概率论与数理统计 公式(全).doc

1、概率论与数理统计 公式（全）2012-6-11第 1 章 随机事件及其概率（1）排列组合公式从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。)!(nPnm从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能)!(Cnm数。（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排

2、列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母

3、A， B， C， 表示事件，它们是 的子集。为必然事件， 为不可能事件。不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算关系：如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， （ A 发生必有事件 B 发生）： 如果同时有 ， ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B： A=B。概率论与数理统计 公式（全）2012-6-11A、 B 中至少有一个发生的事件： A B，或者 A+B。属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表示为

4、A-AB 或者 ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。A、 B 同时发生： AB，或者 AB。A B=，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)德摩根率： 1iiA，BBA（7）概率的公理化定义设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1， 2 P() =

5、13 对于两两互不相容的事件 1， 2，有11)(iii AP常称为可列（完全）可加性。则称 P(A)为事件 A的概率。（8）古典概型1 ，n21,2 。PPn)()()设任一事件 ，它是由 组成的，则有m21,P(A)= =21 )()(1mnm基 本 事 件 总 数所 包 含 的 基 本 事 件 数A（9）几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，概率论与数理统计 公式（全）2012-6-11。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。)(AP（10）加法公式P(A

6、+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A= 时，P( )=1- P(B)（12）条件概率定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称 为事件 A)(PB发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为 。/)(条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式： )/()(APA更一般地，对事件 A1，A 2，A n，若 P(A1A2An-1)0，则有21P n

7、 )|(|32|(n )。（14）独立性两个事件的独立性设事件 、 B满足 )(BP，则称事件 、是相互独立的。若事件 A、 相互独立，且 0A，则有 )()()(|(P若事件 、 B相互独立，则可得到 与 B、 与 、与 也都相互独立。必然事件 和不可能事件 与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。（15）全概公式设事件 n,21 满足1

8、两两互不相容， ),21(0)niBPi，2ni1，则有 )|()|()|()( 221 nnBAPAAPB。概率论与数理统计 公式（全）2012-6-11（16）贝叶斯公式设事件 1B， 2， n及 A满足1 1B， 2， n两两互不相容，)(iP0， 1，2， ，2 niA， 0)(P，则，i=1，2，n。nj jjiii BAB1)/()/(此公式即为贝叶斯公式。， （ i， 2， ） ，通常叫先验概率。)(iP， （ ， ， n） ，通常称为后验概率。贝叶斯/A公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型我们作了 n次试验，且满足 每次试验只有两种可能结

9、果， A发生或 不发生； 次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为 n重伯努利试验。用 p表示每次试验 发生的概率，则 A发生的概率为 qp1，用 )(kPn表示 重伯努利试验中 出现 )0(nk次的概率，knknqpC)(， ,210。第二章 随机变量及其分布（1）离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量 X的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=X k)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布

10、列的形式给出： ,|)(21kkpxxP。显然分布律应满足下列条件：（1） 0kp， ,， （2）1kp。概率论与数理统计 公式（全）2012-6-11（2）连续型随机变量的分布密度 设 )(xF是随机变量 X的分布函数，若存在非负函数 )(xf，对任意实数 x，有df， 则称 为连续型随机变量。 )(xf称为 X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质：1 0)(xf。2 1d。（3）离散与连续型随机变量的关系 dxfxXP)()( 积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 kpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。xf（4）分布函数 设 为随机变量

11、， 是任意实数，则函数)()XPF称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。可以得到 X 落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（ ，x内的概率。)()(aFba ,(ba)(xF分布函数具有如下性质：1 ；,1)(0xx2 是单调不减的函数，即 时，有 ；F21)(1xF23 ， ；0)(lim)(xx lim)(x4 ，即 是右连续的；0F5 。)0()(xxXP对于离散型随机变量， ；xkp对于连续型随机变量， 。dfF)()(（5）八大分布 0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q概率论与数理统计 公式（全）2012-6-11二项分布在 重贝努里试验中，设事件

12、 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。nApAXn,210， 其中 ，knknqpCPkX)( nkq,210,0,1则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。)(pBX当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。1k1)(.泊松分布设随机变量 的分布律为X， ， ，ekP!)(02,k则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者 P( )。)(X泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n） 。超几何分布),min(210,)( MllkCkXPnNkM随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N

