随机变量及分布.ppt

1、第2章 随机变量及分布,第2.1节 描述统计,第2.2节 随即变量及其分布,第2.3节 随机变量的期望,第2.4节 随机变量的方差,品质数据的分类整理：,数量数据分组：,组距分组：,单变量分组：,条形图、,饼图,直方图、,折线图,组数：,组距：,排序计数,频率与直方图,分组的原则：穷尽原则，互斥原则,例：某商店连续40天的商品销售额（单位：万元）如下：,根据上面的数据进行适当分组，编制频数 分布表，并画出直方图。,41 25 29 47 38 34 30 38 43 40 46 36 45 37 37 36 45 43 33 4442 28 46 34 30 37 44 26 38 4442

2、36 37 37 49 39 42 32 36 35,数据分布特征的测度,1、,分布的集中趋势：,(1)众数：,出现频率最高的值，,用,记之。,算法(1),例,1,2,4,4,5,6,则,1,2,3,3,4,5,6,6,7,则,算法(2),其中,L为众数组的下限值，,d为众数组的组距，,f为众数组的频数，,分别为众数前，后一组的频数,(2)中位数：,中间位置的数，,用,记之。,算法(1),例,1,2,3,4,5,6,7,则,1,2,3,4,5,6,则,算法(2),其中,L为中位数所在组的下限值；,d为中位数所在组的组距。,为中位数所在组以前各组的累计频数；,为中位数所在组的频数；,例,求,解：

3、,(3)四分位数：,例:,说明为,说明为,2、,分布的离散程度：,(1),(2),平均离差,平均离差（组距分组）,(3),方差,（组距分组）,(4),（组距分组）,标准差,(4)均值：,1)简单平均,2)加权平均,3)调和平均,4)加权调和平均,5)几何平均,其中,众数、中位数、均值的比较,对称分布,左偏分布,右偏分布,2、,分布的离散程度：,(1),(2),平均离差,样本方差,(3),样本标准差,（4）极差,例：求1,2,3,4,5的样本均值，样本方差。,解：,一、随机变量(random variables)概念,记为,是一个随机事件。,第2.1节 离散型随机变量及其分布,例如 (1)随机地

4、掷一颗骰子，表示所有的样本点,: 出现1点 出现2点 出现3点 出现4点 出现5点 出现6点,X(): 1 2 3 4 5 6,(2)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为止，表示射击次数，则, 射击1次 射击2次 射击n次 ,X() 1 2 n ,(3) 某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意时间到达车站,表示该旅客的候车时间, 候车时间,X() 0, 10,1.随机变量,(2)掷一枚硬币，表示正反面，则,X(): 1 0,特别,离散型,连续型,定义 设E为随机试验,它的样本空间记为=,如果对于每一个都有实数X()与之对应,则称这个定义在上的实单值函数X()为随机变量. 随机变

5、量一般用X,Y,Z,或,等表示.,取值为有限个和至多可列个的随机变量.,可以取区间内一切值的随机变量.,例如 S=R2中,其中R为测量中的随机变量,S为随机变量R的函数.,此外,若X是一个随机变量,则以X为自变量的函数Y=f(X)称为随机变量X的函数.随机变量函数也是随机变量.,随机变量的分布函数,定义 设X是任意一个随机变量,称函数F(x)=P(Xx), x为随机变量X的分布函数.,(1) 0F(x)1, x,(2)F(x)是x的单调不减函数;(3),(4)F(x)在每一点处均是右连续的,即:F(x+0)=F(x),1. 分布函数,性质,2.离散型随机变量的概率分布,定义 设随机变量X的一切

6、可能取值为x1,x2,.,xn,.,且pn=P(X=xn),n=1,2,.,称此公式为X的概率分布或分布列.,或者,性质 (1)pn0,n=1,2,. ； (2)p1+p2+.+pn+=1；计算 对ab 有 P(aXb)=,例如 在掷一颗骰子的试验中,X表示出现的点数,则,X的概率分布为,设A表示出现奇数点,则P(A)=P(x=1)+P(x=3)+P(x=5)=1/3,注意,离散型随机变量的概率分布分以下几步来求:(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率.(3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）.,例1 袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放回

