1、 第五讲 圆锥曲线复习椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质 奎 屯王 新 敞新 疆名 称 椭 圆 双 曲 线图 象xOy xOy定 义平面内到两定点 的距离的和21,F为常数（大于 ）的动点的轨迹叫椭圆 奎 屯王 新 敞新 疆 即 aM21当 2 2 时，轨迹是椭圆，ac当 2 =2 时，轨迹是一条线段1F当 2 2 时，轨迹不存在c平面内到两定点 的距离的差的21,F绝对值为常数（小于 ）的动点的轨迹叫双曲线 奎 屯王 新 敞新 疆 即 aM21当 2 2 时，轨迹是双曲线ac当 2 =2 时，轨迹是两
2、条射线当 2 2 时，轨迹不存在标准方 程焦点在 轴上时： x12byax焦点在 轴上时： y2注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在 轴上时： x12bya焦点在 轴上时：y2x常数 cba,的关 系 ， ，22bc0a最大， bc, ，22bac0ac最大，可以 b,渐近线焦点在 轴上时：x0bya焦点在 轴上时：x1椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹 奎 屯王 新 敞新 疆2椭圆的标准方程： ， （ ）12byax12bxa0ba3椭圆的性质：由椭圆方程 ( ) 2(1)范围: , ，椭圆落在 组成的矩形中axbybyax,(2
3、)对称性:图象关于 轴对称图象关于 轴对称图象关于原点对称 奎 屯王 新 敞新 疆 原点叫椭圆的对称中心，简称中心 轴、 轴叫椭圆的对称轴从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距 奎 屯王 新 敞新 疆（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 奎 屯王 新 敞新 疆椭圆共有四个顶点： ， 奎 屯王 新 敞新 疆 加两焦点)0,(,(2aA),0(,(2bB共有六个特殊点 奎 屯王 新 敞新 疆 叫椭圆的长轴， 叫椭圆的短轴长分别)0,(,(21cF11为 奎 屯王 新 敞新 疆 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长 奎 屯王 新 敞新 疆 椭圆的 顶点即为椭圆与对称轴的交ba点 奎 屯王
4、新 敞新 疆(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆ace2)(1ab10e椭圆形状与 的关系： ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆e0,c为椭圆在 时的特例 奎 屯王 新 敞新 疆 椭圆变扁，直至成为极限位置线段 ，此时也0,1e 21F可认为圆为椭圆在 时的特例 奎 屯王 新 敞新 疆 4 奎 屯王 新 敞新 疆 椭圆的第二定义 奎 屯王 新 敞新 疆:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 内常数),0(，那么这个点的轨迹叫做椭圆 奎 屯王 新 敞新 疆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数 就
5、是离心率e e 奎 屯王 新 敞新 疆椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 奎 屯王 新 敞新 疆5椭圆的准线方程对于 ，左准线 ；右准线 奎 屯王 新 敞新 疆12byaxcaxl21:caxl22:对于 ，下准线 ；上准线 奎 屯王 新 敞新 疆2yl21: yl22:焦点到准线的距离 （焦参数）cbacp22椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 奎 屯王 新 敞新 疆 6椭圆的焦半径公式：（左焦半径） ,（右焦半径） ,其中 是离01exr02exar心率 奎 屯王 新 敞新 疆 焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式：（ 其中 分别
6、是椭圆021eyaMF21,F的下上焦点） 奎 屯王 新 敞新 疆焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 奎 屯王 新 敞新 疆 可以记为：左加右减，上减下加 奎 屯王 新 敞新 疆7 奎 屯王 新 敞新 疆 椭圆的参数方程 奎 屯王 新 敞新 疆)(sinco为 参 数byax8双曲线的定义：平面内到两定点 的距离的差的绝对值为常数（小于 ）的动21,F21F点的轨迹叫双曲线 奎 屯王 新 敞新 疆 即 奎 屯王 新 敞新 疆 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的aM距离叫做焦距 奎 屯王 新 敞新 疆在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（
