1、第 1 页2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北 A 卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 方程 的一个根是2+613=0xA -3+2i B 3+2i C -2 + 3i D 2 + 3i ，所以 ，故选 A2243=-4,xi=-32xi2. 命题“ ”的否定是00,RxQA B 30,300,RxQC D 0RxC存在性命题的否定为“ ”改为“ ”，后面结论加以否定，故为 ，选 D300,RxCQ3. 已知二次函数 的图像如图所示 =yfx，则它与 轴所围图形的面积为 xA. B
2、. C. D.25432由图像可知，二次函数解析式为 2=1-fx设面积为 ，则 ，故S11223-004=dx选 B4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D. 83136此几何体为一个圆柱切去了一部分，此圆柱底面半径为 1，高为 4，现在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体 ，从而构成一个底面半径为 1，高为 6 的圆柱，这个圆柱的体积为 ，要求几何体的体积为圆柱体积的一半，为 ，故选 B=6V35.设 ，且 ，若 能被 13 整除，则aZ013a2015+a=aA.0 B.1 C.11 D.12第 2 页，显然上式除了 外，其余各个 2012010
3、212012012015+=-5-+-5+aaCCa +1a因式都能被 13 整除，所以 能被 13 整除，只需 ，故选 D=a6.设 是正数，且 ，则,abcxyz22+=10,40,20abcxyzxbycz=+bcxyzA. B. C. D. 14133由柯西不等式知 ，而此时 恰好满222+=40abcxyzaxbycz2240abcxyz足取等条件 ，令 代入到 中得=xyz=,kk2+=10，所以由合比定理得 ，故选 C2221+0,042kk2abckxyzz7.定义在（-，0）（0，+）上的函数 ，如果对于任意给定的等比数列 ， 仍是等比数fxnanf列，则称 为“保等比数列函
4、数” 。现有定义在（-，0）（0，+）上的如下函数： ；fx 2=x； ； 。=2f =lnfx则其中是“保等比数列函数”的 的序号为A. B. C. D.令等比数列 的公比为 ， ， 是等比数列； ，naq2=fx22+1+1=nnfaaq=2xf不一定是 常数，不一定是等比数列； ，+11-2=nnanf f+1+1+1=nnnfaq是等比数列； ，举个特例，令 是等差数列不是等比数列，从lfx=2,ln2=lln2naf而选 C8.如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆。在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是第 3 页A. B. C
5、. D. 21-1-221设大圆的半径为 2，则小圆半径为 1，扇形面积为 ，而阴影部分的面积为2=4S扇，在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率-+-244，故选 A2=1P9.函数 在区间0,4上的零点个数为2cosfxA.4 B.5 C.6 D.7当 时， ，当 ，而使余弦为零的角的弧度数为 ，令=00f 2综上零点个数为 6 个，故选 C10.我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V，求其直径 d 的一个近似公式 。人们还用过一3169dV些类似的近似公式。根据 =3.1
6、4159判断，下列近似公式中最精确的一个是A. B. 5 C. D. 3169dV32d30157d321由球的体积公式 得 ，由此得 ，经验证最精确的为 D34=R4V36=24V二、填空题：本大题共 6 小题，考试共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。（一）必考题（11-14 题）11.设ABC 的内角 A，B，C，所对的边分别是 a，b，c.若 ，则角 C=_。+-=bcab由 得 ，所以 ，+-=abcab22+-=-=c2+-1oscC=20C第 4 页12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，
7、输出的结果s=_.； ，当 时，输出=1,ns2,4s=3n9s13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,3443,94249 等。显然 2 位回文数有 9 个：11,22,33，99.3 位回文数 有90 个：101,111,121，191,202，999。则（）4 位回文数有_个；（）2n1（nN+）位回文数有_个。4 位回文数有 1001,1111,1221,1331，1991,2002,2112,2222,2332，2992，,9009,9119，9999 共 90 个2n1（nN+）位回文数有 ，共有 n 个 10，所以为 个910 910nA14.如图，双