7、,直到取得黑球为至。记X为取到白球的数目,Y为抽取次数，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。,解 (1)X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=5/8, P(X=1)=(35)/(87)=15/56,类似有 P(X=2)=(325)/(8 7 6)=5/56, P(X=3)=1/56, 所以,X的概率分布为,(2) Y的可能取值为1,2,3,4,P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, 类似有P(Y=3)=P(X=2)=5/56, P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以Y的概率分布为,(3) P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56,例如 设某厂生

8、产某产品的规定尺寸为25.40cm,已知某批产品的最小尺寸为25.20cm,最大尺寸为25.60cm.现从这批产品中任取100件,得到100个测量值.计算得如下数据表:,3. 连续型随机变量的概率密度函数,建立频率柱形图如下:,当n无限增大,组距无限减小时,频率分布直方图就会无限接近一条光滑曲线,此即为随机变量X的概率密度曲线,以该曲线为图形的函数称为X的概率密度函数.记为Xf(x).,f(x)0, x;,显然,连续型随机变量的概率密度曲线具有以下性质,例2 设随机变量X,求(1)A;(2)P(-1/2X1/2); (3)P(-3X2),解 (1),即,所以 A=1/,A=1,(2)P(-1/

9、2X1/2)=,=1/(/6+/6)=1/3,(3)P(-3X2)=,=1,例3 设连续型随机变量X满足,解 密度函数曲线如图,S1,S2=2/3,表示k点右侧的面积值.,由f(x)的几何意义知,又由S2=2/3可知,随机变量的分布函数,定义 设X是任意一个随机变量,称函数F(x)=P(Xx), x为随机变量X的分布函数.,(1) 0F(x)1, x,(2)F(x)是x的单调不减函数;(3),(4)F(x)在每一点处均是右连续的,即:F(x+0)=F(x),1. 分布函数,性质,(1) F(x)=,(3) 对任意ab有P(aXb)=P(Xb)-P(Xa)=F(b)-F(a); P(a Xb)=

10、P(Xb)-P(Xa)=F(b-0)-F(a-0);P(Xa)=F(a-0);P(Xa)=1-P(Xa)=1-F(a-0).,对于离散型随机变量X的分布函数有,对于连续型随机变量X的分布函数有,(1),(3) F(x)是(-,+)上的连续函数;(4) P(X=x)=F(x)-F(x-0)=0;,(2) f(x)=,(5) 对任意aa) =1-P(Xa)=1-F(a).,例4 设随机变量X服从参数为0.7的0-1分布,即:,求X的分布函数.,解 (1) 当x0时,F(x)=P(Xx)=,=0,(2)当0x1时,F(x)=P(Xx)=,=P(X=0)=0.3,(3)当1x时,F(x)=P(Xx)=

11、,=P(X=0)+P(X=1)=1,分布函数图形如下,x,F(x),1,1,0.3,0,所以,对应概率值为 P 0.4 0.4 0.2,(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间;(2) 图形上表现为阶梯形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的对应概率值.,例5 设X的分布函数为,求X的概率分布.,解 X的取值为 X 0 1 2,由此可见,例6 设连续型随机变量X的分布函数为,求:(1)A; (2)P(0.3X0.7);(3)X的概率密度f(x).,解 (1)F(x)在x=1点连续,由左连续性得:,即:,所以,A=1,(2) P(0.