7、 两条平行线） 奎 屯王 新 敞新 疆两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（ 两条射线） 奎 屯王 新 敞新 疆 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关 奎 屯王 新 敞新 疆9双曲线的标准方程及特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在 x 轴上和焦点 y 轴上两种：焦点在 轴上时双曲线的标准方程为： ( , )；x 12ba0ab焦点在 轴上时双曲线的标准方程为： ( , )y 2xy(2) 有关系式 成立，且 奎 屯王 新 敞新 疆cba, 22ba0,cba其中 a 与 b 的大小关系:可以为 奎 屯王 新 敞新 疆,10 奎 屯王 新 敞新 疆 焦点的位置:从椭圆的标
8、准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母 、 项2xy的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 奎 屯王 新 敞新 疆 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即 项的系数是正的，那么焦点在 轴上； 项的2x 2系数是正的，那么焦点在 轴上 奎 屯王 新 敞新 疆y11双曲线的几何性质：（1）范围、对称性 由标准方程 ，从横的方向来看，直线 x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方12bax向来看，随着 x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 奎 屯王 新 敞新 疆 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心
9、奎 屯王 新 敞新 疆 （2）顶点顶点： ，特殊点：0,),(21aAbB,0),(21实轴： 长为 2a, a 叫做半实轴长 奎 屯王 新 敞新 疆 虚轴： 长为 2b，b 叫做虚半轴长 奎 屯王 新 敞新 疆21A21B双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 奎 屯王 新 敞新 疆（3）渐近线过双曲线 的渐近线 （ ） 奎 屯王 新 敞新 疆 12byaxxaby0y（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率 奎 屯王 新 敞新 疆 范围：ce2 1e双曲线形状与 e 的关系： ，e 越大，即渐近线的122aabk斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁
10、狭逐渐变得开阔 奎 屯王 新 敞新 疆 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 奎 屯王 新 敞新 疆 12等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 奎 屯王 新 敞新 疆 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率xy 奎 屯王 新 敞新 疆2e13共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为 ，那么此双曲线方程就一xaby)0(k定是： 或写成 奎 屯王 新 敞新 疆)0(1)(22kbykax 214共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 奎 屯王 新 敞
11、新 疆 区别：三量 a,b,c 中 a,b 不同（互换）c 相同 奎 屯王 新 敞新 疆 共用一对渐近线 奎 屯王 新 敞新 疆 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 奎 屯王 新 敞新 疆 确定双曲线的共轭双曲线的方法 ：将 1 变为-1 奎 屯王 新 敞新 疆 15 双曲线的第二定义：到定点 F 的距离与到定直线 的距离之比为常数l的点的轨迹是双曲线 奎 屯王 新 敞新 疆 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲)0(ace线的准线 奎 屯王 新 敞新 疆 常数 e 是双曲线的离心率16双曲线的准线方程：对于 来说，相对于左焦点 对应着左准线 ，相对于右焦12byax )0,(1cF
12、caxl21:点 对应着右准线 ；焦点到准线的距离 （也叫焦参数） 奎 屯王 新 敞新 疆 )0,(2cFaxl22:bp2对于 来说，相对于上焦点 对应着上准线 ；相对于下焦12bxay ),0(1cFcayl21:点 对应着下准线),0(2cFcayl22:17 奎 屯王 新 敞新 疆 双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点 M 与双曲线焦点 的连线段，叫做双曲线的焦半径 奎 屯王 新 敞新 疆 21,F焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式：021eaF焦点在 y 轴上的双曲线的焦半径公式：（ 其中 分别是双曲线的下上焦点）021eM21,F18双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成