13、,M)。几何分布，其中 p0，q=1-p。,321,)(kpq随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。均匀分布设随机变量 的值只落在a，b内，其密度函数 )(xf在 a，b上为常数 ，即ab1其他，,01)(abxf则称随机变量 X在a，b上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。分布函数为xdfF)()(当 ax 1b。axb概率论与数理统计 公式（全）2012-6-11指数分布其中 0，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。X 的分布函数为记住积分公式： !0ndxen正态分布设随机变量 X的密度函数为， x，2)(1)(xexf其中 、 0为常数，则称随机变量 X服从参

14、数为 、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 ),(2NX。)(f具有如下性质：1 x的图形是关于 x对称的；2 当 时， 为最大值；21)(f若 ,(2NX，则 X的分布函数为dtexFxt21)。 。参数 0、 1时的正态分布称为标准正态分布，记为 )1,0(NX，其密度函数记为2)(xex， ，分布函数为。xtde21)(是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x)1-(x)且 (0) 。1如果 ，则 。X),(2NX),0(N。 11 xxxP)(xf,xe 0,0, ,)(xF,1xe0,0xx1时，有 F（x 2,y）F(x 1,y);当 y2y1时，有 F(x,y

15、2) F(x,y 1);（3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即 );0,(),(,0(),( yxFyxFy（4） .1),(,0),(),(),( Fx（5）对于 ， 2121yx.)()()()( 1212 yxxFyF，（4）离散型与连续型的关系dxyfdYdXPYxXP )(， 概率论与数理统计 公式（全）2012-6-11离散型 X 的边缘分布为；),21,()( jipxPjiiY 的边缘分布为。),()( jiyijj（5）边缘分布连续型 X 的边缘分布密度为 ；dxff),()(Y 的边缘分布密度为 .),()(yfyf离散型 在已知 X=xi的条件下，Y 取值的

16、条件分布为 ；ijijpxXP)|(在已知 Y=yj的条件下，X 取值的条件分布为 ,)|(jijiyYx（6）条件分布连续型 在已知 Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为；)(,)|(yfxfY在已知 X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为)(,)|(xfyfX一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型 jiijp有零不独立连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形（7）独立性二维正态分布 ,12),( 2212122 )()( yxxeyxf0概率论与数理统计 公式（全）2012-6-11随机变量的函数 若 X1,X2,Xm,Xm+

17、1,Xn相互独立， h,g 为连续函数，则：h（X 1，X 2,Xm）和 g（X m+1,Xn）相互独立。特例：若 X 与 Y 独立，则：h（X）和 g（Y）独立。例如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1 和 5Y-2 独立。（8）二维均匀分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 其 他,0),(1),(DyxSyxfD其中 SD为区域 D 的面积，则称（X，Y）服从 D 上的均匀分布，记为（X，Y）U（D） 。例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。y1D1O 1 x图 3.1y1O 2 x图 3.2ydcO a b x图 3.3D21D3概率论与数理统计 公式（全）2012-6-11（9

18、）二维正态分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 ,12),( 2212122 )()(2 yxxeyxf其中 是 5 个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，|,0,1记为（X，Y）N（ ).,21,由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 XN（ ).(),2,21NY但是若 XN（ ，(X，Y)未必是二维正态分布。2,Z=X+Y 根据定义计算： )()()zYXPzZzFZ 对于连续型，f Z(z) dxf,两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ） 。2121,n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。， iiCiiC22（10）函数分布Z=m

19、ax,min(X1,X2,Xn) 若 相互独立，其分布函数分别为 ，则 Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函数为：nX21, )()(21 xFxFn，)()()(21max xFFnxx)(121in xnx概率论与数理统计 公式（全）2012-6-11分布2设 n 个随机变量 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和nX,21 niiXW12的分布密度为 .0,0,2)(21uenuf u我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的 分布，记为 W ，其中2)(2.012dxenn所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。分布满足可加性：设2