12、3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)=,0.72-0.32=0.4,(3) f(x)=,=,0 x0 2x 0x1 0 1x,即:,例7 设连续型随机变量X的分布函数为,求:(1)A,B; (2)P(-1X1); (3)X的概率密度f(x).,例8 设随机变量X,求(1)A;(2)P(-1/2X1/2); (3)F(x),例9 某试验出现“成功”的概率为p(0p1),出现“失败”的概率为1-p，现进行一次试验,求成功次数的概率分布.,解 设随机变量X表示成功次数, 则X=0表示试验出现“失败”,X=1表示试验出现“成功”P(X=1)=p, P(X=0)=1-p,所以,X的概率分布为:,两点

13、分布,注 两点分布用于描述只有两种对立结果的随机试验.,常见的离散型随机变量的概率分布,(1) 两点分布(0-1分布),注 二项分布的试验背景是n重Bernoulli试验模型;其中n是试验独立重复的次数,p是每一次基本试验“成功”的概率.随机变量X指n次试验中“成功”出现的次数.,例如 一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件,取得不合格品件数为X,则,(2) 二项分布 若随机变量X的概率分布为,XB(4,0.2),例10 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击中目标的概率是0.6,求：概率最大的击中目标次数.,解 击中目标次数可能取值为0,1,2,3,4,5,设Bi(i=0

14、,1,5)表示击中目标i次,事件Ai表示第i次射中,(i=1,2,.,5),则Ai (i=1,2,.,5)相互独立,P(B0)=,=(1-0.6)5,=0.45,P(B1)=,=50.6(1-0.6)4,即,(i=0,1,2,3,4,5),类推得,P(B3),P(B4),P(B5),P(B2),易计算：概率最大的击中目标次数为3.,一般地：设射击次数为n，每次射击击中目标的概率为p，则：当（n+1）p为整数时，概率最大的击中目标次数为(n+1)p和(n+1)p-1;当（n+1）p不为整数时，概率最大的击中目标次数为(n+1)p的整数部分.,例11 同时掷四颗均匀的骰子,试计算:(1) 恰有一颗

15、是6点的概率;(2) 至少有一颗是6点的概率.,解 这是一个4重贝努里试验,掷每一颗骰子就是一个基本试验.,每次基本试验中6点出现的概率是1/6,所以,(1) 恰有一颗是6点的概率为,(2) 至少有一颗是6点的概率为,巴斯卡概率公式 在n重贝努里试验中,如果第r次“成功” 出现在第n 次试验中,则,几何概率公式 在n重贝努里试验中,如果第1次“成功” 出现在第n 次试验中,则,(3) 泊松分布,定义 若随机变量X的概率分布为,则称X服从参数为(0)的Possion分布,记为XP().,可以证明 当n很大, p很小,= np 是一个不太大的常数时,可以用泊松分布作为二项分布的近似.即,4.1节,

16、例12 在一部篇幅很大的书籍中，发现只有 13.5%的页数没有印刷错误，如果我们假定每页 的错字数是服从 Poisson 分布的，求正好有一个 错字的页数的百分比.,解 设 为每页的错字个数，由已知得,又已知,例13 某车间有5台同类型的机床,每台机床配备的电动机功率为10千瓦.每台机床工作时平均每小时实际开动 20分钟,且每台开动与否相互独立.因电力供应紧张,电力部门仅提供30千瓦的电力给这5台机床.问5台机床正常工作的概率有多大?,解 设A为“机床实际在开动”,X为“同时开动的机床数”,则,P(A)=1/3,XB(n,p),其中n=5,p=1/3,所求概率为,P(X3),=1-P(X=4)

17、-P(X=5),0.95,或P(X3),解 1月1日公司收入 (元),设一年中死亡人数为 （人），则,例14 在保险公司里有2500个同一年龄和同社会 阶层的人参加了人寿保险。在一年里每个人死亡的概 率为0.002，每个参加保险的人在 1月1日付 12 元保险 费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元，问下 列事件的概率各为多少？(1)保险公司亏本(2)保险公司获利不少于10000元(3)保险公司获利不少于20000元,(2)保险公司获利不少于10000元 =,(3)保险公司获利不少于20000元 =,例15 设一试验成功的概率为p(0p1),接连重复进行试验,直到首次成功出现为止,求试验

