1、第六章 IIR DF的设计方法,第一节 引言,一、滤波器的设计方法,因为，DF是一种具有频率选择性的离散线性系统，即选频滤波器。它在确定信号与随机信号的数字处理中有着广泛的应用。 数字滤波器的设计是确定其系统函数并实现的过程。,二、滤波器设计的步骤,1.根据任务，确定性能指标。 2.用因果系统的线性时不变系统函数去逼近。 3.用有限精度算法实现这个系统函数。（包括选择运算结构、选择合适的字长、有效数字处理方法。） 4.用适当的软、硬件技术实现 包括采用：通用计算机软件、数字滤波器硬件、或者二者结合。,三、性能指标,我们在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。 理想滤波器物理不可实现的。（由于从
2、一个频带到另一个频带之间的突变） 要物理可实现：应从一个带到另一个带之间设置一个过渡带且在通带和止带内也不应该严格为1或零。应给以较小容限。,1、低通滤波器的性能指标,fs ws,fp wp,2,1-1,1,Ap,As,f w,|H(ejw)|或|H(f),1:通带的容限,2：阻带容限,通带截止频率：fp(wp)又称为通带上限频率。 通带衰减：Ap 阻带截止频率：fs(ws)又称阻带下限截止频率。 阻带衰减：As,2、高通滤波器的性能指标,fs ws,fp wp,1,Ap,As,f w,|H(ejw)|或|H(f),通带截止频率：fp(wp)又称为通带下限频率。 通带衰减：Ap 阻带截止频率：
3、fs(ws)又称阻带上限截止频率。 阻带衰减：As,3、带通滤波器的性能指标,fs1 ws1,fp1 wp1,1,Ap,As,f w,|H(ejw)|或|H(f),通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。 通带衰减：Ap 阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。 阻带衰减：As,fp2 wp2,fs2 ws2,4、带阻滤波器的性能指标,fs1 ws1,fp1 wp1,1,Ap,As,f w,|H(ejw)|或|H(f),通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。 通带衰减：Ap 阻带截止频率：上
4、限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。 阻带衰减：As,fp2 wp2,fs2 ws2,5、通常具体技术指标,四、H(z)如何推导出,有时根据提出对滤波器的性能要求、频率特性（低、高、带通、带阻）来设计系统H(z). 有时根据时域波形提出要求来设计单位冲激响应h(n)的形状。 有时也直接给出H(z).(但要求因果稳定).,五、确定DF的采用的结构及运算结构的好坏,确定DF的采用的结构将会影响DF的精度、稳定性、经济性及运算速度等很多重要性质。 1.计算复杂性一个运算结构应含有最少的乘法器和最少的延时器。乘法器最费时间， 延时器最费存储单元。 2. 存储器长度的有限和运算结构
5、将会有影响。即有时会希望使用一种运算结构，虽然它的乘法器和延时器并不是最少的，但它对存储器的有限字长效应是最不敏感的。,六、本章主要内容,1.设计IIR DF两种变换法（模拟频率变换法，数字频率变换法）。 2.利用模拟滤波器来设计数字滤波器的两种方法（冲激不变法、双线性变换法）。 3.（计算机辅助设计）最优化技术设计 （最小均方误差法、最小误差设计法）,第二节 IIR DF 设计方法,一、IIR DF 系统函数,IIR DF 是一个递归型系统，其系统函数：,二、IIR DF频率特性,它是由二个参量来表征： 1.幅度平方响应（幅频特性） 2.群延时（相位响应、相频特性）,1.幅度平方响应,通常我
6、们用的数字滤波器一般属于选频滤波器，幅频特性表示信号通过该滤波器后频率成分衰减情况。本章主要研究由幅频特性提出指标的选频滤波器的设计，即根据幅度平方响应来设计。,由于冲激响应h(n)为实函数，故满足：,即满足共轭对称条件。若是H(z)的极点，则：,是H(z-1)的极点. 又由于H(z)的有理表达式中各系数为实数，因而，零极点必然都以共轭对形式出现，故必有：,两极点存在,所以 （1）H(z)H(z-1)的极点既是共轭的，又是以单位园镜像对称的。 （2）为了使H(z)成为可实现的系统，故取：单位园内的那些极点作为H(z)的极点单位园外的那些极点作为H(z-1)的极点 H(z)的零点一般不是唯一确定
