k kxLxb注：
34、(1) 松弛法是 G-S 法的一种加速方法；迭 (1)() 1() ()()1,2.kkiiii nkki jijjixxbaxxn(2) 具有计算公式简单，程序设计容易；(3) 但需要选择较好的加速因子。5、 迭代法敛散性判断方法预备定义 定义 1：称迭代公式 中的矩阵 B 为迭代矩阵.(1)()kkxBf定义 2：设 A 为 n 阶方阵， i (i = 1,n)为 A 的特征值，称特征值模的最大值为矩阵 A 的谱半径，记为 1()ma|iin定义 2： 称为矩阵 A 的谱.12,.n定义 3：A k = AAA 的谱为 ( k = 1, 2, )12,kn定义 3：A k = AAA 的谱
35、半径为 1()ax|()kii A已知定理定理 1：设 A 为任意 n 阶方阵， |.|为任意由向量:范数诱导出的矩阵的范数，则()|定理 2：设 A 为 n 阶方阵，则对任意正数 ，存在一种矩阵范数|.|，使得|()定理 3：设 A 为 n 阶方阵，则 的 充要 条件为lim0kA()1A辅助定义定义：若 n 阶方阵 A=(aij)满足 且至少有一个 i 1|,2.niijjain值，使上式中不等号严格成立，则称 A 为弱对角占优阵。若对所有 i，不等号均严格成立，则称 A 为严格对角占优阵 。定义：如果矩阵 A 不能通过行的互换和相应列的互换成为形式 其中120AA11，A 22 为方阵，
36、则称 A 为不可约.收敛 设有线性方程组 Ax=b，下列结论成立：判断条件1. 若 A 为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵，则 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法均收敛。2. 若 A 为严格对角占优阵，0 1，称 x*是 m 重根.2、求根的两个步骤(1)确定根的初始近似值(称之为初始近似根) ，一般为一个包含根的区间，称为“有根区间” 【逐步扫描法：原理：设 f(x)在 a, b连续，且 f(a) f(b)1 时：超线性收敛， p = 2 时：平方收敛 定理：设 x* 为 x = g(x) 的不动点，若 ，p 2；()(*)pgxCBx且 ，则 xk+1 = g(xk
37、) 在 内 p 阶收敛。(1)().0pg牛顿迭代法原理：将非线性方程线性化泰勒展开 20000()(*)()*)!ffxffxx1()kkfx局部收敛性设 f C2a, b，若 x* 为 f (x) 在 a, b上的根，且 f (x*) 0，则存在 x* 的邻域 使得任取初值 Newtons Method 产生的序列 ()B0(*)Bxxk 收敛到 x*，且满足 有12(*)lim()kkfxx只要 就有 p 2。重根是线性收敛的。12|(*)limkefx()0f注： (1) 牛顿法要求初值充分接近根以保证局部收敛性。(2)牛顿迭代法的主要优点是收敛较快，是平方收敛的缺点是公式中需要求 f
38、(x) 的导数。若 f(x)比较复杂，则使用牛顿公式就大为不便。弦截法 针对问题 ：重根问题 ()*)(nfxq问题 1: 若 ，Newtons Method 是否仍收敛？(*0fK1: 有局部收敛性，但重数 n 越高，收敛越慢。问题 2: 如何加速重根的收敛？K2: 将求 f 的重根转化为求另一函数的单根。令 则 f 的重根 = ()fx 的单根。下山法：原理：若由 xk 得到的 xk+1 不能使 | f | 减小，则在 xk 和 xk+1 之间找一个更好的点 ，使得 = 1 时就是 Newtons Method 公式。1kx1()()kkfxfx当 = 1 代入效果不好时，将 减半计算。
39、1()()1)k kkkkfxfxxx 弦截法Newtons Method 一步要计算 f 和 f ，相当于 2 个函数值，比较费时。现用 f 的值近似 f ，可少算一个函数值。需要 2 个初值 x0 和 x1切 线 斜 率 割 线 斜 率 1()kkfxf11()kkkfxxf弦截法与牛顿法相比较相同之处：都是线性化方法不同之处：牛顿法在计算 xk+1 时只用到前一步的值 xk，故这种方法称为单点迭代法；而弦截法在求 xk+1 时要用到前两步的值 xk 和 xk-1，因此这种方法称为多点迭代法。弦截法的收敛速度与牛顿法相比，弦截法的收敛速度也是比较快的。可以证明，弦截法具有超线性收敛速度，收