13、的相交弦 奎 屯王 新 敞新 疆焦点弦公式： 当双曲线焦点在 x 轴上时，过左焦点与左支交于两点时： 奎 屯王 新 敞新 疆)(221xeaAB过右焦点与右支交于两点时： 奎 屯王 新 敞新 疆当双曲线焦点在 y 轴上时，过左焦点与左支交于两点时： 奎 屯王 新 敞新 疆)(221yea过右焦点与右支交于两点时： 奎 屯王 新 敞新 疆AB19双曲线的通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆abd2抛物线：图形 xyOFlyl方程 )0(2pxy )0(2pxy )0(2pyx )0(2pyx焦点 , ,yOFl准线 2px2px2py2py20
14、 奎 屯王 新 敞新 疆 抛物线定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 奎 屯王 新 敞新 疆 定点 F 叫做抛l物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线 奎 屯王 新 敞新 疆 l21抛物线的准线方程：(1) , 焦点: ，准线 ： 奎 屯王 新 敞新 疆)0(2pxy)0,2(pl2px(2) , 焦点: ，准线 ： 奎 屯王 新 敞新 疆y(3) , 焦点: ，准线 ： 奎 屯王 新 敞新 疆)(2xy),(lx(4) , 焦点: ，准线 ： 奎 屯王 新 敞新 疆0p2p2py相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂
15、足与焦点在对称轴上关于原点对称 奎 屯王 新 敞新 疆 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的 ，即41 奎 屯王 新 敞新 疆24p不同点：(1)图形关于 X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为 、左px2端为 ；图形关于 Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为 ，左端为 奎 屯王 新 敞新 疆 2y y2（2）开口方向在 X 轴（或 Y 轴）正向时，焦点在 X 轴（或 Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在 X 轴（或 Y 轴）负向时，焦点在 X 轴（或 Y 轴）负半轴时，方程右端取负号 奎 屯王 新 敞新 疆 22抛物线的几何性质（1）范围因为 p0，由
16、方程 可知，这条抛物线上的点 M 的坐标(x，y)满足不02pxy等式 x0，所以这条抛物线在 y 轴的右侧；当 x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸（2）对称性以y 代 y，方程 不变，所以这条抛物线关于 x 轴对称，我们把抛物线02px的对称轴叫做抛物线的轴（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程 中，当 y=0 时，02pxyx=0，因此抛物线 的顶点就是坐标原点02pxy（4）离心率抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用 e 表示由抛物线的定义可知，e=123 奎 屯王 新 敞新 疆 抛物线的焦半径公式：抛物
17、线 ，)0(2pxy 002xpxPF抛物线 ， )(200抛物线 ， )0(2pyx 002ypyPF抛物线 ，)(20024直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点） 奎 屯王 新 敞新 疆将 代入 ，消去 y，得到bkxyl: 0:2FEyDxCyAx关于 x 的二次方程 奎 屯王 新 敞新 疆 （*）02ca若 ，相交； ，相切； ，相离 奎 屯王 新 敞新 疆0综上，得：联立 ，得关于 x 的方程pybkx202cbxa当 （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点） 奎 屯王 新 敞新 疆0a当 ，则若 ，两个公共点（交点） 奎
18、 屯王 新 敞新 疆，一个公共点（切点） 奎 屯王 新 敞新 疆，无公共点 （相离） 奎 屯王 新 敞新 疆（2）相交弦长：弦长公式： ，21kad（3）焦点弦公式： 抛物线 ， 奎 屯王 新 敞新 疆)0(2pxy )(21xpAB抛物线 ， 奎 屯王 新 敞新 疆抛物线 ， 奎 屯王 新 敞新 疆)(2yx )(21y抛物线 ， 奎 屯王 新 敞新 疆0ppAB（4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 奎 屯王 新 敞新 疆 通径： 奎 屯王 新 敞新 疆pd2（5）若已知过焦点的直线倾斜角 则 pxyk2)( 022pyk21pyksin4221k 221siniAB（6）常用结论
19、：和pxy2)( 022pyk 04)(222 pkxpkx和 奎 屯王 新 敞新 疆 142125抛物线 的参数方程： （t 为参数）)0(2pxy 2pyx讲解范例：例 1 根据下列条件，写出椭圆方程 奎 屯王 新 敞新 疆 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为 1/2、长轴长为 8； 和椭圆 9x2+4y2=36 有相同的焦点，且经过点(2 ，3)； 中心在原点，焦点在 x 轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是 奎 屯王 新 敞新 疆510分析： 求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据 a2=b2+c2 及已知条件确定 a2、b 2
