1、7.2.1 模拟滤波器设计的基本概念,7.2.2 设计 IIR 滤波器的常用Matlab函数,返回到本章向导,第7章 IIR 数字滤波器设计,7.2 模拟滤波器设计,7.2.3 模拟低通滤波器设计,7.2.4 模拟带通滤波器设计,7.2.1 模拟滤波器设计的基本概念,返回到本节向导,1. 模拟滤波器的技术指标要求 ：, 与数字滤波器相近;,以模拟低通滤波器为例：,或：,描述为：,图5.1.1,7.2.1 模拟滤波器设计的基本概念,2. 常用模拟滤波器及其特点 ：,模拟滤波器在理论上和设计方法上已经相当成熟，并且有一些典型类型可供选择 ;, 巴特沃斯型,返回到本节向导,主要特点：,在通带和阻带都
2、有平坦的幅频响应；,且从通带中心向两边的幅频响应单调下降,当滤波器的阶次 N 较小时，阻带幅频响应的下降速度较慢，与理想特性相差较远；,7.2.1 模拟滤波器设计的基本概念,3. 常用模拟滤波器及其特点 ：, 切比雪夫型,返回到本节向导,主要特点：,阻带衰减特性较快 ；,在通带或阻带具有等波纹形状的幅频响应；,型滤波器的幅频响应在通带有波纹，而阻带单调下降, 型则在通带单调下降，在阻带有波纹；,7.2.2 设计IIR滤波器的常用Matlab函数,1. 计算滤波器的阶次 N 和截止频率, 巴特沃斯型,返回到本节向导,N,Wc=buttord(Wp,Ws, Ap,As)；,N,Wc=buttord
3、(Wp,Ws, Ap,As,s) ；,即数字频率的实际值（rad）除以 ；,数字域格式,数字滤波器的通带截止频率和阻带截止频率的归一化值；,要求满足：0Wp1、0Ws 1,滤波器的通带最大衰减和阻带最小衰减（dB）；,返回参数为数字滤波器的阶次N和3dB截止频率的归一化值Wc ；,模拟域格式,7.2.2 设计IIR滤波器的常用Matlab函数, 巴特沃斯型,返回到本节向导,N,Wc=buttord(Wp,Ws, Ap,As)；,N,Wc=buttord(Wp,Ws, Ap,As,s) ；,当WsWp时，为高通滤波器 ；,即：Wp= Wpl，Wph、Ws= Wsl，Wsh,分别为通带和阻带的下限
4、、上限截止频率的归一化值 ；,当Wp和Ws为2维向量时，为带通和带阻滤波器 ；,返回值Wc = Wcl，Wch也是2维向量；,7.2.2 设计IIR滤波器的常用Matlab函数, 切比雪夫型,返回到本节向导, 切比雪夫型,N,Wc=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As) ；,N,Wc=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,s) ；,N,Wc=cheb2ord(Wp,Ws,Ap,As) ；,N,Wc=cheb2ord(Wp,Ws,Ap,As,s) ；, 椭圆型,N,Wc=ellipord(Wp,Ws,Ap,As) ；,N,Wc=ellipord(Wp,Ws,Ap,As,s) ；,7.2.