40、敛阶为 即1(5).6182p1.68|0,kxck第 6 章 解常微分方程1、定义理论上可以证明：只要函数 f(x，y) 适当光滑关于 y 满足李普希兹0(,)yfx(Lipschitz)条件 则初值问题的解存在唯一。|(,)(,)|fyfxLy2、两种解一般解(解析解) y=y(xi)在x=xi 处的精确值.对一些典型的微分方程(可分离变量方程，一阶线性方程等等)，有可能找出它们的一般解表达式，然后用初始条件确定表达式中的任意常数，这样解即能确定。 故解为 y=x22(0)y数值解（近似解）： yi 一般解 y=y(x)在x=xi 处的近似值.y1，y 2，y n由于在实用上对初值问题，一
41、般是要求得到解在若干点上满足规定精确度的近似值 yi，或者是得到一个满足精确度要求的便于计算的近似表达式。故常微分方程的数值解就是求出在若干点上解的近似值。 定义：指在由初始点 x0 开始的若干离散的 x 值处，即对 x0x1x2xn，求出准确值 y(x1),y(x2),，y (xn)的近似值 y1，y 2，y n 2、三种数值解法用差商代替导数()()xhyx(,)fy10(,)01,2iiiyhfxyn=yn-1+hf(x0+(n-1)h,yn-1)使用泰勒公式在微分方程 y=f(x,y)中， y是 x及 y(x)的函数.由于精确值 y(x+h)在h=0 处的泰勒展式为 234()()(“
42、)6yxyxh10(,)01,2iiiyhfxy ()1“!pnnnnhy注：应用泰勒公式求数值解，从形式上看简单，其实具体构造这种公式往往是相当困难的，因为它需要提供导数值， y(j)n当阶数提高时，求导过程可能很复杂，因此泰勒公式通常不直接使用，但可以用它来启发思路。 使用数值积分的方法对于微分方程 y=f(x,y)两边求 x0到 x 的定积分00(,)dyfd0()(,)xxftyt11()(,)(,2iiiiiiixyftydtf（ 左 矩 形 ）10,)()01,2iiiyhxy11 1()(,)(,()2iiiiiiiiixyxftydtfx（ 梯 形 ）1,),iiiiihyfx
43、yfy2、 五种数值方法、在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri+1 = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差欧拉公式简单；精度低向前差商近似导数 1(,)(0,.iiiyhfxyn 221133()()(,)iiihi iihiRyxyxOyhfx欧拉法具有 1 阶精度隐式的欧拉公式稳定性最好；精度低, 计算量大向后差商近似导数 1+1(,)(0,.iiiiyhfxyn1()iiiRyx23()hiyx隐式欧拉公式具有 1 阶精度。梯形公式精度提高计算量大11(,)(,)2(0,.iiiiiyhfxyfyn的确有局部截断误差 即梯形公31()
44、()iiiRyxOh式具有 2 阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。中点欧拉公式计算量大多一个初值, 可能影响精度112(,),.ii iiyhfxyn 3311()()iiiihRyxyxOh即中点公式具有 2 阶精度需要 2 个初值 y0和 y1来启动递推过程，这样的算法称为双步法而前面的三种算法都是单步法改进的欧拉公式 ),(1 iiii yxfhyy ),(),(2 111 iiiiii yxfyxfhyy 1(,),(,)0.iiiiiffhfn此法亦称为预测-校正法。可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。