7、的，可在z平面上的任意位置。 （3）如果选H(z)H(z-1)在z平面单位园内的零点作为H(z)的零点，则所得到的是最小相位延时滤波器。,2.相位响应,滤波器的相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不一样，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。 如果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术指标，例如语音合成，波形传输、图像信号处理等对波形有严格的要求，则需要设计线性相位数字滤波器。（放在第七章讲）,3.群延时,它是滤波器平均延迟的一个度量，定义为相频特性对角频率w的一阶导数的负值。即：,三、IIR DF 的设计方法,设 计
8、 IIR 数 字 滤 波 器 系 统 函 数 有 两 种 方 法： 1、简单滤波器的零、极点累试法 2、间 接 方 法 3、直 接 方 法,1、简单滤波器的零、极点累试法,在z平面上直接设计IIR数字滤波器，以滤波器响应作为依据，直接在z平面上，通过多次选定极点和零点位置逼近该响应。即在单位园内设置一对共轭极点 ，频响在w0处就有一峰值。 r越近于1，极点位置越接近单位园，则峰值就越尖锐。同理，若在单位园内设置一对零点 ， 频响就会在w1处出现零值，即可实现陷波。如特性还达不到要求，可再移动零、极点，这样作二、三次调整后，就可以获得一些简单的DF.这种方法，可以设计一些简单阶数很低（12阶)的
9、DF。,*,*,Rez,Imz,例子,从图中清楚表明，极点愈靠近单位园（r愈靠近1），带通特性愈尖锐。,2、间 接 方 法,由于模拟滤波器设计技术是非常成熟的，归一化各种模拟低通滤波器的系统函数已有表可查，利用成熟的设计技术，可得到一个间接设计IIR DF的方法，即间接设计方法。 这 种 方 法 通 常 要 先 设 计 一 中 间 滤 波 器 ， 然 后 通 过 映 射 或 频 率 变 换 完 成 最 终 IIR 数 字 滤 波 器 的 设 计。 这 种 间 接 设 计 方 法中 包 括：(1) 由模 拟滤波器设计数字滤波器 (2) 频 率 变 换 法（分为模拟频率变换法和数字频率变换法）来设
10、计数字滤波器,3、直 接 方 法,直 接 方 法( 计 算 机 辅 助 设 计 法 )（1）在频域利用幅度平方误差最小法直接设计IIR数字滤波器。 （2）在时域直接设计IIR数字滤波器 此 法 根 据 性 能 指 标 和 一 定 的 逼 近 准 则， 直 接 利 用 计 算 机 完 成 设 计。,第三节 由模拟滤波器设计数字滤波器的方法,一、由模拟滤波器设计数字滤波器步骤,这 种 方 法 设 计 经 以 下 三 步： 1、数字滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器指标 2、模拟低通滤波器设计 3、映射实现：从模拟低通滤波器再转换成数字滤波器,1、数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器指标,根 据
11、给 定 设 计 要 求， 把 数 字 滤 波 器 的 性 能 指 标 变 成 模 拟 滤 波 器低通 的 性 能 指 标。 这是因为模拟滤波器设计方法已经很成熟，它不仅有完整的设计公式，还有完善的图表供查阅；另外，还有一些典型的滤波器类型可供使用。（采用冲激不变法和双线性变换法）,2、模拟滤波器设计,设 计 出 符 合 要 求 的 模 拟 滤 波 器 的 系 统 函 数Ha(s)。可以选择多种类型的滤波器。如Butterworth,Chebyshev,Ellipse,Bessel等。,3、 映 射 实 现,利 用 一 定 的 映 射 方 法， 把 模 拟 滤 波 器 系 统 函 数 数 字 化
12、， 完 成 IIR 数 字 滤 波 器 系 统 函 数 的 设 计。（采用冲激不变法和双线性变换法）,二、由模拟滤波器设计 数字滤波器条件,由模拟变换到数字的映射必须满足两条基 本 要 求： H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应。，S 平 面 的 虚 轴 j 必 须 映 射 到 Z 平 面 的 单 位 圆上， 即S=j,Z=,因果稳定的Ha(s)应能映射成因果稳定的H(z).为 保 持 滤 波 器 稳 定 性，S 平 面 的 左 半 平 面 必 须 映 射 到Z 平 面 的 单 位 圆 内， 即Res0 |z|1,0,S,z,- ,0,S,z,- ,三、由模拟滤波器设计数字滤波器这种