5、2 设计IIR滤波器的常用Matlab函数,2. 实际滤波器设计, 巴特沃斯型,返回到本节向导, B,A=butter(N,Wc,ftype) ；,B,A=butter(N,Wc,ftype, s) ；,ftype=stop为带阻 ；,数字域格式,ftype=high为高通 ；,默认为低通或带通；,返回参数是数字滤波器系统函数H(z)的分子、分母多项式系数向量（N+1维）；,7.2.2 设计IIR滤波器的常用Matlab函数, 巴特沃斯型, z,p,K=butter(N,Wc,ftype)；,z,p,K=butter(N,Wc,ftype, s) ；,返回参数为系统函数H(z)或Ha(s)的零
6、、极点和增益常数 ；,返回到本节向导, 切比雪夫型,B,A=cheby1(N,Ap,Wc,ftype) ；,B,A=cheby1(N,Ap,Wc,ftype,s)；,z,p,K =cheby1(N,Ap,Wc,ftype)；,z,p,K=cheby1(N,Ap,Wc,ftype,s)；,7.2.2 设计IIR滤波器的常用Matlab函数, 切比雪夫型,B,A=cheby2(N,As,Wc,ftype)；,B,A=cheby2(N,As,Wc,ftype,s) ；,返回到本节向导, 椭圆型,B,A=ellip(N,Ap, As,Wc,ftype) ；,B,A=ellip(N,Ap, As,Wc,
7、ftype,s) ；,z,p,K=ellip(N, Ap,As,Wc,ftype) ；,z,p,K=ellip(N,Ap,As,Wc,ftype,s),z,p,K =cheby2(N,As,Wc,ftype) ；,z,p,K=cheby2(N,As,Wc,ftype,s) ；,7.2.3 模拟低通滤波器设计,1. 模拟低通滤波器的设计方法,返回到本节向导,设计模拟低通滤波器 时，常采用幅度平方函数 来逼近其技术指标要求；,由于实际滤波器的冲激响应 为实函数；,有：,得：,设 有一临界频率（极点或是零点）位于 ， 则 必有相应的临界频率,当 的临界频率落在 ，则 必有 相应的临界频率必落在,纯虚
8、数的临界频率必然是二阶的。,7.2.3 模拟低通滤波器设计,7.2.3 模拟低通滤波器设计,1. 模拟低通滤波器的设计方法,返回到本节向导,因此：要设计一个稳定的滤波器；,的零点要按照相频特性要求来选择 ；,原因：稳定系统的极点不可能出现在虚轴和 s 右半平面上,就必须选择 在 s 左半平面的一半极点作为 的极点；,而将 s 右半平面的一半极点作为 的极点；,如要具有最小相位延时特性则需选择 在 s 左半平面的一半零点等 ；,复数零点需按共轭对选择！,7.2.3 模拟低通滤波器设计,1. 模拟低通滤波器的设计方法,返回到本节向导,解：,选择了零、极点后，只要再根据 与 的低频特性对比来确定增益
9、常数K，就可以得到模拟低通滤波器的系统函数；,试确定模拟低通滤波器的系统函数 ；,例 ： 已知幅度平方函数 ；,7.2.3 模拟低通滤波器设计,返回到本节向导,解：,零点为j 3 ，极点为2、5；,选择：j 3 为 的零极；,2、5；为其极点；,有：,根据 可得增益常数 K=2；,则系统函数为：,7.2.3 模拟低通滤波器设计,2. 巴特沃斯型模拟低通滤波器的设计方法,返回到本节向导,其幅度平方函数为：,主要特点 ：, 当 ， ，无衰减；, 无论N如何变化，滤波器的幅频响应曲线在 处的衰减都是3dB；, 在 频率范围内，幅度 随频率的增大而单调衰减，,7.2.3 模拟低通滤波器设计,2. 巴特
10、沃斯型模拟低通滤波器的设计方法,返回到本节向导,其幅度平方函数为：,可知， 没有零点；,其极点为：,在 s 平面上有2N个极点，是象限对称的，等间隔分布在半径为 的圆上（称为巴特沃斯圆)，间隔为/N rad。,7.2.3 模拟低通滤波器设计,2. 巴特沃斯型模拟低通滤波器的设计方法,返回到本节向导,选取 s 左半平面的 N个 极点构成 ，则有：,令：,为归一化极点；,N 阶多项式形式：,7.2.3 模拟低通滤波器设计,3. 巴特沃斯型模拟低通滤波器的设计,返回到本节向导,满足上式的最小正整数就是阶次N ，,代入 的定义式求解，得：,7.2.3 模拟低通滤波器设计,3. 巴特沃斯型模拟低通滤波器
11、的设计,返回到本节向导,通带正好满足技术指标要 ；,在阶次 N 确定之后，确定 ：,阻带则有可能超过技术指标要求 ；,阻带正好满足技术指标要 ；,通带则有可能超过技术指标要求 ；,因此有：,7.2.3 模拟低通滤波器设计,3. 巴特沃斯型模拟低通滤波器的设计,返回到本节向导,设计步骤归纳为 ：, 根据设计指标要求中的 计算滤波器的阶次 N 和 3dB截止频率；, 根据阶次 N 查表 6.1得到 或 ；,按照公式确定 ；, 根据 按 照 公 式 确 定 ；,可以证明：按照以上原则选择，在通带和阻带都能满足技术指标要求；,7.2.3 模拟低通滤波器设计,返回到本节向导,例 已知通带截止频率fp=
12、5kHz，通带最大衰减p= 5dB，阻带截止频率fs= 12kHz，阻带最小衰减s=30dB；,设计巴特沃斯型模拟低通滤波器 ：,解：, 求阶次N 和 3dB 截止频率 ；,由：,解得 N4,7.2.3 模拟低通滤波器设计,返回到本节向导,解：,Wp=2*pi*5000;Ws=2*pi*12000;Ap=5; As=30;, 根据阶次N查表6. .1得巴特沃斯归一化原型（低通）系统函数 ；,Matlab程序为：,N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s),B,A=butter(N,Wc, s) ;freqs(B,A); %,7.2.3 模拟低通滤波器设计,运行结果为：,B = 1.