8、曲线 的两顶点为 ，虚轴两端2-=xyab12,A点为 ，两焦点为 。若以 为直径的圆内切于菱形12,B12,F12，切点分别为 A，B，C，D。则F（1）双曲线的离心率 e=_；（2）菱形 的面积 与矩形 的面积 的比值121S2S_。12=S（1）由已知 222222424a+=+-=-3+=0bcbcacacaca，解得42-3=0e2351ee（2）由已知得 ，又直线 的方程为 ，而直线 的方程为 联立解得1Sbc2BF=-byxcOA=cyxb，所以 ，2=+cxby22=4+c 222122+-15+=4+caeSbcbc（二）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，请
9、先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第 15 题作答结果计分。 ）15.（选修 4-1：几何证明选讲）如图，点 D 在O 的弦 AB 上移动，AB=4，连接 OD，过点 D 作 OD 的垂线交O 于点 C，则 CD 的最大值为_。第 5 页设圆的半径为 ，由已知 ，又 ，显然r=OCr2=-DCrOD最小时，CD 有最大值，而 取最小值时， ，此时 ，所以 CD 有最大值 2ODAB221=-4rABr16.（选修 4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线 与曲线xoyx =4（t 为参数）相
10、较于 A，B 来两点，则线段 AB 的中点的直角坐标为_。2=+1-xy射线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 联立方程解得4=0yx2=+1-xty2=-yx，所以线段 AB 的中点的直角坐标为=1,xy 5,三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分 12 分）已知向量 ，设函数 的图像=cos-in,s,=-cosin,23cosaxxbxx =+fxabRA关于直线 x= 对称，其中 为常数，且,1,（1）求函数 的最小正周期；fx（2）若 y=f（x）的图像经过点 ，求函数 在区间 上的取值范围。,04fx30,
11、5=+sin-cosin+cos2sinco+fabx xA第 6 页22=sin-cos+3sinco+=3sin2-cosx+=2sin-+6xx x（1）函数 的图像关于直线 x= 对称，所以=fabRA 1,=+,223kkZz又 ，所以 的周期为5,265=2sin-+36fxx2=53（2）若 y=f（x）的图像经过点 ，则有 ，所以,04si-0-2465=sin-236f，函数 在区间 上的取值范围为50,-,sin-1,236xxxfx30,5-12,18.（本小题满分 12 分）已知等差数列 前三项的和为-3，前三项的积为 8.na（1）求等差数列 的通项公式；（2）若 成
12、等比数列，求数列 的前 n 项的和。231, na第 7 页19.（本小题满分 12 分）如图 1，ACB=45，BC=3，过动点 A 作 ADBC，垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B，连接 AB，沿 AD 将ABD 折起，使BDC=90（如图 2 所示） ，（1）当 BD 的长为多少时，三棱锥 A-BCD 的体积最大；（2）当三棱锥 A-BCD 的体积最大时，设点 E，M 分别为棱BC，AC 的中点，试在棱 CD 上确定一点 N，使得 ENBM，并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小第 8 页第 9 页20 （本小题满分 12 分）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量 X（单位：mm
13、）对工期的影响如下表：降水量 X X0,1DMmA且 MC（1）求曲线 的方程，判断曲线 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；CC（2）过原点且斜率为 的直线交曲线 于 两点，其中 在第一象限，它在 y 轴上的射影为点 N，直线k,PQ交曲线 于另一点 ，是否存在 ，使得对任意的 ，都有 ？若存在，求 的值；若不存QNH0kPQHm在，请说明理由。第 11 页第 12 页22.(本小题满分 14 分)（1）已知函数 ，其中 为有理数，且 .求 的最小值；=-+10rfxxr01rfx（2）试用（1）的结果证明如下命题：设 为正有理数，若 ，则 ；2120,ab12=b1212+baab（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当 为正有理数时，有求导公式 -1=x第 13 页