13、方法的局限性,用 这 方 法 设 计IIR 数 字 滤 波 器 存 在 一 定 的 局 限 性： (1) 这 种 方 法 只 适 于 设 计 幅度 响 应 分 段 恒 定 的 滤 波 器， 不 能 解 决 多 带 或 任 意 幅 度 的 滤 波 器 的 设 计 问 题。 (2) 它 只 是 一 种 可 行 的 方 法， 而 不 是 最 优 的 方 法。,四、映射实现的方法,由模拟滤波器映射成数字滤波器的方法，也即，数字滤波器能模仿滤波器的特性。 主要有以下几种映射方法： 冲 激 响 应 不 变 法 阶 跃 响 应 不 变 法（不讲）双 线 性 变 换 法,第四节 冲激不变法 （脉冲响应不变法）
14、,由雷道（Rader),戈尔登(Golden)提出,一、变 换 原 理 1、什么是冲激不变法,冲 激 响 应 不 变 法 是 从 时 域 出 发， 要 求 数 字 滤 波 器 的冲 激 响 应 h(n) 对 应 于 模 拟 滤 波 器ha(t) 的 等 间 隔 抽 样。 h(n)=ha(nT) ， 其 中 T 是 抽 样 周 期。因 此 时 域 逼 近 良 好。,2、数字滤波器与模拟滤波器的频率的响应映射关系,由 于 在 时 域 抽 样， 导 致 在 频 域 内， 数 字 滤 波 器 的 频 率 响 应H(ejw) 为 模 拟 滤 波 器 频 率 响 应 的 周 期 延 拓.存 在 多 对 一
15、 的 映 射 关 系。,3、冲激响应不变法的映射规则,冲激响应不变法的映射规则为:z=esT ( T 为 抽 样 周 期).这 种 映 射 并 不 是 简 单 的 代 数 映 射， 故 不 能 将 其 直 接 代 入Ha(s) 来 得 到 H(z).,4、映射规则的要点,S平面上每一条宽为 的横带部分，将重叠映射到z平面的整个平面上。 每一横条的左半边映射到z平面单位园内， 每一横条的右半边映射到z平面单位园外。 S平面的虚轴(j)轴映射到z平面单位园上，虚轴上每一段长为 的线段都映射到z平面单位园上一周。 数字滤波器的频响并不是简单地重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓。,二、
16、性 能 分 析,数 字 滤 波 器 的 冲 激 响 应 为 对 应 模 拟 滤 波 器 冲 激 响 应 的 抽 样， 由 抽 样 定 理 可 知 其 频 谱 为 模 拟 滤 波 器 频 谱 的 周 期 延 拓。只 有 模 拟 滤 波 器 的 频 谱 限 带 于 折 叠 频 率 内 时， 即 要 满 足才 能 避 免 混 叠 失 真。 而 实 际 的 滤 波 器 并 非 严 格 限 带， 所 以 用 冲 激 响 应 不 变 法 设 计 的 数 字 滤 波 器 不 可 避 免 地 会 产 生 混 叠 失 真。 所 以 此 法 只 适 于 设 计 带 限 滤 波 器。,三、设计流程的公式推导 1、设
17、计步骤,冲激响应不变法设计数字滤波器的思路为: (1) 先根据要求，设计出中间模拟滤波器系统函数, (2)然后经下列 变 换 设 计 出H(z)：Ha(s) ha(t) h(n)H(z) 即：Ha(s)求ha(t)=L-1Ha(s)ha(t)抽样，h(n)=ha(t)|t=nT=Ha(nT)(会导致频谱中幅度变小）Th(n)=Tha(t)|t=nT（把幅度加大，让它频谱幅度一样）H(z)=ZTh(n) 可见整个过程很复杂。,2、设计流程中注意点,冲 激 响 应 不 变 法是Ha(s)H(z). 即: 将 S 平 面 极 点sk 映 射 到 Z 平 面 极 点 因而只有极点有这种简单映射关系，而
18、零点不满足这种简单 的 对 应关系。 将模 拟 滤 波 器 系 统 函 数 展 开为并联 形式（即部分分式展开），且要求其分母的阶次大于分子的阶次。（因为只有这样才是一个稳定的模拟系统） 下面通过推导变换 关 系 完 成 数 字 滤 波 器 系 统 函 数 设 计。,3、设计公式推导,四、模拟滤波器与数字滤波器的变换关系,五、数字滤波器的频率响应,数 字 滤 波 器 的 频 率 响 应：与 抽 样 周 期T 成 反 比， 当 抽 样 频 率 很 高 时， 将 产 生 很 高 的 增 益， 为 稳 定 增 益， 令h(n)=Tha(nT) 则,六、用冲激不变法设计IIR DF 的一般流程（总结）