18、次数的概率分布.,解 设X表示试验次数,X取值为1,2,.,n,.,P(X=1)=p, P(X=2)=(1-p)p, ., P(X=n)=(1-p)n-1p,.,记 q=1-p, 则X的概率分布为:,几何分布,P(X=n)=qn-1p, (n=1,2,.),例16 一批产品共100只，其中有10只次品. 求任意取出的5只产品中次品数的概率分布。,解 设任意取出的5只产品中次品数为,可能取值为：,0, 1, 2, 3, 4, 5.,一般地，若一集合成员分A、B两类，总成员有 N个，其中A类有M个，现从中任取 n个,则其中所含 的 A 类个数 的分布为：,常见的连续型随机变量的概率密度,(1) 均

19、匀分布,称X服从a,b上的均匀分布.记为XU(a,b).,例17 设随机变量X服从-1,2区间上的均匀分布,求X的分布函数.,解,如图:,-1,2,分析,F(-2)=,=0,-2,1,3,F(1)=,=2/3,F(3)=,=1,F(1),x,f(x),F(3),(1)x-1时,F(x)=,=0,=1,(2)-1x2时,F(x)=,(3)2x时,F(x)=,所求分布函数为,x,F(x),-1,1,2,1,0,可见 (1)连续型随机变量X的分布函数F(x)为单调递增的连续函数;(2)F(x)为分段函数,例18 设随机变量XU(1,5),求,例19. 设随机变量X服从2 ,5上的均匀分布.对 X进行

20、三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。,解 由题意得:,记A=X3,则P(A)=P(X3)=,2/3,设Y表示三次独立观测中A出现的次数,则YB(3,2/3),所求为P(Y2)=,P(Y=2)+P(Y=3),=20/27,(2) 指数分布,则称 X服从参数为的指数分布,记为XE() (0).,定义,若随机变量X的概率密度函数为,概率密度曲线如图:,注 指数分布常用作各种“寿命”分布的近似.,注 指数分布具有“永远年青”性。即,例207 设随机变量XE（0.0001）,求x2000的概率。,称 随机变量 X服从参数为 ,2的正态分布, 0， 是任意实数，记为,(3) 正态分布,定义 若

21、随机变量X的概率密度函数为,注 (1) 概率密度曲线是以x=为对称轴,以y=0为渐近线的R上的连续函数;,f(x),x,0,(2)在x=点f(x)取得最大值:,X N(,2),(3) 曲线f(x)与x轴之间的面积是1.,特别,若=0,2=1,即,则称X服从标准正态分布. 记为,XN(0,1),x,0,注 标准正态分布的概率密度曲线以y轴为对称轴.,x,0,注 (1),x,-x,标准正态分布的分布函数,2. 正态分布的分布函数及其计算,(2) P(|X|a)= (a) - (-a) = (a) 1-(a),= 2 (a)-1.,正态分布的分布函数,若XN(,2),则,所以,若XN(,2),则对任

22、意的ab有,例21 设XN(10,4),求P(10X13), P(|X-10|2).,解 P(10X13)=,=(1.5)-(0)=,0.4332,P(|X-10|2)=,P(8X12),=2(1)-1,=0.6826,=(1)- (-1),=(1)- 1-(1),例22 设XN(,2),P(X-1.6)=0.036,P(X5.9)=0.758, 求及.,解 P(X-1.6)=,所以:,又P(X5.9)=,所以:,联立解方程组得:,=3,=3.8,特别 (0)=0.5 ;(1.28)=0.90 ; (1.64)=0.95 ;(1.96)=0.975 ;(2.33)=0.99 .,例23 某地抽