20、),(2iinY则 ).(2112kkiZt 分布 设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且 ),(),0(2nYNX可以证明函数 T/的概率密度为 2121)(ntntf).(t我们称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 Tt(n)。)()(1ntt概率论与数理统计 公式（全）2012-6-11F 分布设 ，且 X 与 Y 独立，可以证明 的概率密度函数为)(),(212nYX21/nYXF0, 0,12)( 22112 1yynnyf nn我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为 n2的 F 分布，记为 Ff(n 1, n2).),(1),(221nn第四

21、章 随机变量的数字特征离散型 连续型期望期望就是平均值设 X 是离散型随机变量，其分布律为 P( )kxp k，k=1,2,n，nkpE1)(（要求绝对收敛）设 X 是连续型随机变量，其概率密度为 f(x)，dxfE)()(（要求绝对收敛）函数的期望 Y=g(X) nkkpxgYE1)()(Y=g(X) dxfgYE)()(（1）一维随机变量的数字特征方差D(X)=EX-E(X)2，标准差， )()(XDkkpXxXD2)()( xfXxD)()(2概率论与数理统计 公式（全）2012-6-11矩 对于正整数 k，称随机变量X 的 k 次幂的数学期望为 X 的k 阶原点矩，记为 vk,即 k=

22、E(Xk)= , k=1,2, iipx.对于正整数 k，称随机变量X 与 E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶中心矩，记为，即k.)(k= ， i ikpXEx(k=1,2, .对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为 vk,即 k=E(Xk)=,)(dxfk=1,2, .对于正整数 k，称随机变量 X 与 E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶中心矩，记为 ，即k.)(kEX=,)(dxfxkk=1,2, .切比雪夫不等式 设随机变量 X 具有数学期望 E（X）=，方差 D（X）= 2，则对于任意正数 ，有下列切比雪夫不

23、等式2)(P切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概率 )(XP的一种估计，它在理论上有重要意义。（2）期望的性质（1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)， niniiiXECE11)()(（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X 和 Y 不相关。（3）方差的性质（1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（4） D(X)=E(X2)-E2(X)（5） D(XY)=D(X)+

24、D(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X 和 Y 不相关。D(XY)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。（4期望 方差概率论与数理统计 公式（全）2012-6-110-1 分布 ),1(pBp )1(p二项分布 nnp n泊松分布 )(P 几何分布 pGp1 21p超几何分布 ),(NMnHNnM 1NnMn均匀分布 ),(baU2ba 2)(ab指数分布 e1 1正态分布 ),(2N 2分 布2n 2n）常见分布的期望和方差t 分布 0 (n2)2n期望 niipxXE1)(njjyY1)( dxfX

25、EX)()(yfYY)()(函数的期望 ,XGEijijipyx)( ,XGE dxyfyx),(,（5）二维随机变量的数字特征方差 i iXExXD2)()(j jpYYfXED)()(2dyfYy)()(2概率论与数理统计 公式（全）2012-6-11协方差 对于随机变量 X 与 Y，称它们的二阶混合中心矩 为 X 与 Y 的协方差或相关矩，记为 ，即1 ),cov(YXXY或).()(1 YEEXY 与记号 相对应，X 与 Y 的方差 D（X）与 D（Y）也可分别记为 与 。XY相关系数 对于随机变量 X 与 Y，如果 D（X）0, D(Y)0，则称 )(DY为 X 与 Y 的相关系数，

26、记作 （有时可简记为 ） 。XY| |1，当| |=1 时，称 X 与 Y 完全相关： 1)(baYXP完全相关 ，时负 相 关 ， 当 ，时正 相 关 ， 当 )0(1a而当 时，称 X 与 Y 不相关。0以下五个命题是等价的： ；XYcov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵 YX混合矩 对于随机变量 X 与 Y，如果有 存在，则称之为 X 与 Y 的 k+l 阶混合原点矩，记为 ； k+l 阶混合中心矩记为：)(lkYXE kl.)()(lkkl YEXEu（6）协方差的性质(i) cov (X, Y

27、)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).概率论与数理统计 公式（全）2012-6-11（7）独立和不相关（i） 若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 ；反之不真。0XY（ii） 若（X，Y）N（ ） ，,212则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关。第五章 大数定律和中心极限定理切比雪夫大数定律设随机变量 X1，X 2，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C 所界：D（ Xi）C(i=1,2,),