19、,用冲激响应不变法设计IIR 滤波器的一般流程： 1、根据设计要求，设定指标。 2、将数字滤波器性能指标变换为中间模拟滤波器的性能指标。采用:3、设计出符合要求的中间模拟滤波器的系统函数Ha(s)。 4、将Ha(s)展成部分分式的并联形式，利用式设计出H(z) 。 5、 将 H(z)乘 以 抽 样 周 期T， 完 成 数 字 滤 波 器 系 统 函 数H(z) 的 设 计。,七、冲激不变法设计IIR DF 的优缺点,（1）冲激不变法使得数字滤波器的冲激响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，也就是时域逼近良好。 （2）模拟频率和数字频率w之间呈线性关系：w=T 如：一个线性相位的模拟滤波器（例贝塞尔
20、滤波器）可以映射成一个线性相位的数字滤波器。 （3）缺点：由于有频率混叠效应，所以冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器。,八、冲激不变法应用的局限性,由于具有频率的混叠效应，所以高通和带阻滤波器不宜采用冲激不变法。因为它们高频部分不衰减，将完全混淆在低频中，从而使整个频响面目全非。 若要对高通和带阻实行冲激不变法，则必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频带。它会增加设计的复杂性和滤波器的阶数，因而只有在一定要追求频率线性关系或保持网络瞬态响应不变时才使用。 对于带通和低通滤波器，需充分限带，若阻带衰减越大，则混叠效应越小。,例子1,|Ha(j)|,w,|H(ejw)
21、|,由于模拟滤波器不是充分限带，所以数字滤波器产生很大的频谱混叠失真。,例子2,设低通DF的3dB带宽频率wc=0.2, 止带频率ws=0.4,在 w=ws处的止带衰减20lg|H(ejws)|=-15dB,试用脉冲响应不变法（冲激不变法）设计一个Butterworth低通DF。(设采样频率fs=20kHz） 解：设计分为4步。 （1）将数字滤波器的设计指标转变为模拟滤波器的设计指标。 因为：fs=20kHz,则采样间隔为T=1/fs=1/20kHz,对于冲激不变法，频率变换是线性的。,(2)设计Ha(s),x(n),0.534,1.241,-0.533,1.599,y(n),0.534,1.
22、241,-0.533,-1.001,0.306,y(n),x(n),并联型,级联型,1.333,作业,P330页第1题,第五节 阶跃响应不变法,一、变换原理,同冲激响应不变法，可使所设计的数字滤波器的单位阶跃响应g(n)等于模拟滤波器的单位阶跃响应ga(t)按周期T的等间隔采样的采样值ga(nT)。这种设计方法称为“阶跃响应不变法” 即,二、变换公式,设模拟滤波器的系统函数为Ha(s),数字滤波器的系统函数为H(z).如果其输入端作用一个阶跃函数u(n),则其输出端即为阶跃响应g(n).,两端取z变换可得：,因此有：,要满足阶跃响应不变，则有,这就是阶跃响应不变法由模拟系统函数Ha(s)映射成
23、数字系统函数H(z)的公式。,因此有：,三、特点,1.由于阶跃不变法仍由模拟滤波器求得相应数字滤波器的系统函数。因模拟滤波器的幅度响应不具有锐截止的通带特性，则利用阶跃不变变换法设计的滤波器也同样存在频响混叠问题。2.由于变换公式中存在因子1/s,因此在高频段将增加6dB/每倍频程的衰减。即对于同一模拟滤波器系统函数，阶跃响应不变法所引入的混叠误差将比脉冲响应不变法所产生的误差小。,四、应用场合,主要用于设计某些要求在时域上能模仿模拟滤波器的功能。 例如：控制冲激响应或阶跃响应的数字滤波器。 这样可把模拟滤波器时域特性的许多优点在相应的数字滤波器中保留下来。 而其它情况下设计IIR数字滤波器时