23、样结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似 服从 正态分布，平均成绩为 72分，96分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60分至84分之间的概率。,解 设X为考生的外语成绩,则,XN(72,2),由题意得:,P(X96)=0.023,=1-(96-72)/=,1-(24/),所以 ,(24/)=1-0.023=0.977,24/=2,故:,=12,所求P(60X84)=,=0.6826,1. 已知XN(3,22),且 PXC=PXC 则C=（ ),2. 设XN(，42),YN(，52), 记 p1=PX-4，p2=PY+5则( )对任意实数，都有p1=p2 对任意实数，都有p1

24、p2,3,课堂练习,f(x),x,0,P(X),P(X),设XN(，2),则随的增大，概率P|X-| （ ）单调增大 单调减少保持不变 增减不定,设X N（2，2),且P2X4=0.3,则 PX0 =( ).,0.2,例1 检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样5只,测得使用寿命(单位：小时)如下:A: 2000 1500 1000 500 1000; B: 1500 1500 1000 1000 1000;试比较这两批灯泡质量的好坏.,计算得: 平均寿命分别为:A:1200, B:1200,观察得: A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命偏离较小,所以,B产品质量较好.,数学期望,方差,第2.3节

25、 随机变量的数学期望,例2:甲同学数学（6学分）得80分 ，统计学（3学分）得90分，军事理论（1学分）得100，乙同学 数学（6学分）得90分，统计学（3学分）得80分，军事理论（1学分）的75分，则,甲总分(270)乙总分(245)， 且甲加权平均(85)乙加权平均(85.5),定义 设离散型随机变量X的概率分布为P(X=xn)=pn,n=1,2,., 若级数 绝对收敛,则称该级数为X的数学期望,记为,EX=,则称X的数学期望不存在.,例如,则,EX=,=-10.2+00.1+10.4+20.3=0.8,注意 数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种加权平均.,(1) 离散型随机变量的

26、数学期望,例如P49 2.3.2,计算可得,若X服从参数为p的0-1分布,则EX=p;(EX=0(1-p)+1p=p)(2)若XB(n,p),则EX=np;(3)若X服从参数为的泊松分布,则EX= .,例3 某电子元件使用寿命X,使用寿命在500小时以下为废品,产值0元;500到1000小时之 间为次品,产值10元;1000到1500小时之间为二等品,产值30元;1500小时以上为一等品,产值为40元,求产品的平均产值.,解 设Y表示产值,Y取值为0,10,30,40,P(Y=0)=,P(X500),=1-e-0.5,P(Y=10)=,P(500X1000),=e-0.5-e-1,类似可得:,

27、P(Y=30)=e-1-e-1.5 , P(Y=40)=e-1.5,EY=0 (1-e-0.5)+10 (e-0.5-e-1 )+30( e-1-e-1.5 )+40 e-1.5,=15.65(元),EX=,例4 若X服从a,b区间上的均匀分布,求EX.,所以,EX=,解,否则称X的数学期望不存在.,(2) 连续型随机变量的数学期望,例：P50 2.3.3,例5 设随机变量X服从参数为的指数分布,求EX.,解 X的概率密度函数为,所以,EX=,类似计算可得: 若XN(,2), 则EX= .,例6 设随机变量Xf(x),EX=7/12,且,求a与b的值,并求分布函数F(x).,解,解方程组得 a

28、=1,b=1/2,当x0时,F( x)=0;,当0x1时,当x1时,F(x)=1;,所以,定理1 设X是随机变量,Y=g(X),且E(g(X)存在,则; (1)若X为离散型,P(X=xn)=pn,n=1,2,.,则,(2)若X为连续型随机变量,Xf(x),则,(3) 随机变量函数的数学期望,例如,则,例7 设随机变量X服从0,的均匀分布,求,解 由题意得,据定理得,例8 设国际市场每年对我国某种商品的需求量,为随机变量X(单位:吨),它服从2000,4000上的均匀分布,已知该商品每售出1吨获利3万美元,若销售不出去,每吨将损失各种费用1万美元,问如何组织货源可使收益最大?,解 设y为组织的货