13、0e+018 * 0 0 0 0 1.0225 ,A = 1.0e+018 * 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 1.0225,N =4 Wc = 3.1799e+004,返回到本节向导,例题,7.2.3 模拟低通滤波器设计,4.切比雪夫I型滤波器设计,（1）切比雪夫滤波器的特性,切比雪夫滤波器的幅度特性就在一个频带中（通带或阻带）具有等波纹特性， 在通带中是等波纹的，在阻带中是单调的，称为切比雪夫I型； 在通带中是单调的，在阻带内是等波纹的，称为切比雪夫II型；,N阶切比雪夫I型滤波器形状,（2）切比雪夫I型滤波器的参数、c、 N,模拟切比雪夫I型滤波器的阶数N可由下式
14、确定：,式中， 由阻带边缘增益计算得到：,参数 由通带边缘增益计算得到：,7.2.3 模拟低通滤波器设计,则系统函数为：,线性增益频谱图,7.2.3 模拟低通滤波器设计,例 一个模拟低通滤波器，要求通带截止频率为3kHz，通带最大衰减为0.1dB，阻带截止频率为12kHz，阻带最小衰减为60dB。应用切比雪夫I型滤波器的设计方法求该滤波器的幅度函数。,解,7.2.3 模拟低通滤波器设计,由 ，求得 。则,由 ，求得 ，则,所需滤波器的阶数为：,取N=5，则该模拟低通滤波器的幅度表示为：,7.2.3 模拟低通滤波器设计,因此，为了使设计规范化，通常将滤波器的频率参数进行归一化处理；,以模拟低通滤
15、波器为例：,7.2.4 模拟高通、带通和带阻滤波器设计,归一化的概念,返回到本节向导,由于实际滤波器的频率范围直接取决于应用；, 因此必然千差万别；,若其频率为 ，通带、阻带截止频率为 ；,则用通带截止频率 对频率 进行归一化处理，得归一化频率：,显然：归一化通带截止频率,归一化阻带截止频率,7.2.4 模拟高通、带通和带阻滤波器设计,4. 有关的 Matlab 函数,返回到本节向导, zp2tf() 函数, buttap() 函数,用于设计巴特沃斯归一化原型（低通）（3db截止频率c=1）系统函数 ；,格式为：z,p,K=buttap(N),返回参数z、p 和 K 分别为 的零极点向量和增益
16、常数；,用于将由z、p 和 K（即零极点向量和增益常数）表示的系统函数转换为分子分母多项式的形式；,b,a=zp2tf(z,p,K),7.2.4 模拟高通、带通和带阻滤波器设计,4. 有关的 Matlab 函数,返回到本节向导, lp2lp()、lp2hp()、lp2bp()和lp2bs()函数,用于将归一化原型模拟低通滤波器的系统函数 分别变换为模拟低通、高通、带通和带阻滤波器的系统函数 ；,7.3.1 模拟滤波器到数字滤波器的映射,7.3.2 数字滤波器的间接设计,返回到本章向导,第7章 IIR 数字滤波器设计,7.3 数字滤波器设计,7.3.1 模拟滤波器到数字滤波器的映射,返回到本节向
17、导,这种映射必须满足两个基本要求：,模拟滤波器到数字滤波器的映射（变换）就是将s平面映射到z平面，从而将模拟滤波器的系统函数 变换为数字滤波器的系统函数, s平面左半平面（Res0）映射到z平面单位圆内部（| z |1），从而将稳定的模拟滤波器 映射为稳定的数字滤波器 ；, s平面的虚轴 映射到 z 平面的单位圆上 ，从而保证数字滤波器的频率响应特性 模仿模拟滤波器的频率响应特性 ；,7.3.1 模拟滤波器到数字滤波器的映射,1. 冲激响应不变法,（又称为标准 z 变换法 ）,即：, 对 求拉氏反变换，即得冲激响应；, 以抽样周期 T 对 等间隔抽样 ；,得到 ：,通过将模拟滤波器的冲激响应