24、，多采用下节介绍的双线性变换法。,作业,P330页第2题,第六节 双线性变换法 Bilinear Transformation,引言,冲激不变法（和阶跃响应）：是使数字滤波器在时域上模仿模拟滤波器，但它的缺点：产生频率响应的混叠失真。这是由于从S平面-Z平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，我们采用双线性变换法。 它是由凯塞(Kaiser)和戈尔登(Golden)提出。,一、变换原理 1、定义,双线性变换法：是从频域出发，使DF的频率响应与AF的频率响应相似的一种变换法。,2、双线性变换法的映射关系,实现S平面与Z平面一一对应的关系。,第一次变换： 频率压缩,第二次变换：数字化,S平
25、面,S1平面,Z平面,3、双线性变换法的映射规则,双线性变换法的映射规则： （1）频率压缩：把整个S平面压缩变换到某一中介的S1平面的一条横带里。 （2）数字化：将S1平面通过标准变换关系变换到z平面。,（1）频率压缩,把整个S平面压缩变换到某一中介的S1平面的一条横带里。这个横带的宽度为：,则满足：,采用如下变换关系：,（2）数字化,将S1平面通过标准变换关系变换到z平面。,则可得到S平面z平面的单值映射关系：,以后变换只须用上面公式带入即可。实际中，为使模拟滤波器的某一频率与数字化滤波器的任一频率有对应的关系，引入常数C,（3）变换常数C的选择1,调节C，可使AF与DF在不同频率点处有对应
26、的关系。 (a)使AF与DF在低频处有较确切的对应关系。,看出：此方法优点：是在特定AF和特定DF处，频率响应是严格相等的，它可以较准确地控制截止频率的位置。,利用DF的某一特定频率(例截止频率wc)与AF的某一特定频率c严格相对应。,二、性能分析,1.解决了冲激不变法的混叠失真问题。 2.它是一种简单的代数关系。,只须将上述关系代入AF的Ha(s)中(对直接、级联、并联结构都适用)即可求出DF的H(z),设计十分方便。,4.双线性变换法不适用于设计： (1)设计线性相位的DF (2)它要求AF的幅频响应是分段常数型.(即幅度变换是线性的)。(一般低通，高通，带通，带阻型滤波器的频率响应特性都
27、是分段常数),即模拟角频率与数字角频率存在非线性关系。 所以双线性变换避免了混叠失真，却又带来了非线性的频率失真。,3.由于双线性变换中，,5.同时，看出双线性变换： (1)在零频附近，模拟角频率与数字角频率变换关系接近线性关系。 (2)又要求AF的幅频响应是分段常数型，即幅度变换是线性的 所以称之为双线性变换。 频率升高时，非线性失真严重。,6.对于分段常数型AF滤波器，经双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的DF.但在各个分段边缘的临界频率点产生畸变，这种频率的畸变，可通过频率预畸变加以校正。,1.线性相位滤波器经双线性变换成非线性相位的滤波器,一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到
28、非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位。如一个模拟微分器将不能通过双线性变换成为数字微分器。,模拟微分器,数字,2.将滤波器在临界频率点预畸变,对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘临界频率点产生了畸变。这种频率的畸变，可以通过频率的预畸变加以校正，也就是临界频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的频率。,例如：1、已知数字带通滤波器的四个截止频率(即临界频率)为:,2、如按线性变换所对应的模拟滤波器的四个截止频率分别为：,3、再进行求解模拟带通滤波器的系统函数。 4、求出后，如用双线性变换将模拟滤波器变换成为数字滤波器。,显然就
29、不等于原来给出的数字滤波器的频率要求。即现在带通的四个截止频率不等于原来的：,因此，要事先在数字滤波器指标变为模拟滤波器的指标时，将频率加以预畸变，即利用：,将以上这组数字频率：,变换成一组模拟频率：,三、设计流程,1.根据要求，设定所要设计的数字滤波器指标。 2.将各分段频率临界点预畸变。将数字滤波器的性能指标转换为中间模拟滤波器的性能指标。,3.根据中间模拟滤波器的性能指标，设计出模拟滤波器的系统函数Ha(s) 。,5.用：,4. 选定双线性变换常数C。,代入Ha(s)中，得到DF 的H(z).设计结束,例子1,试用双线性变换法设计Butterworth低通DF。 已知低通DF的3dB带宽
