1、模 拟 试 题 3 一. 有两个小题1分别说明联结词、以及的名称，以及在自然语言中表示什么含义。2分别列出 PQ、PQ、P Q、P Q 的真值表( 填下表)。P Q PQ PQ PQ PQ二有三个问题1.先说明什么叫永真式(也叫重言式 )。2.指出下面的命题公式中哪些是永真式(只写题号即可) 。(1). (PQ) P (2). P(PQ) (3). (P(P Q) Q (4). (PQ)Q 3.然后对上面的永真式任选其中一个给予证明(方法不限) 。三判断下面命题的真值。对你的回答，给予证明或者举反例。(1)如果 AB ，BC，则 AC 。(2)空集是唯一的。四R 是实数集合，给定 R 上的五个
2、关系如下: R1=|x=y2 R2=|y=x+6R3=|y=(x+1)-1 R4=|y=2xR5=|x2+y2=4 上述五个关系中，哪些不是从 R 到 R 的函数，为什么？如果是函数，则哪些 是从 R 到 R 的入射函数？哪些是从 R 到 R 的双射函数？五用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。要求按照推理的格式书写推理过程。 xP(x), x(Q(x) R(x), x(P(x) R(x) x Q(x)六给定集合 A=1,2,3,定义 A 上的关系如下：R=,S=,T=,M=( 空关系)N=AA(完全关系（全域关系）)1. 分别画出上述各个关系的有向图。2. 用“”表示“是” ，用“”表示
3、“否” ，填下表：自反的 反自反 对称的 反对称 传递的RSTMN3. 上述五个关系中，哪些是等价关系？哪些是偏序关系？是等价关系，写出相应的商集。是偏序关系，画出相应的哈斯图，以及A的极小元、极大元、最小元、最大元、上界与下界。 4. 分别求复合关系 RS 和闭包t(R)七. 1R 是实数集合，给出 R 上的运算：+、max、min、|x-y，分别表示加法、减法、乘法、两个数中取最大的、两个数中取最小的、x-y 的绝对值运算。用 “”表示“是” ，用“”表示 “否”，判断这些运算的性质，填下表：+ max min |x-y|有交换性有结合性有幂等性有幺元有零元2设是群，而 aG，f：G G
4、是映射定义为：对xG, f(x)=axa-1 首先证明求 f：GG 是双射；再证明 f 是 G 到 G 的自同构映射。八下面具有五个元素的格中，哪些是分配格？a b c d e九有二个小题。1. 给定图的集合 G=A,B,C,D,E,F,H,K,M,N,R,S,T,V,W,X,Y,其中各个图如下所示，请指出这些图中哪些是彼此同构的。 2. 有两个小题1) 分别说明什么叫欧拉图、汉密尔顿图、完全图 Kn 以及树。2) 请画出五个具有五个结点的无向图，使之分别满足：(1) 此图既是欧拉图也是汉密尔顿图。(2) 此图是欧拉图但不是汉密尔顿图。(3) 此图是汉密尔顿图但不是欧拉图 。(4) 此图是完全
5、图 K5。(5) 此图是棵树。模拟试题 3 参考答案一1(1) “”叫做否定 。 (2) “” 叫做合取。(3) “”叫做析取。 (4) “”叫做蕴涵、条件。(5) “” 叫做等价、双条件。 “”表示：“不成立” ， “不” 。“”表示：“并且” 、 “不但而且.” 、 “既又 .”、 “尽管还 ”“”表示“或者” ， 是可兼取的或。“”表示 如果 ，则 ；只要 ，就 ； 只有 , 才 ； 仅当 。“”表示“当且仅当” 、 “充分且必要 ”2 P Q PQ PQ PQ PQF F F F T TF T F T T FT F F T F FT T T T T T二1A(P 1,P2,Pn) 是含
6、有命题变元 P1,P2, Pn 的命题公式，如不论对 P1,P2, Pn 作任何指派，都使得 A(P1,P2,Pn) 为真，则称之为重言式，也称之为永真式。2命题公式 2、3、4 是永真式。3证明公式 4：设前件(PQ)为真，则得 Q 为真。所以. (P Q)Q 是永真式。三1F，例 A=1 B=1 C=1,2，满足 AB, BC ，但是不满足 AC。 (因为 1A 但 1C )。 2证明 假设有两个空集 1 、 2 ，则因为 1 是空集，由于空集是任何集合的子集，所以 1 2。因为 2 是空集，类似得 2 1 。所以 1=2 。所以空集是唯一的。四R 1、R 3 和 R5 不是从 R 到 R
7、 的函数。R1：当 x0时，没有相应的 y 对应，又当 x0 时，对应的 y 值不唯一。所以它不是从 R 到 R 的函数。R3：当 x1 时，没有相应的 y 对应，所以它不是从 R 到 R 的函数。R5：当|x|2 时，没有相应的 y 对应，又当|x|,t(R)= ,七1+ max min |x-y|有交换性 有结合性 有幂等性 有幺元 有零元 2证明：a) 证明 f 是满射：任取 yG，因 aG a-1G a -1yaG , 令 x= a-1ya , 则f(x)=axa-1=a(a-1ya)a-1=(aa-1)y(aa-1) =y 所以 f 是满射的。b) 证明 f 是入射的：任取 x1,x
8、2G，设 f(x1)=f(x2) 即ax1a-1=ax2a-1 由群可消去性得 x1=x2 f 是入射的。所以 f 是双射的c) 再证 f 满足同构等式：任取 x1,x2G，f(x1x2) = a(x1x2)a-1 = a(x1ex2)a-1=a(x1(a-1a)x2)a-1= (ax1a-1)(ax2a-1 )= f(x1)f(x2) 所以 f 是 G 到 G 的自同构。八 a,d,e 是分配格。九1解:同构的有:AR ,BD , CMSW , EFTY , H , KX , VN。21）欧拉图、汉密尔顿图、完全图 Kn 以及树的定义 同学们看书。2）a )：既是欧拉图也是汉密尔顿图。 b) 是欧拉图但不是汉密尔顿图。c)：是汉密尔顿图但不是欧拉图 。d)：是完全图 K5。e)：是棵树。a) b) c) d) e)