20、 的值进而写出标准方程 奎 屯王 新 敞新 疆解 焦点位置可在 x 轴上，也可在 y 轴上，因此有两解： 奎 屯王 新 敞新 疆12616xy或 焦点位置确定，且为（0， ），设原方程为 ,(ab0)，由已知条件512byax有 ,故方程为 奎 屯王 新 敞新 疆14952ba10,22ba02y 设椭圆方程为 ,(ab0)2byax由题设条件有 及 a2=b2+c2，解得 b= ,510cab 10,5a故所求椭圆的方程是 奎 屯王 新 敞新 疆2yx例 2 从椭圆 ,(ab0)上一点 M 向 x 轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点12baF1，A、B 分别是椭圆长、短轴的端点，ABOM 奎 屯
21、王 新 敞新 疆 设 Q 是椭圆上任意一点，当 QF2AB 时，延长 QF2 与椭圆交于另一点 P，若F 2PQ 的面积为 20 ，求此时椭圆的方程 奎 屯王 新 敞新 疆3解 可用待定系数法求解 奎 屯王 新 敞新 疆b=c,a= c，可设椭圆方程为 奎 屯王 新 敞新 疆12cyxPQAB, k PQ=- ，则 PQ 的方程为 y= (x-c)，1baAB 2代入椭圆方程整理得 5x2-8cx+2c2=0，根据弦长公式，得 ,cPQ56又点 F1 到 PQ 的距离 d= c32 ,由dPQSF1 254,25320c， 得故所求椭圆方程为 奎 屯王 新 敞新 疆102yx例 3 直线 与双
22、曲线 相交于 A、B 两点，当 为何值时，A、B 在双曲ky32xa线的同一支上？当 为何值时， A、B 分别在双曲线的两支上？a解： 把 代入1x12y整理得： （1）0)3(2当 时， 奎 屯王 新 敞新 疆a24a由 0 得 且 时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点 奎 屯王 新 敞新 疆63若 A、B 在双曲线的同一支，须 0 ，所以 或 奎 屯王 新 敞新 疆321ax3a故当 或 时，A、B 两点在同一支上；当 时，A、B 两点在36a6双曲线的两支上 奎 屯王 新 敞新 疆例 4 已知双曲线 ，过点 A（2，1）的直线与已知双曲线交于 P、Q 两点 奎 屯王 新 敞新 疆 （
23、1）2yx求 PQ 中点的轨迹方程；（2）过 B（1，1）能否作直线 ，使 与所给双曲线交于两点lM、N，且 B 为 MN 的中点，若存在，求出 的方程，不存在说明理由 奎 屯王 新 敞新 疆l解：（1）设 P（x 1,y1）、Q(x 2,y2),其中点为（x，y）,PQ 的斜率为 k,若 PQ 的斜率不存在显然（2，0）点是曲线上的点 奎 屯王 新 敞新 疆若 PQ 的斜率存在，由题设知：（1） （2）12yx 12x（2）-（1）得： 0)()(1121 yy，即 （3）21kyxyx又 代入（3）整理得：x 042yx（2）显然过 B 点垂直 X 抽的直线不符合题意 奎 屯王 新 敞新
24、疆 只考虑有斜率的情况 奎 屯王 新 敞新 疆 设 的方程为 y-1=k(x-1)l代入双曲线方程 ，整理得：12y0322kxkxk设 M（x 1,y1）、N(x 2,y2)则有 奎 屯王 新 敞新 疆 解得： =22121kk又直线与双曲线必须有两不同交点，所以式的 奎 屯王 新 敞新 疆ok3422把 K=2 代入得 0，8故不存在满足题意的直线 奎 屯王 新 敞新 疆l第五讲 圆锥曲线单元检测题湖南省洞口县第一中学 肖丹枫一、选择题1.椭圆 =1 上一点 P 到两个焦点的距离的和为（ ）123yxA.26 B.24 C.2 D.2 132.在双曲线标准方程中，已知 a=6,b=8,则其
25、方程是（ ）A. =1 B. =16432yx 3642yxC. =1 D. =1 或 =1642x3.已知抛物线的焦点坐标是(0，3) ，则抛物线的标准方程是（ ）A.x2=12y B.x2=12y C.y2=12x D.y2=12x5.已知定点 F1（2，0） ，F 2（2，0）在满足下列条件的平面内动点 P 的轨迹中，为双曲线的是（ ）A.|PF1| |PF2|=3 B.|PF1| PF2|=4C.|PF1|PF 2|=5 D.|PF1|2|PF 2|2=46.过点（3，2）且与 =1 有相同焦点的椭圆的方程是（ ）492yxA. =1 B. =1 C. =1 D. =11052yx10
26、521502yx2510yx7.经过点 P(4， 2)的抛物线标准方程为（ ）A.y2=x 或 x2=8y B.y2=x 或 y2=8xC.y2=8x D.x2=8y8.已知点（3，2）在椭圆 =1 上，则（ ）2abyA.点（3，2）不在椭圆上 B.点（3，2）不在椭圆上C.点（3，2）在椭圆上 D.无法判断点（3， 2） 、 （3，2） 、 （3，2）是否在椭圆上9.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍，且一个顶点的坐标为(0，2) ，则双曲线的标准方程为（ ）A. =1 B. =1 C. =1 D. =142yx42xy842xy482yx二、填空题（5 分4）已知双曲线 的一条准