30、频率 ，止带起始频率 ，在 处的止带衰减解：（1）将DF的设计指标转换为模拟滤波器的设计指标。 对双线性变换法根据3dB带宽频率,例2,考虑,描述的Bessel滤波器，若采样速率fs=12kHz,设计一个数字滤波器，使它在f0=3kHz的幅度等于H(s)在=4rad/s处的幅度。,解：,1)确定C,已知数字滤波器的频率为,2)用公式：,代入,作业,P331页第3题,第七节 常用模拟低通滤波器的设计,一、为何要设计模拟低通滤波器,首先将要设计的数字滤波器的指标，转变成模拟低通原型滤波器的指标后，设计“模拟低通原型”滤波器。 模拟滤波器的设计(逼近)不属于本课程的范围，但由于没学过,在此介绍常用的
31、二种模拟低通滤波器的设计。1、Butterworth巴特渥斯滤波器 2、Chebyshev切比雪夫滤波器 它们都有严格的设计公式，现成的曲线和图表供设计，它们滤波器各有特点。,典型模拟滤波器的特点,1、Butterworth巴特渥斯滤波器 它具有单调下降的幅频特性；即最平幅度。 2、Chebyshev切比雪夫滤波器在通带或阻带等波纹，可提高选择性。 3.Bessel贝塞尔滤波器 在通带内有较好的线性相位特性。 4.Ellipse椭圆滤波器 其选择性相对前三种是最好的。,二、模拟滤波器设计思想,根据模拟滤波器设计要求，求出相应的模拟系统函数. 使其逼近某个理想滤波器的特性。(滤波器的特性包括有：
32、幅度特性、相位特性/群时延特性)，在此我们采用幅度平方函数特性来设计。,三、根据幅度平方函数确定系统函数 1、求滤波器的幅度平方函数,设 计 模 拟 滤 波 器 经 常 要 借 助 其 幅 度 平 方 函 数 其中:Ha(s)是模拟滤波器的系统函数。 假 设p1, z1为Ha(s) 的一个零点和一个极点，则-p1, -z1必为Ha(-s)的一个零点和极点，Ha(s)、Ha(-s)的零极点成象限对称分布。所以必然有如下形式：,-z1 -p1,z1 p1,2、根据幅度平方函数设计模拟滤波器的系统函数的步骤,我 们 知 道， 实 际 滤 波 器 都 是 稳 定 的， 因 此 其 极 点 一 定 位
33、于S 平 面 左 半 平 面， 这 样 可 根 据 幅 度 平 方 函 数 通 过 如 下 步 骤 分 配 零、 极 点 来 设 计 出 模 拟 滤 波 器 的 系 统 函 数 。 (1)由 来 确 定 象 限 对 称的 S 平 面 函 数。 (2)将 因 式 分 解， 得 到 各 零 点 和 极 点。 (3) 按 照 与Ha(s) 的 低 频 特 性 或 高 频 特 性 的 对 比 就 可 确 定 出 增 益 常 数。,(1)由 来 确 定 象 限 对 称的 S 平 面 函 数。,将 代入 中即得到s平面函数。,(2)将 因 式 分 解， 得 到 各 零 点 和 极 点。,将左半平面的极点归
34、于Ha(s)。 如无特殊要求，可取 的对称零点的任一半作为 Ha(s) 的零点。 如要求是最小相位延时滤波器，则应取左半平面零点作为Ha(s) 的零点。且 轴上的零点或极点都是偶次的，其中一半属于Ha(s) 。,(3) 按 照 与Ha(s) 的 低 频 特 性 或 高 频 特 性 , 确 定 出 增 益 常 数。,由 的条件，代入可求得增益常数。,例子,根据以下幅度平方函数 确定系统函数Ha(s).,四、Butterworth巴特渥斯低通滤波器 1、幅度平方函数,Butterworth 低 通 滤 波 器 具 有 通 带 最 平 幅 度逼近 特 性， 是 一 全 极 点 型 滤 波 器，且极点
35、均匀分布上c的园上，并且与虚轴对称。 其最主要特点：在通带内，幅频最平坦，随着频率的升高而单调下降。其幅 度 平 方 函 数为其 中N 为 整 数， 表 示 滤 波 器 的 阶 次，c 定 义 为 截 止 频 率， 为 振 幅 响 应 衰 减 到 - 3dB 处 的 频 率。,2、Butterworth滤波器的极点分布,由 可知Butterworth的零点全部在S=处，它是全极点型滤波器，且分布在半径为c 的圆上,呈象限对称分布。 为了得到稳定的滤波器，s左半平面的极点必须分配给Ha(s)，s右半平面的极点分配给Ha(-s)。取其分布在左平面的极点, 设计出巴特沃斯低通滤波器.,3、Butte
