1、数字信号课程设计报告设计题目： IIR 数字滤波器的设计并实现 专业班级 学 号 学生姓名 指导教师 王科平 2016 年 12 月 26 日2目 录一: 摘要3二：正文41设计内容42. 设计原理52.1.用脉冲响应不变法设计 IIR数字滤波器52.2双线性变换法设计 IIR数字滤波器73.设计过程93.1双线性变换法设计 IIR数字滤波器9 3.2用脉冲响应不变性设计 IIR滤波15三：结论163四：参考文献17一 摘要数字滤波器是现代数字信号处理系统的重要组成部分之一。R 数字滤波器又是其中非常重要的一类滤波器，因其可以较低的阶次获得较高的频率选择特性而得到广泛应用。 本文研究了R 数字
2、滤波器的常用设计方法，在分析各种R 实现结构的基础上，利用 MATLAB 针对并联型结构的R 数字滤波器做了多方面的仿真，从理论分析和仿真情况确定了所要设计的R 数字滤波器的实现结构以及中间数据精度。一种采用 MATLAB 的数字滤波器设计工具箱 FDATOOL快速有效设计 IIR 数字滤波器的方法，可实时调整滤波器的参数从而使滤波器的设计达到最优。概述了 FDATOOL 的使用方法，采用 DSP Builder 建立了实现模型，给出了基于 FPGA 的 IIR 数字滤波器的实现流程，并且在最后使用Simulink 进行仿真，给出了仿真波形。随着信息与数字技术的发展,数字信号处理已成为当今极其
3、重要的学科与技4术之一,它在通信、语音、图像、自动控制、雷达、军事、航空航天、医疗和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。在数字信号处理的基本方法中,通常会涉及到变换、滤波、频谱分析、调制解调和编码解码等处理。其中,滤波是应用非常广泛的一个环节,数字滤波器的理论与相关设计也一直都是人们研究的重点之一。数字滤波器根据其单位冲击响应函数的时域特性可分为两类:无限冲击响应(IIR)滤波器和有限冲击响应(FIR)滤波器。在给定滤波器阶数时,与 FIR 滤波器相比,无限冲击响应 IIR(infiniteimpulsere2sponse)滤波器在达到某种性能属性方面可以有更好的效率。这是因为 IIR 滤波器
4、引入了反馈,且适合于系统传递函数的 0 点和极点的实现。IIR 数字滤波器具有无限宽的冲激响应,与模拟滤波器相匹配,所以 IIR 滤波器的设计可以采取在模拟滤波器设计基础上进一步变换的方法。其设计方法主要有脉冲响应不变法、双向性变换法。一般数字滤波器从功能上可分为低通、高通、带通、带阻等滤波器，它们的幅频特性是离线规定，但这种理想滤波器是不可能实现的，因为它们的单位脉冲响应均是非因果且无限长的，我们只能按照某些准则尽可能逼近它，这些滤波器可以为逼近的原则。数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲相应分类，可以为无限长脉冲响应和有限长脉冲响应。 二 正文1. 设计内容滤波器的指标常常在频域给出。
5、数字滤波器的频响特性函数 一般为复函数，所以通常表示为：其中， ，称为幅频特性函数， 称为相频特性函数。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况，而相频特性反映各频率通过滤波器后在时间上的延时情况。一般 IIR 数字滤波器，通常只用幅频响应函数来描述设计指标，相频特性一般不作要求。5IIR 滤波器指标参数如下图所示。图中， 和 分别为通带边界频率和阻带边界频率；1 和 2 分别为通带波纹和阻带波纹；允许的衰减一般用 dB 数表示，通带内所允许的最大衰减（dB）和阻带内允许的最小衰减（dB）分别为p 和 s 表示：一般要求图 1 低通滤波器的技术要求2. 设计原理IIR 数字滤波器是一
6、种离散时间系统，其系统函数为假设 MN，当 MN 时,系统函数可以看作一个 IIR 的子系统和一个(M-N)的 FIR 子系统的级联。IIR 数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数ka 和 kb，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。如果在 S 平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在 z 平面上去逼近，就得到数字滤波器。21 用脉冲响应不变法设计 IIR数字滤波器利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波6器的特性，这种模仿可以从不同的角度出发。脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列 h(n
7、)模仿模拟滤波器的冲激响应 ha(t)，即将 ha(t)进行等间隔采样，使 h(n)正好等于 ha(t)的采样值，满足h(n)=ha(nT) 式中,T 是采样周期。 如果令 Ha(s)是 ha(t)的拉普拉斯变换，H(z)为 h(n)的 Z 变换，利用采样序列的 Z 变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得则可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的 S 平面变换成数字滤波器的 Z 平面，这个从 s 到 z 的变换 z=esT 是从 S 平面变换到 Z 平面的标准变换关系式。图 2 脉冲响应不变法的映射关系数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响
8、应的周期延拓。正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即 才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就7会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。图 3 脉冲响应不变法中的频响混叠现象对某一模拟滤波器的单位冲激响应 ha(t)
9、进行采样，采样频率为 fs，若使fs 增加，即令采样时间间隔（T=1/fs）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。2.2双线性变换法设计 IIR数字滤波器8脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从 S 平面到平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-/T/T 之间，再用z=esT 转换到 Z 平面上。也就是说，第一步先将整个 S 平面压缩映射到 S1 平面的-/T/T 一条横带里；第二步再通过标准变换关系 z=es1T 将此横带变换到整个 Z 平面上去。这样就使 S 平