18、等间隔抽样来得到数字滤波器的单位抽样响应 ；,返回到本节向导,7.3.1 模拟滤波器到数字滤波器的映射,1. 冲激响应不变法,（又称为标准 z 变换法 ）,若 只有单极点；,则可由 的部分分式展开直接变换为 的部分分式展开；,设 只有 N 个单极点 ，其部分分式展开为：, 对 求 z 变换，即得数字滤波器的系统函数 ；, 以抽样周期 T 对 等间隔抽样 ；,返回到本节向导,7.3.1 模拟滤波器到数字滤波器的映射,1. 冲激响应不变法,（又称为标准 z 变换法 ）,其冲激响应为：,抽样得到数字滤波器的单位抽样响应：,求 z 变换，可得到数字滤波器的系统函数：,返回到本节向导,7.3.1 模拟滤
19、波器到数字滤波器的映射,1. 冲激响应不变法,比较两式可以看出：, s平面的单极点 映射为z平面的单极点, 若 ；, 与 的部分分式系数相同，均为 ；,模拟滤波器稳定；,返回到本节向导,7.3.1 模拟滤波器到数字滤波器的映射,需要注意的两点：,时域抽样则频域出现周期性延拓；,但任何模拟滤波器都不是严格带限的；,因此映射后，数字滤波器的频率响应 都会出现不同程度的混叠 ；,才能保证映射后数字滤波器的频率响应不出现混叠现象！,只有当模拟滤波器的频带有上限 时；,且满足：,使 不同程度的偏离 ！, 不同程度的偏离,返回到本节向导,7.3.1 模拟滤波器到数字滤波器的映射,需要注意的两点：,对于低通
20、、带通滤波器：, 频域出现 1/T 的幅度增益；,由于其频带上限为无穷大，故存在着严重的混叠，因此不适合采用这种映射方法！,可以通过减小抽样周期T 或加大阻带最小衰减 来将混叠减小到允许范围内 ；,对于高通和带阻滤波器,由于抽样周期 T 很小,返回到本节向导,7.3.1 模拟滤波器到数字滤波器的映射,需要注意的两点：,工程实际中经常采用时域修正后的映射公式 ：,这样以来，若不考虑频率混叠现象；,数字滤波器将重现模拟滤波器的频率特性，即：,映射后频率响应 的幅度可能溢出！,返回到本节向导,7.3.1 模拟滤波器到数字滤波器的映射,综上所述，得到冲激响应不变法的主要特点是 ：, 存在频率混叠现象，
21、不适合设计高通、带阻滤波器 ；, 数字滤波器与模拟滤波器的频率坐标变换是线性的，即=T, 数字滤波器的单位抽样响应模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好；,实现冲激响应不变法映射的Matlab函数：,Bz,Az=impinvar(B,A,fs),对应映射后数字滤波器系统函数,返回到本节向导,7.3.1 模拟滤波器到数字滤波器的映射,2. 双线性变换法, 是一种频域上的变换方法；,即将s平面整个虚轴 上 的频率范围 ；,采用非线性频率压缩：,返回到本节向导,7.3.1 模拟滤波器到数字滤波器的映射,2. 双线性变换法,s平面到s1平面的频率压缩形式可以选择为：,当1的变化范围为 时；,的变
22、化范围为 ；,返回到本节向导,利用欧拉公式得到：,7.3.1 模拟滤波器到数字滤波器的映射,2. 双线性变换法,返回到本节向导,再通过 将s1平面映射到 z平面，得到：,则模拟滤波器与数字滤波器系统函数的关系为：,由简单的代数公式就可将 直接转换成, 这也是该变换法的优点；,模拟角频率与数字频率之间的关系为：,7.3.1 模拟滤波器到数字滤波器的映射,综上所述，得到双线性变换法的主要特点是 ：, 由于与是非线性关系，所以存在着相频特性失真 ；, 由于对模拟滤波器要求放宽，故适用范围广；, 模拟滤波器经双线性变换后，不存在频率响应特性的混叠失真 ；,返回到本节向导,是以频率关系的非线性为代价取得