36、rworth的幅度响应 及极点分布,其中左半平面构成Butterworth滤波器的系统函数 极点不会落在S平面上的虚轴上,4、Butterworth滤波器阶数N与幅度响应的关系,当N增大时，滤波器的特性曲线变得陡峭，则更接近理想矩形幅度特性。,5、3dB带宽,6、Butterworth滤波器的特点（总结）,(1)当=0时， 即=0处无衰减。 (2)当=c时，,在止带内的逼近是单调变化的，不管N为多少，所有幅频特性曲线都经过-3dB点，或说衰减3dB,这就是3dB不变性。,或,通带最大衰减,(3) 在c的通带内：,前(2N-1)阶导数为零，因而Butterworth又称最平幅度特性滤波器。 随着
37、由0变到c ，|Ha(j)|2单调减小，N越大，减小越慢，也就是通带内特性越平坦。,有最大平坦的幅度特性，即N阶Butterworth低通滤波器在=0处：,(4) 在c，即在过渡带及阻带中，|Ha(j)|2 也随增加而单调减小，但是/c 1，故比通带内衰减的速度要快得多，N越大，衰减速度越大。 当=s ，即频率为阻带截止频率时，衰减为：,(5)滤波器的特性完全由其阶数N决定。N越大，则通带内在更大范围内更接近于1，在止带内迅速地接近于零，因而幅频特性更接近于理想的矩形频率特性。,2为阻带最小衰减。,7、归一化的Butterworth滤波器的系统函数,在一般设计中，都先把c 设为1rad/s，这
38、样使频率得到归一化。归一化的Butterworth滤波器的极点分布以及相应系数都有现成表可查(P266)。 即若令,8、Butterworth滤波器设计步骤,(1) 根 据 设 计 规 定， 确 定c 和N。(2) 由 确 定Ha(s)Ha(-s) 的 极 点。 (3) Sk 的 前N个值(k=1,2,.,N) ， 即 Re(Sk)0部 分 的极点，构成Ha(s).(4)常 数K0 可 由A() 和Ha(s) 的 低 频 或 高 频 特 性 对 比 确 定。,9、例子,导出Butterworth低通滤波器的系统函数，设c=1rad/s，N =3。 解：方法一：根据幅度平方函数：,方法二,方法二
39、：由于c=1rad/s,查表得,10、Butterworth滤波器的阶数N 设计公式,(1)已知c 、 s和As求Butterworth DF阶数N,（2）已知c 、 s和=p的衰减Ap 求Butterworth DF阶数N,（3）已知p 、 s和=p的衰减Ap 和As 求Butterworth DF阶数N,例子1,试设计一个模拟低通Butterworth滤波器,取N=3阶，根据N=3，查表得归一化系统函数：,例子2,设低通DF的3dB带宽频率wc=0.2, 止带频率ws=0.4,在 w=ws处的止带衰减20lg|H(ejws)|=-15dB,试用脉冲响应不变法（冲激不变法）设计一个Butte
40、rworth低通DF。(设采样频率fs=20kHz） 解：设计分为4步。 （1）将数字滤波器的设计指标转变为模拟滤波器的设计指标。 因为：fs=20kHz,则采样间隔为T=1/fs=1/20kHz,对于冲激不变法，频率变换是线性的。,(2)设计Ha(s) 将上述设计指标代入 求出N阶数,x(n),0.534,-0.533,1.241,1.599,y(n),0.534,1.241,-0.533,1.001,0.306,y(n),x(n),并联型,级联型,例子3,试用双线性变换法设计Butterworth低通DF。 已知低通DF的3dB带宽频率 ，止带起始频率 ，在 处的止带衰减解：（1）将DF的
41、设计指标转换为模拟滤波器的设计指标。 对双线性变换法 根据3dB带宽频率,1.试设计一个模拟低通Butterworth（BW）型滤波器，要求截止频率fp=5kHz,通带最大衰减Ap=3dB,阻带起始频率fs=10kHz,阻带衰减As=30dB。 2.P331页第4题,作业,五、切贝雪夫低通滤波器Chebyshev 1、引入原因,Butterworth滤波器频率特性，无论在通带与阻带都随频率而单调变化，因此如果在通带边缘满足指标，则在通带内肯定会有富裕量，也就是会超过指标的要求，因而并不经济。 更有效的方法是将指标的精度要求均匀地分布在通带内，或均匀分布在阻带内，或同时均匀在通带与阻带内，这时就
42、可设计出阶数较低的滤波器。这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来完成。,2、Chebyshev滤波器的种类,在一个频带中，通带或阻带具有这种等纹特性可分为： （1）Chebyshev I型：在通带中是等波纹的，在阻带内是单调的； （2）Chebyshev II型：在通带中是单调的，在阻带内是等波纹的； 由应用的要求，决定采用哪种型式的Chebyshev滤波器,（1）Chebyshev I型幅频特性和零极点图（N=3）,N=3Chebyshev I型 ，下面我们仅讲此类型,（2）Chebyshev II型幅频特性和零极点图（N=3）,N=3Chebyshev II型，其设计思