10、面与 Z 平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图 4 所示图 4 双线性变换的映射关系为了将 S 平面的整个虚轴 j 压缩到 S1 平面 j1 轴上的-/T 到 /T 段上，可以通过以下的正切变换实现 式中,T 仍是采样间隔。当 1 由-/T 经过 0 变化到 /T 时， 由-经过 0 变化到+，也即映射了整个 j 轴。将上式写成将此关系解析延拓到整个 S 平面和 S1 平面，令 j=s，j1=s1，则得9再将 S1 平面通过以下标准变换关系映射到 Z 平面从而得到 S 平面和 Z 平面的单值映射关系为以上两式是 S 平面与 Z 平面之间的单值映射
11、关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换首先,把 z=ej，可得即 S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆。其次，将 s=+j 代入上式因此 由此看出，当 0 时，|z|1。也就是说，S 平面的左半平面映射到 Z 平面的单位圆内，S 平面的右半平面映射到 Z 平面的单位圆外，S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。IIR 数字滤波器的设计一般有两种方法：一个是借助模拟滤波器的设计方法进行。其设计步骤是，先设计模拟滤波器，再按照某种方法转换成数字滤波器。这种方法比较容易一些，因为模拟滤波器的设计方法已经非常成熟，
12、不仅有完整的设计公式，还有完善的图表供查阅；另外一种直接在频率或者时域内进行，由于需要解联立方程，设计时需要计算机做辅助设计。其设计步骤是：先设计过渡模拟滤波器得到系统函数)(sHa，然后将)(sHa 按某种方法转换成数10字滤波器的系统函数)(zH。这是因为模拟滤波器的设计方法已经很成熟，不仅有完整设计公式，还有完善的图表和曲线供查阅；另外，还有一些典型的优良滤波器类型可供我们使用。为了保证转换后的)(zH 稳定且满足技术指标要求，对转换关系提出两点要求: (1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。 (2)数字滤波器的频率相应模仿模拟滤波器的频响特性，s 平面的虚轴映射为
13、z 平面的单位圆，相应的频率之间呈线性关系。 利用模拟滤波器成熟的理论设计 IIR 数字滤波器的过程是：(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带边界频率 pw、通带最大衰减pa、阻带截止频率 sw、阻带最小衰减 sa。 (2)将数字低通滤波器的技术指标转换成相应的模拟低通滤波器的技术指标。(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计过渡模拟低通滤波器。 (4)用所选的转换方法，将模拟滤波器)(sHa 转换成数字低通滤波器系统函数)(zH。 IIR 数字滤波器的设计流程图如下：图 5 IIR 数字滤波器的设计步骤流程图3. 设计过程3.1双线性变换法设计 IIR数字滤波器 低通clear11wp=12
14、*pi; ws=35*pi; rp=0.5; rs=40; fs=100; n,wc=cheb2ord(wp,ws,rp,rs,s) z,p,k=cheb2ap(n,rs); a,b,c,d=zp2ss(z,p,k); at1,bt1,ct1,dt1=lp2lp(a,b,c,d,wc); at2,bt2,ct2,dt2=bilinear(at1,bt1,ct1,dt1,fs); num,den=ss2tf(at2,bt2,ct2,dt2) figure(1); freqz(num,den,128,fs);grid on;title(幅频、相频图);0 5 10 15 20 25 30 35 4
15、0 45 50-300-200-1000100Frequency (Hz)Phase(degrees)0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-100-50050Frequency (Hz)Magnitude (dB)、n =4wc =96.057512num = 0.0172 -0.0121 0.0255 -0.0121 0.0172den =1.0000 -2.7303 2.9423 -1.4522 0.2759高通clearwp=35*pi; ws=12*pi; rp=0.5; rs=40; fs=100; n,wc=cheb2ord(wp,ws,rp,rs,s) z
16、,p,k=cheb2ap(n,rs); a,b,c,d=zp2ss(z,p,k); at1,bt1,ct1,dt1=lp2lp(a,b,c,d,wc); at2,bt2,ct2,dt2=bilinear(at1,bt1,ct1,dt1,fs); num,den=ss2tf(at2,bt2,ct2,dt2) figure(1); freqz(num,den,128,fs);grid on;title(幅频、相频图);130 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-300-200-1000100Frequency (Hz)Phase(degrees)0 5 10 15 20 25
17、 30 35 40 45 50-100-500Frequency (Hz)Magnitude (dB)、n =4wc =43.1537num =0.0104 -0.0294 0.0401 -0.0294 0.0104den =1.0000 -3.4194 4.4215 -2.5587 0.5587带阻clearwp=85*pi; ws=139*pi; rp=0.5; rs=40; fs=600; n,wc=cheb2ord(wp,ws,rp,rs,s) z,p,k=cheb2ap(n,rs); a,b,c,d=zp2ss(z,p,k); at1,bt1,ct1,dt1=lp2lp(a,b,c,
18、d,wc); at2,bt2,ct2,dt2=bilinear(at1,bt1,ct1,dt1,fs); 14num,den=ss2tf(at2,bt2,ct2,dt2) figure(1); freqz(num,den,128,fs);grid on;title(幅频、相频图);0 50 100 150 200 250 300-400-2000200Frequency (Hz)Phase(degrees)0 50 100 150 200 250 300-100-50050Magnitude (dB)Frequency (Hz)、n =6wc = 431.0781num =0.0143 -0.