23、！,7.3.2 数字滤波器的间接设计, 确定数字滤波器的技术指标要求,返回到本节向导,利用IIR模拟滤波器 间接设计IIR数字滤波器 遵循以下几个步骤：, 选择一种模拟滤波器 到数字滤波器的映射方法；,将数字滤波器的技术指标要求变换为同类型模拟滤波器的技术指标要求；,7.3.2 数字滤波器的间接设计,返回到本节向导, 设计该模拟滤波器，求出其系统函数 ；, 选择一种模拟滤波器 到数字滤波器的映射方法；, 得到数字滤波器系统函数 ；,冲激响应不变法用式,双线性变换法用式,例 题例1 设计低通DF， 要求幅频特性单调下降。 3 dB截止频率 ， 阻带截止频率 ， 阻带最小衰减s=15 dB， 采样
24、频率fs=30 kHz， 分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计。 解： （1） 用脉冲响应不变法设计。 按图5.1.6流程设计。 确定DF指标参数。, 将DF指标参数转换成相应的AF指标参数。 因为在脉冲响应不变法中， =T， 所以, 求相应的AF系统函数Ha(s)。 a. 计算阶数N， 根据要求， 应选择巴特沃斯AF。 由教材（6.2.18）式有,取N=2。,b. 查教材第157页表6.2.1， 得到二阶巴特沃斯归一化低通原型：,c. 频率变换， 由图5.1.5中LPLP变换公式求出相应的AF系统函数Ha(s):, 将Ha(s)转换成H1(z)：,以上结果是调用MATLAB impinva
25、r函数直接求出的， 这样就不用求极点s1和s2以及部分分式展开。 请读者按教材（6.3.1）式和(6.3.4)式或（6.3.11）式计算， 验证以上结果。 （2） 用双线性变换法设计。 确定DF指标参数； 与脉冲响应不变法中的相同。, 将DF指标参数转换成相应AF指标参数。 因为在双线性变换法中， 和为非线性关系， ， 所以， 需要预畸变校正。 只有采用非线性预畸变校正， 由DF边界频率求得相应AF边界频率， 才能在经过双线性变换， 将Ha(s)转换成H(z)过程中的非线性畸变后， 保持DF原来边界频率不变。 按教材（6.4.7）式得到, 设计相应的Ha(s)。 a. 计算阶数N： 由教材中(
26、6.2.18)式， 有ksp=5.5463 （与脉冲响应不变法中的相同）,工程上为了简化系统， 可取N=1（工程上允许时， 可如此处理）。 b 查教材表6.2.1得归一化低通原型G(p)为,c 经频率变换， 得, 用双线性变换法将Ha(s)转换成H2(z)， 由教材中(6.4.3)式， 有,(3) 设计性能比较。 用脉冲响应不变法设计的H1(z)和用双线性变换法设计的H2(z)的损耗函数曲线分别如图5.2.1（a）和（b)所示。 由图可见， 在通带内， 二者均能满足要求， 但|H1(ej)|在=附近存在频率混叠失真， 从而使s=0.8处衰减不到12 dB， 不满足指标要求。 |H2(ej)| 无频率混叠失真， 满足要求。 但|H2(ej)|存在非线性频率失真， 且频率越高， 失真越明显。,图5.2.1,方法一：先设计模拟滤波器，再进行数字化,7.3.3高通、带通和带阻IIR数字滤波器设计,模拟滤波器变换之后，采用冲激响应不变法或双线性变换法进行数字化。,方法二：先数字化，再进行数字域频率 变换,7.3.3高通、带通和带阻IIR数字滤波器设计,方法三：直接对模拟原型进行数字化,7.3.3高通、带通和带阻IIR数字滤波器设计,例题,