43、想同Chebyshev I型，在此课程中我们就不作介绍。,3、Chebyshev I型幅度平方函数,Chebyshev I型模拟滤波器的振幅平方函数为：,4、CN(x):N阶Chebyshev多项式 (1)函数,Chebyshev 多项式：,（2）Chebyshev多项式图形,0,1,-1,1,-1,x,C4(x),C5(x),CN(x),5、通带等波纹振荡,6、确定通带内波纹值,7、确定阶数N （1）N阶特性,阶数N等于通带内最大和最小值个数的总和。 可由幅频特性中看出N阶数。且当： N=奇数，则=0处有一最大值， N=偶数，则=0处有一最小值。,N=3和N=5,N=4和N=6,（2）N阶公
44、式,由止带起始点s处的关系求出Chebyshev的阶数。,8、求滤波器的系统函数Ha(s) (1)求极点-1,8、求滤波器的系统函数Ha(s) (1)求极点-2,8、求滤波器的系统函数Ha(s) (1)求极点-3,ChebyshevI型滤波器的极点，是一组分布在以bc为长轴，以ac处为短轴的椭园上的点。,9、Chebyshev I型滤波器的归一化系统函数,若N=偶数时，当s=0时，即=0。,式中，d为归一化系数。 若N=奇数时，当s=0时，即=0。,则归一化后的Chebyshev滤波器系统函数为,10、Chebyshev DF设计步骤, 首 先 要 先 确 定，N 和c 。 计 算a，b。 确
45、 定 Ha(s)Ha(-s)的 极 点。 取Re(Si)0 的 极 点， 得 到Ha(s)。d可 由 A() 和Ha(s) 低 频 或 高 频 特 性 对 比 确 定。,例1,设N=4，确定Chebyshev I型，极点位置。 解：N=4，则有8个极点，我们要求在S左半平面上为稳定系统的四个极点。,j,看出：对于N=4，只须求出一点，即可求出其它共轭。 画极点：过小园交点画垂直线；过大园交点画水平线。,由上可知，大半平面上：,第1极点：,第2极点：,第3极点：,第4极点：,(2)等间隔角 均分，各点是虚轴对称的，且一定不落在虚轴上，N为奇数时，有落在实轴上的点；N为偶数时，实轴上也没有。 (3
46、)幅度平方函数的极点(在椭园上)的位置确定： 其垂直坐标由落在大园上的各等间隔点规定；其水平坐标由落在小园上的各等间隔点规定,由上图可知，确定Chebyshev I型滤波器极点在椭园上的位置办法： (1)先求出大园(半径为bc)和小园半径ac。,例2,试导出2阶Chebyshev I型DF 系统函数(已知通带波纹为 ,归一化频率为c=1rad/s。,例3,设Chebyshev模拟滤波器的技术指标 c=22kHz, s=24kHz,在=s处的衰减小于-15dB,通带波动参数，2 =0.2，求其阶数。,作业,设计一个Chebyshev(CB)型模拟低通滤波器。其指标为：,P331页，第6题,六、椭
47、 圆 (Ellipse) 低 通 滤 波 器,椭 圆 低 通 滤 波 器 是 一 种 零、 极 点 型 滤 波 器， 它 在 有 限 频 率 范 围 内 存 在 传 输 零 点 和 极 点。椭 圆 低 通 滤 波 器 的 通 带 和 阻 带 都 具 有 等 波 纹 特 性，因 此 通 带，阻 带 逼近 特 性 良 好。 对 于 同 样 的 性 能 要 求， 它 比 前 两 种 滤 波 器 所 需 用 的 阶 数 都 低， 而 且 它 的 过 渡 带 比 较 窄。,1、 幅 度 平 方 函 数,其 中 是 雅 可 比(Jacobi) 椭 圆 函 数， 为 与 通 带 衰 减 有 关 的 参 数。,2、 幅 度 特 性,3、特点,从上看出：椭园滤波器即有极点也有零点，由于误差均匀分布在通带和 阻带内。 与Butterworth和Chebyshev两种滤波器相比，在同样误差指标下，阶数最小。即同样阶数N下，通带到阻带变化最陡峭，看出它是最优秀滤波器。 在给出同样通点平滑度，瞬变带宽和阻带衰减指标下，三种滤波器所需的阶数: Butterworth 6阶，Chebyshev 4阶 椭园 3阶,七、其它滤波器,
