1、孙子定理 The Chinese Remainder Theorem韩信点兵韩信带贰仟伍佰士兵出去打仗，回营后，刘邦问 士兵人数。韩信让士兵先列成五行纵队，末行一人； 列成六行纵队，末行五人；列成七行纵队，末行四人 ；列成十一行纵队，末行十人。韩信立刻回答二千一 百一十一人。刘邦惊为天人！ 从“韩信点兵”谈起物不知数问题 孙子算经孙武 公元前551-前479物不知数问题的解 v v 公式表示： 140+63+30=233 233-210=23关键参数 ：70 21 15 v v v vmod3同余 mod5同余 mod7同余 70 1 0 0 关键参数分析 x 2(mod3); x 3(mod
2、5); x 2(mod7) 21 15 0 1 0 0 0 1mod3同余 mod5同余 mod7同余 702=140 2 0 0 问题求解 因为3,5,7=105, 任意105的倍数都被3,5,7整除，故 233+105 n 均是答案 233 2+0+0=2 0+0+2=2 0+3+0=3 213=63 0 3 0 152=30 0 0 2孙子定理 设m 1 ,m 2 ,m k 是 k 个两两互素的正整数，m= m 1 m 2 m k , M i =m/ m i (i=1,k ),则同余方程组 x b 1 (mod m 1 ); x b 2 (mod m 2 ); ; x b k (mod
3、m k ) 有唯一解 x M 1 N 1 b 1 + M 2 N 2 b 2 + M k N kb k (mod m) 其中M i N i 1(mod m i ) (i=1,k)。 孙子定理 N 1 N 2 N k证明：因为(m i ,m j )=1,i j,则 (M i , m i )=1,对每个M i ，都存在N i ,使得 M i N i1(mod m i ) 又m=m i M i ,故m j |M i , i j,即 M i N i 0(mod m j ) 则M 1 N 1 b 1 + M 2 N 2 b 2 + M k N kb k b i (mod m i ).因此xM 1 N 1
4、 b 1 + M 2 N 2 b 2 + M k N kb k (mod m)是同余方程的整数解。 孙子定理的证明 如果y也是上述同余方程的解，则满足 x y(mod m 1 ); x y(mod m 2 ); ; x y(mod m k ) 即m 1 |(x-y), m 2 |(x-y), m k |(x-y).所以 m|(x-y) 即x y(mod m). 即证方程在模m条件下有唯一解。 唯一性证明解：应用孙子定理 m 1 =5, m 2 =6, m 3 =7, m 4 =11; b 1 =1, b 2 =5, b 3 =4, b 4 =10; m=5 6711=2310; “韩信点兵”问
5、题的求解 解一次同余方程组 x 1(mod5); x 5(mod6); x 4(mod7); x 10(mod11) M 1 =462, M 2 =385, M 3 =330, M 4 =210; N 1 =3, N 2 =1, N 3 =1, N 4 =1; x 4623+ 385 5+ 330 4+210 10 6731 2111(mod2310) 南宋秦九韶对“物不知数”问题进行推广，得到求解一次同 余方程组的一般方法，定名“大衍求一术”。 欧拉和高斯在研究一次同余式问题时，得到与秦九韶“大 衍求一术”相同的定理，因此被国外学者称为“中国剩余定 理”。 近世代数的发展赋予中国剩余定理更崭新的生命，不仅可 以解决整数同余问题，还可以推广到一般交换环中。 孙子定理的推广中国剩余定理 谢 谢谢 谢 ！ ！