28、则对于任意的正数 ，有 .1)(1lmniiniin XEP特殊情形：若 X1，X 2，具有相同的数学期望 E（X I）=，则上式成为 .li1niin伯努利大数定律设 是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数 ，有 .1limnP伯努利大数定律说明，当试验次数 n 很大时，事件 A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即 .0lipn这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。（1）大数定律 X辛钦大数定律设 X1，X 2，X n，是相互独立同分布的随机变量序列，且E（X n）=，则对于任意的正数 有.1lim1iiP概率论与数理统计

29、 公式（全）2012-6-11列维林德伯格定理设随机变量 X1，X 2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差： ，),21(0)(,)(2kXDEkk则随机变量 nYnk1的分布函数 Fn(x)对任意的实数 x，有 xtnknn deXP.21lim)(li 21此定理也称为独立同分布的中心极限定理。（2）中心极限定理 ),(2NX棣莫弗拉普拉斯定理设随机变量 为具有参数 n, p(0p1)的二项分布，则对于任意nX实数 x,有 xtnn depP.21)1(lim2（3）二项定理若当 ，则),(,不 变时 knpNMknknnkC1).(N超几何分布的极限分布为二项分布。（4）

30、泊松定理若当 ，则0,p时 ekCnkn!)1( ).(n其中 k=0，1，2，n，。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章 样本及抽样分布（1）总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体） 。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量） 。概率论与数理统计 公式（全）2012-6-11个体总体中的每一个单元称为样品（或个体） 。样本 我们把从总体中抽取的部分样品 称为样本。样本中所含nx,21的样品数称为样本容量，一般用 n 表示。在一般情况下，总是把样本看成是 n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽

31、取的结果时， 表示nx,21n 个随机变量（样本） ；在具体的一次抽取之后， 表示 n个具体的数值（样本值） 。我们称之为样本的两重性。数理统计的基本概念样本函数和统计量设 为总体的一个样本，称nx,21（ ）nx,21为样本函数，其中 为一个连续函数。如果 中不包含任何未知参数，则称 （ ）为一个统计量。nx,21概率论与数理统计 公式（全）2012-6-11常见统计量及其性质样本均值 .1nix样本方差 niixS122 .)(样本标准差 .)(12niix样本 k 阶原点矩 nikkxM1.,2,样本 k 阶中心矩 nikikx1.,3,)(， ，)(XEnD2)(， ,2S221*S其

32、中 ，为二阶中心矩。niiX122)(正态分布设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数nx,21 ),(2N).1,0(/udeft 分布 设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数nx,21 ),(2,1/ntsxtdef其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。（2）正态总体下的四大分布 分 布2设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数nx,21 ),(2N,1)122nSwdef 其中 表示自由度为 n-1 的 分布。)1(2n概率论与数理统计 公式（全）2012-6-11F分布设 为来自正态总体 的一个样本，而nx,21 ),(21N为来自正态总体 的一个样本，则样本函

33、数y 2),1,(/2121nFSdef其中 ,)(1221niixS ;)(1222niiyS表示第一自由度为 ，第二自由度为 的 F),(21nF1n12分布。（3）正态总体下分布的性质与 独立。X2S第七章 参数估计概率论与数理统计 公式（全）2012-6-11（1）点估计矩估计设总体 X 的分布中包含有未知数 ，则其分布函数可以表成m,21它的 k 阶原点矩 中也).,;(21mxF ),21)(kXEvk包含了未知参数 ，即 。又设,21 ,1m为总体 X 的 n 个样本值，其样本的 k 阶原点矩为nx,21 ikx1).,2(这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样

34、本矩”的原则建立方程，即有 nimmmnimnixvxv1211221121 .),(,),(,),( 由上面的 m 个方程中，解出的 m 个未知参数 即为参数（),(2）的矩估计量。,21若 为 的矩估计， 为连续函数，则 为 的矩估计。)(xg)(g概率论与数理统计 公式（全）2012-6-11极大似然估计当总体 X 为连续型随机变量时，设其分布密度为，其中 为未知参数。又设),;(21mxf m,21为总体的一个样本，称n2 ),;(),(111 22ni mimxfL为样本的似然函数，简记为 Ln.当总体 X 为离型随机变量时，设其分布律为，则称),;(21mxpP ),;(,;, 1