19、0295 0.0441 -0.0428 0.0441 -0.0295 0.0143带通clearwp=89*pi; ws=225*pi; rp=0.5; rs=40; fs=600; n,wc=cheb2ord(wp,ws,rp,rs,s) 15z,p,k=cheb2ap(n,rs); a,b,c,d=zp2ss(z,p,k); at1,bt1,ct1,dt1=lp2lp(a,b,c,d,wc); at2,bt2,ct2,dt2=bilinear(at1,bt1,ct1,dt1,fs); num,den=ss2tf(at2,bt2,ct2,dt2) figure(1); freqz(num,d
20、en,128,fs);grid on;title(幅频、相频图);0 50 100 150 200 250 300-400-300-200-1000Frequency (Hz)Phase(degrees)0 50 100 150 200 250 300-100-50050Frequency (Hz)Magnitude (dB)、n =5wc =537.0759num =0.0167 -0.0134 0.0145 0.0145 -0.0134 0.0167den = 1.0000 -3.1304 4.1669 -2.8750 1.0225 -0.14853.2用脉冲响应不变性设计 IIR滤波fp
21、=2100; fs=8000; 16Fs=20000; Rp=0.5; Rs=30; T=1/Fs; % W1p=fp/Fs*2;W1s=fs/Fs*2;% N,Wn=buttord(W1p,W1s,Rp,Rs,s);%butterworthNWn z,p,k=buttap(N);%bp,ap=zp2tf(z,p,k); %bs,as=lp2lp(bp,ap,Wn*pi*Fs);%bz,az=impinvar(bs,as,Fs); %sys=tf(bz,az,T); %H,W=freqz(bz,az,512,Fs); %subplot(2,1,1); plot(W,20*log10(abs(H
22、); %grid on; %xlabel(/Hz); ylabel(/dB);subplot(2,1,2); plot(W,abs(H); grid on; xlabel(/Hz); ylabel(/H); 170 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-40-20020、/dB0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 1000000.511.5、 /Hz、/H三 结论本次数字滤波器设计方法是基于 MATLAB 的数字滤波器的设计，是用学过的数字信号理论为依据，用 MATLAB 代
23、码来实现的。通过 IIR 数字滤波器的设计过程，说明如何利用 MATLAB 来完成数字滤波器的设计。脉冲响应不变法中相位响应有严格的线性,不存在稳定性问题, 设计简单。双线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，但会产生频率混碟现象，使数字滤波器的频响偏移模拟滤波器的频响。在同样的技术指标的要求下，IIR 滤波器所要求的阶数 N 也比较小，实现起来比较容易。同时，除了典型设计法以外，MATLAB 信号处理工具箱提供了几个直接设计 IIR 数字滤波器的函数，直接调用就可以设计滤波器。 通过这几个实验，对设计数字滤波器的整个过程有了很好的掌握。其中对双线性变换法，巴特沃斯设
24、计模拟滤波器的运用，也更加清楚了。 通过对数字带通滤波器的设计，熟悉了 MATLAB 的运行环境，初步掌握了MATLAB 语言在数字信号处理中一些基本库函数的调用和编写基本程序等应用；18熟悉了滤波器设计的一般原理，对滤波器有了一个感性的认识；学会了数字高通滤波器设计的一般步骤；加深了对滤波器设计中产生误差的原因以及双线性变换法优缺点的理解和认识。总之，使理论联系了实际，巩固并深化了对课本基本知识的认识和理解，使理论得以升华。 四 参考文献1 倪养华数字信号处理与实现上海：上海交通大学出版社，1998 2 飞思科技产品研发中心MATLAB7 辅助信号处理技术与应用北京：电子工业出版社， 2005 3 楼顺天，李博苗基于 MATLAB 的系统分析与设计一信号处理西安：西安电子科技大学出版社，1998. 4 张葛祥，李娜MATLAB 仿真技术与应用北京：清华大学出版社，2003 5 胡广书 数字信号处理、理论、算法与实现M 北京：清华大学出版社，1997 6 陈希林，肖明清一种 LabWindows/CVI 与 MATLAB 混合编程的实现方法J.微计算机信息，2005 7刘波MATLAB 信号处理北京：电子工业出版社，2006 8施阳等MATLAB 语言工具箱西安：西北工业大学出版社，1999 9丁玉美数字信号处理西安电子科技大学出版社 第二版