29、源数量,Y为收益,则,其中,由实际情况知EY存在最大值,所以组织3500吨货源可使收益最大.,E(C)=C(C为常数) E(aX+b)=aEX+b,证明,连续型 设Xf(x),则,(4) 数学期望的性质,1. 已知随机变量 X服从参数为1/2的指数分布，则随机变量 Z=3X-2的数学期望E（Z）=（ ）。,解 1. EZ=3EX-2=4,课堂练习,定义 设X为随机变量,EX存在,如果E(X-EX)2存在,则称E(X-EX)2为X的方差,记为:,DX= E(X-EX)2,由定理1(随机变量函数的数学期望)可得, 若X为离散型随机变量,P(X=xn)=pn,n=1,2,.,则,DX= E(X-EX

30、)2, 若X为连续型随机变量,Xf(x),则,DX= E(X-EX)2,(1)方差的基本概念和性质,第2.4节 随机变量的方差, D(C)=0 D(aX)=a2D(X) D(X+b)=DX DX=EX2-(EX)2,(常用于计算方差), D(aX)=EaX -E(aX)2,=Ea(X-EX)2,=a2E(X-EX)2,=a2D(X), DX= E(X-EX)2,=EX2-2X(EX)+(EX)2,=EX2-E2X(EX)+E(EX)2,=EX2-2(EX)(EX)+(EX)2,=EX2-(EX)2,(注:EX是常数),证明,方差的性质,例9 设X,求EX,DX.,解 (1)EX=,=1,(2)

31、E(X2)=,=7/6,所以,DX=EX2-(EX)2,=7/6-1=1/6,计算可得,若X服从参数为p的0-1分布,则DX=p(1-p) 若XB(n,p),则DX=np(1-p) 若X服从参数为的泊松分布,则DX= ,(4)若X服从a，b的均匀分布,则,DX=,(5)若X服从参数为的指数分布,则,DX=,(6)若X N(,2),则DX= 2,f(x),x,0,若 固定, 改变,则越大,曲线越平坦,越小,曲线越陡峭.,大,方差的概念直观背景也可以通过正态分布中不同2的密度曲线反映出来:,例10 设,证明,两边对x求导,令一阶导数等于0,得,解得 x=EX,又因为,所以 x=EX时f(x)有最小

32、值, 最小值为 f(EX)=E(X-EX)2=DX,证明,(切比雪夫不等式),例11 设X为随机变量,EX和DX存在,则对任意0有,证明 (连续型),所以,其等价形式为,1. 已知随机变量X服从二项分布,且E(X)= 2.4, D(X)=1.44,则二项分布的参数n,p的值为（ ） n=4,p=0.6 n=6, p=0.4 n=8,p=0.3 n=24,p=0.1,2. 设X表示 10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则X2的数学期望E(X2)=( ),18.4,课堂练习,求EX和DX.,3. 设X的密度函数为,所以, EX=1,DX=2=1/2,解 3.,4. 设,求

33、 Z= 1/Y 的数学期望E（Z）.,解 EZ=E(1/Y)=,EZ,5. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿灯的路口,每个信号灯为红或 绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿 两种信号显示的时间相等.以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数.求X的概率分布与E1/(1+X）.,解 X的取值为0,1,2,3,P(X=0)=1/2 P(X=1)=1/21/2=1/4 P(X=2)=1/21/21/2=1/8 P(X=3)=1/21/21/2=1/8,X的概率分布为,(2)E1/(X+1)=11/2 +1/21/4+1/31/8 +1/41/8,=67/96,6. 设X与Y同分布，X的概率密度为, 已知事件 A=X和 B=Y独立,且P(A+B)=3/4. 求常数； 求E(1/X2).,解 (1)由已知得:P(A)=P(B),A,B独立,所以,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=2P(A)-P(A)2=3/4 故P(A)=1/2,0a)=,=1/2,所以,(2)E(1/X2)=,