35、111 222 ni min xpL 为样本的似然函数。若似然函数 在 处取到),;,(2211mnx m,21最大值，则称 分别为 的最大似然估计值，相m,2 2应的统计量称为最大似然估计量。 iLiin,1,0l若 为 的极大似然估计， 为单调函数，则 为 的极大)(xg)(g似然估计。无偏性设 为未知参数 的估计量。若 E （ ）= ，则称 ),(21nx为 的无偏估计量。E（ ）=E（X） ， E（S 2）=D（X）（2）估计量的评选标准有效性设 和 是未知参数 的),(211nx ),(21nx两个无偏估计量。若 ，则称 有效。)(21D比概率论与数理统计 公式（全）2012-6-1

36、1一致性设 是 的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有n ,0)|(|limnnP则称 为 的一致估计量（或相合估计量） 。n若 为 的无偏估计，且 则 为 的一致估计。),(0)nD只要总体的 E(X)和 D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。置信区间和置信度设总体 X 含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本 出nx,21发，找出两个统计量 与),(211nx)(2，使得区间 以 的概率包含这个待估参)(210数 ，即 ,121P那么称区间 为 的置信区间， 为该区间的置信度（或置信,21水平） 。设 为总体 的一个样本，在置信度为nx,21 ),(2NX下

37、，我们来确定 的置信区间 。具体步骤如下：和 ,21（i）选择样本函数；（ii）由置信度 ，查表找分位数；1（iii）导出置信区间 。,2（3）区间估计 单正态总体的期望和方差的区间估计已知方差，估计均值（i）选择样本函数 ).1,0(/0Nnxu(ii) 查表找分位数 ./0xP（iii）导出置信区间 nx00,概率论与数理统计 公式（全）2012-6-11未知方差，估计均值（i）选择样本函数 ).1(/ntSxt(ii)查表找分位数 ./nxP（iii）导出置信区间 nSx,方差的区间估计（i）选择样本函数 ).1()1(22Snw（ii）查表找分位数 .)(221 P（iii）导出 的置

38、信区间Sn12,第八章 假设检验基本思想假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。为了检验一个假设 H0是否成立。我们先假定 H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定 H0是不正确的，我们拒绝接受 H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受 H0，我们称 H0是相容的。与 H0相对的假设称为备择假设，用 H1表示。这里所说的小概率事件就是事件 ，其概率就是检验水平 ，通RK常我们取 =0.05，有时也取 0.01 或 0.10。概率论与数理统计 公式（全）2012-6-11基本步骤假设检验的基本步骤如下

39、：(i) 提出零假设 H0； (ii) 选择统计量 K；(iii) 对于检验水平 查表找分位数 ；(iv) 由样本值 计算统计量之值 K；nx,21将 进行比较，作出判断：当 时否定 H0，否则认为与K)(|或H0相容。第一类错误当 H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定 H0。这时，我们把客观上 H0成立判为 H0为不成立（即否定了真实的假设） ，称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记 为犯此类错误的概率，即P否定 H0|H0为真= ；此处的 恰好为检验水平。第二类错误当 H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受 H0。这时，

40、我们把客观上 H0。不成立判为 H0成立（即接受了不真实的假设） ，称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记 为犯此类错误的概率，即P接受 H0|H1为真= 。两类错误两类错误的关系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量 n 一定时， 变小，则 变大；相反地， 变小，则 变大。取定 要想使 变小，则必须增加样本容量。在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平 。 大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真” 、而不愿“以真当假”时，则应把 取得很小，如0.01，甚至 0.001。反之，则应把 取得大些。单正态总体均值和方差的假设检验条件 零假设 统计量对应样本函数分布 否定域00:H 21|u已知 200:nxU/0N（0，1） 1u未知 HnSxT/0)(t)(|2nt概率论与数理统计 公式（全）2012-6-1100:H )1(nt2 20: )1(2nw或200:H 1未知 220)1(Snw)1(2n )(2n