27、线为 ，则该双曲线的离心率为（ ）)0( 12ayx23xA、 B、 C、 D、3364.已知椭圆的方程为 =1，焦点在 x 轴上，则 m 的范围是（ ）216myxA.4m4 B.4 m4 C.m4 或 m4 D.0m 410.过抛物线 y22px （p0）的焦点作一条直线交抛物线于 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则为（ ）21xA.4 B.4 C.p2 D.p 212.已知点(x,y) 在抛物线 y2=4x 上，则 z=x2+ y2+3 的最小值是（ ）1A.2 B.3 C.4 D.014.椭圆 ( 为参数 )的离心率为 .sin3coyx15.已知圆 x2+y26x 7
28、=0 与抛物线 y2=2px(p0)的准线相切，则抛物线的方程为_.三、解答题（14 分5 ，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 已知椭圆 C 的焦点 F1（ ，0）和 F2（ ，0），长轴长 6，设直线2交椭圆 C 于 A、B 两点，求线段 AB 的中点坐标。(8 分)2xy17. AB 是过椭圆 =1 的一个焦点 F 的弦，若 AB 的倾斜角为 ，求弦 AB 的长.452yx 318.求一条渐近线方程是 3x+4y=0，一个焦点是(4，0) 的双曲线标准方程，并求双曲线的离心率.19.求两条渐近线为 且截直线 所得弦长为 的双曲线方02yx03yx38程。(10 分)20.已知
29、直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 交于 A、B 两点，（1）若以 AB 线段为直径的圆过坐标原点，求实数 a 的值。（2）是否存在这样的实数 a，使 A、B两点关于直线 对称？说明理由。(10 分)12yx参考答案1.【答案】 D2. 【答案】 D【解析】 双曲线的标准方程是 =1 或 =12byax2bxa双曲线的方程是 或 =1.164326433. 【答案】A【解析】 =3,p=6. 抛物线的焦点在 y 轴上，2抛物线的方程为 x2=12y .4.【答案】 A5. 【答案】 A【解析】 c 2=94=5,设椭圆的方程为 =1,52ayx点（3,2）在椭圆上， =1,a2=1
30、5,5492a所求椭圆的方程为： =1.1052yx6. 【答案】A【解析】设抛物线的方程为 y2=2px 或 x2=2p1y.点 P(4，2)在抛物线上， 4=2p4 或 16=2p1(2),p= 或 p1=4，抛物线的方程为 y2=x 或 x2=8y.27. 【答案】 C【解析】 点（3，2）在椭圆 =1 上，2ab =1, =1.2ab2)(3即点(3,2) 在椭圆 =1 上.ax2by8. 【答案】 B【解析】 由方程组 22cba得 a=2,b=2.双曲线的焦点在 y 轴上，双曲线的标准方程为 =1.42xy二、填空题9. 2310. 【解析】 椭圆的焦点在 x 轴上，m 216,4
31、 m4.11. 【解析】特例法.当直线垂直于 x 轴时， =4.4),(),( 21pxypBA12. 【解析】点(x,y)在抛物线 y2=4x 上，x0，z=x 2+ y2+3x 2+2x3（x+1） 221当 x=0 时，z 最小，其值为 3.13. 【答案】 35【解析】 椭圆的方程可写成 =1，942yxa 2=9,b2=4,c= ,椭圆的离心率是 .53514. 【答案】y 2=4x【解析】圆的方程可化为(x3) 2+y2=16,抛物线的准线为 x= ，由题设可知2p3+ =4,p=2. 抛物线的方程为 y2=4x.215. 4三、解答题16.解:由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,
32、其中 c= ,a=3,从而 b=1,所以其标2准方程是: .联立方程组 ,消去 y 得, .219xy219yx2103670x设 A( ),B( ),AB 线段的中点为 M( )那么: , =1,2,xy0,1285x0x25x所以 = +2= .也就是说线段 AB 中点坐标为(- , ).0y 95117. 【解】 不妨取 F(1，0)，直线 AB 的方程为 y= (x1)代入椭圆方程并整理得：319x230x50设 A（x 1，y 1） ，（x 2，y 2） ，则 1953021xA x 1x 23195324)(x18.【解】 设 P（x,y）为椭圆上任意一点，椭圆的一个焦点是 F（1
33、，1）与它相对应的准线是 x+y4=0,离心率为 ,2 ,4)1()(24(x 1)2+4(y1) 2=(x+y4) 2.即 3x2+3y22xy8=0 为所求.19.解:设双曲线方程为 x2-4y2= .联立方程组得: ,消去 y 得，3x 2-24x+(36+ )=0-430y 设直线被双曲线截得的弦为 AB，且 A( ),B( )，那么：1,x2,y1228364()0x那么：|AB|= 22211368(12)3()4()84)kxx解得: =4,所以，所求双曲线方程是： 1y20.解：（1）联立方程 ，消去 y 得：（3-a 2）x 2-2ax-2=0.23x-y=1a设 A( ),B( ),那么： 。1,xy2,123()8)0ax由于以 AB 线段为直径的圆经过原点，那么： ，即 。OAB120xy所以： ，得到： ，解得1212()0xax22(1),63aaa=(2)假定存在这样的 a，使 A( ),B( )关于直线 对称。1,xy2,12yx那么： ，两式相减得： ，从而213x-y= 2113(-=-1221y-(+).(*因为 A( ),B( )关于直线 对称，所以121212y+x=-1,xy2,12yx代入（*）式得到：-2=6，矛盾。也就是说：不存在这样的 a，使 A( ),B( )关于直线 对称。1,xy2,yx
