1、 1 / 6数值分析期末复习题一、单项选择题1. 数值 x*的近似值 x=0.3250210-1，若 x 有 5 位有效数字，则 ( ). x(A) 10-3 (B) 10-4 (C) 10-5 (D) 10-6212121212. 设矩阵 A ，那么以 A 为系数矩阵的线性方程组 AXb 的雅可比04135迭代矩阵为( )(A) (B) 0.204610.246(C) (D) .102024133. 已知 ，用拉格朗日 2 次插值，则 =( )(1),)4,(3)9fff(2.5f(A) 6.15 (B) 6.25 (C) 6.20 (D) 6.104. 抛物形求积公式的代数精度是( )A.
2、 1， B. 2 ， C. 3， D. 45. 改进欧拉格式的 局部截断误差是( ) .(),AOh2.),B3.),COh4.(.D二、填空题1、以 作为 的近似值，它有（ ）位有效数字；722、经过 三个节点的插值多项式为（ ） ；)1,2( , ),0(CBA3、用高斯-赛德尔迭代法解方程组 ,0231xb其中 b 为实数，则方法收敛的充分条件是 b 满足条件（ ） ；2 / 64、取步长为 ，用欧拉法计算初值问题1.0h2,(0)yx的解函数 ，它在 的近似值为（ ） ；)(xy3.05、已知方程 在 有一个根，使用二分法求误差不大于 的近似解至少需要sin1)1,( 4102经过（
3、）次迭代。 （已知 ） lg20.36、已知近似数 a 的相对误差限为 0.5%，则 a 至少有 位有效数字。7、已知 0.2010 是经过四舍五入得到的近似数，则其相对误差限是 。8、已知 ，则用拉格朗日线性插值求得 的近似值为 (1.2).,(14).2ff (1.3)f。9、设函数 ，则求方程 的根的牛顿迭代公式是 。()fx()xf10、用欧拉公式求解初值问题 ，其绝对稳定域是 。5,(0)yx11、取 n=2，用复化辛普森公式计算 的近似值为 。10Idx12、有 5 个节点的插值型求积公式的代数精度为 。13、设向量 试问函数 是不是一种范数（回答是或不是） 123(,),Tx12
4、3()|fx。14、设矩阵 , 则 ， 。A2|A()A15、矩阵 的两个特征值必落在圆盘 和 之中。21i16、已知近似数 x 的相对误差限为 0.05%，则 x 至少有 位有效数字。17、已知 2.420 是经过四舍五入得到的近似数，则其绝对误差限是 。18、已知 ，则用拉格朗日线性插值求得 的近似值为 21.4,3.72 2.5。19、设函数 ，则求方程 的根的牛顿迭代公式是 。()fx()xf20、设矩阵 , 则 ， 。1247A1|A|A3 / 621、有 3 个节点的插值型求积公式的代数精度至少为 。22、取 n=4，用复化梯形公式计算 的近似值为 。10Idx23、设向量 试问函
5、数 是不是一种范数（回答是或不是）123(,),Tx123()4|f x。24、矩阵 的两个特征值必落在圆盘 和 之中。iAi25、用欧拉公式求解初值问题 ，其绝对稳定域是 。()3()1,0,xtt三、计算题1、写出求解方程 的牛顿迭代格式，并用它计算 的值（取 ，计算结果精确到 42150x501.x位有效数字） 。2、用高斯列主元法解方程组： .21.03,045232xx3、利用 的复化梯形公式计算积分5n10dxI并估计截断误差。4、已知 有 6 位有效数字。3487.).sin( ,314567.0)2.sin( （1）用拉格朗日插值多项式求 的近似值；0（2）证明在区间0.32,
6、 0.34上用拉格朗日插值多项式计算 时至少有 4 位有效数字。xsin5、用列主元高斯消去法求解下列方程组： 1237478.x6、已知函数 在 的值分别为 ，求二次拉格朗日插值多项式并计算 的近似值。()fx1,02, (1)f7、已知数据表如下：4 / 6x 0.5 1.0 1.5y 0.8 0.3 0.1求拟合曲线 。2()ab8、已知矩阵 ，取初始向量 ，用乘幂法迭代 3 次求 M 模最大的特10.5M0(1.,9)Tx征值及相应特征向量的近似值。9、已知线性方程组 12321,4xab问 a, b 取何值时，用高斯-赛德尔迭代法是收敛的。10、已知函数 在 的值分别为 ，作差商表求
7、二次牛顿插值多项式并计算 的()fx1,2,16 (0)f近似值。11、求下列超定方程组的最小二乘解 12123,5,.x12、已知线性方程组 121,43axbyz问 a,b 取何值时，可用 Cholesky 分解法求解。四、证明题1、用欧拉公式求解初值问题 ，3, 01,()yx（1）证明当 时， ，其中 ；0h3xNehN（2）当 为何值时，用欧拉格式求解此问题是绝对稳定的？5 / 62、设 ，0123, , 44xx（1）推导 为求积节点在0,1上的插值型求积公式；, （2）指出该求积公式的代数精度。3、可以设计求 近似值的两个迭代公式如下：5 （1） ；（2） ；1kkxx1354k
8、kx证明：公式（1）是二阶收敛的，而公式（2）则只有线性收敛速度。4、对于初值问题 ，250(), ,)1,yx（1）用欧拉公式求解，步长 h 取什么范围的值才能使计算稳定？（2）若用梯形公式计算，步长 h 有无限制？5、确定下列数值微分公式的余项：设 。12()(0)()3fhffhf6、设方程 的迭代公式如下为 。32sin60x1sin3kkx（1）证明对任意的 ，均有 ，其中 是方程的根；0R*()kx*x（2）指出此迭代公式的收敛阶。（3）若改用牛顿法求解该方程，写出其迭代公式并指出收敛阶。7、证明如下中点公式，122 1,()0.5,.)nnyhKfxyh的局部截断误差为 ，并求其绝对稳定域。3()Oh8、确定下列数值微分公式的余项：设 。12()(0)()3fffhf6 / 6
