1、温故知新 1.一组数据中的最大数据与最小数据的差称为 极差 ，即 极差最大数据一最小数据 2.极差反映一组数据的波动范围，用极差描述这组数据的离散程度简单明了极差越大，数据的离散程度越大 3.由于极差忽视了一组数据中所有数据之间的差异，仅仅由其中的最大值和最小值所确定，个别远离群体的极端值在很大程度上会影响极差，因而极差往往不能充分反映一组数据的实际离散程度 （ 2） 现要挑选一名同学参加竞 赛，若你是老师，你认为 挑选哪一位比较适宜？为什么？ 请分别计算两名同学测试成绩的平均分和极差； 甲，乙两名同学的测试成绩统计如下： 老师的烦恼 )(90)(90 _ 分分 乙甲 xx甲 85 90 90
2、 90 95 乙 95 85 95 85 90 甲成绩的极差 =95-85=10 乙成绩的极差 =95-85=10 在一组数据中，每个数据与平均数的差叫做这个数据的 偏差 偏差可以反映一个数据偏离平均数的程度 试一试：求各数据的偏差如何 ？ 甲，乙两名同学的测试成绩统计如下： 老师的烦恼 甲 85 90 90 90 95 乙 95 85 95 85 90 甲成绩各数据的偏差： -5, 0， 0， 0 ， 5. 乙成绩各数据的偏差： 5， -5， 5， -5， 0. 甲同学成绩与平均成绩的偏差的和： 乙同学成绩与平均成绩的偏差的和： （ 85-90） +（ 90-90） +（ 90-90） +（
3、 90-90）+（ 95-90） = 0 （ 95-90） +（ 85-90） +（ 95-90） +（ 85-90）+（ 90-90） = 0 能用偏差的和表示一组数据的离散程度吗？ 设 是数据为 x1、 x2、 x3、 、 xn的平均数，n为数据的个数，那么 x这是不是偶然现象呢？ 分别表示每个数据的偏差 . x x1 、 x x2 、 x x3 、 、 x xn x （ x1 ) x （ x2 ) x （ x3 ) x （ xn ) =(x1+x2+x3+ +xn) n x ( ) n x x x x n x + + + + L 3 2 1 1 =(x1+x2+x3+ +xn) n (
4、) n x x x x n + + + + L 3 2 1 1 =0 甲同学成绩与平均成绩的偏差的平方和： 乙同学成绩与平均成绩的偏差的平方和： （ 85-90） 2+（ 90-90） 2+（ 90-90） 2 +（ 90-90） 2+（ 95-90） 2 = 50 （ 95-90） 2+（ 85-90） 2+（ 95-90） 2 +（ 85-90） 2+（ 90-90） 2 = 100 为了刻画一组数据的离散程度，通常选用偏差的平方的平均数来描述 由于偏差可能是正数、零、负数，在求偏差的和时，正、负数恰好相互抵消，结果为零 ,所以不能用偏差的和表示一组数据的离散程度 . x （ x1 ) x
5、 （ x2 ) x （ x3 ) x （ xn ) 2 2 2 2 n 1 S2= 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的 方差 （ variance ) ，通常用S2 表示，即 x （ x1 ) x （ x2 ) x （ x3 ) x （ xn ) 2 2 2 2 n S2= 方差越小，这组数据的离散程度越小，数据就越集中，平均数代表性就越大 . 例 1某足球队对运动员进行射点球成绩测试，每人每天射点球 5次，在 10天中，运动员大刚的进球个数分别是： 5 4 5 3 3 5 2 5 3 5 （ 1）求大刚进球个数的平均数； （ 2）求大刚进球个数的方差 . 解
6、 :（ 1）大刚进球个数的平均数为 （ 2）大刚进球个数的方差为 10 5 3 5 2 5 3 3 5 4 5 + + + + + + + + + x =4(个 ); 10 ) 4 5 ( ) 4 5 ( ) 4 4 ( ) 4 5 ( 2 2 2 2 2 - + + - + - + - L s =1.2 也可以采用列表的方法求大刚进球个数的方差 : 数据 xi 平均数 xi （ xi ） 2 5 4 4 4 5 4 3 4 3 4 5 4 2 4 5 4 3 4 5 4 x x x 1 0 1 -1 -1 1 -2 1 -1 1 1 0 1 1 4 1 1 1 1 1 2（个 2） . 1
7、10 1 1 0 1 2 + + + + L s 由于方差 S2的单位与原始数据单位不一致，因此在实际应用中常常求出方差后，再求它的算术平方根，这个算术平方根称为这组数据的 标准差 ，用 S表示 . . ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 1 n x x x x x x s n - + - + - L 标准差也是表示一组数据离散程度的量 . 例 1某足球队对运动员进行射点球成绩测试，每人每天射点球 5次，在 10天中，运动员大刚的进球个数分别是： 5 4 5 3 3 5 2 5 3 5 （ 1） 求大刚进球个数的平均数 ； （ 2） 求大刚进球个数的方差 . 解 :（ 1） 大刚进球个数的
8、平均数为 （ 2） 大刚进球个数的方差为 10 5 3 5 2 5 3 3 5 4 5 + + + + + + + + + x =4(个 ); 10 ) 4 5 ( ) 4 5 ( ) 4 4 ( ) 4 5 ( 2 2 2 2 2 - + + - + - + - L s =1.2 （ 3） 求大刚进球个数的标准差 . （ 3） 大刚进球个数的标准差为 ) ( 09 . 1 2 . 1 2 个 s s 发现： 方差或标准差越小，离散程度越小，波动越小 . 方差或标准差越大，离散程度越大，波动越大 方差与标准差 - 描述一组数据的 波动大小 . 极差 -反映一组数据 变化范围的大小 ； 总结 :
9、 区别： 极差 反映一组数据的变化范围，主要反映一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他的数据的波动不敏感 . 方差 主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标 . 在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小 . 标准差 实际是方差的一个变形，只是方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同 . 2、已知某样本的方差是 9，则这个样本的标准差是 。 3、已知一个样本 1、 3、 2、 x、 5，其平均数是 3，则这个样本的标准差是 。 4、甲、乙两名战士
10、在射击训练中，打靶的次数相同，且射击成绩的平均数 x甲 = x乙 ，如果甲的射击成绩比较稳定，那么方差的大小关系是 S2甲 S2乙 。 3 1、一个样本的方差是 2 2 2 21 2 1 0 01 ( 8) ( 8) ( 8) 100S x x x - + - + + -则这个样本中的数据个数是 _，平均数是 _ 100 8 2、关于两组数据波动大小的比较，正确的是（ ） 极差较小的数据波动较小 方差较小的数据波动较小 平均数较小的数据波动较小 中位数较小的数据波动较小 、 为了备战年奥运会，刘翔正在刻苦训练，教练对他的次成绩进行分析。 为判断刘翔成绩的平均水平，则教练需了解他这次成绩的 .
11、为判断刘翔成绩的变化范围，则教练需了解他这次成绩的 . 为判断刘翔的成绩是否稳定，则教练需了解他这次成绩的 . BC A.极差 B.方差 C.平均数 D.最好成绩 A 3、已知一组数据 -2， -1， 0， 2， 1，求这组数据的方差。 5、 在样本方差的计算公式 数字 10 表示 ，数字 20表示 . -+-+- )20(2. )20( 2 2)20( 1 21012s x nxx4、样本 5、 6、 7、 8、 9的方差是 . 2平均数 数据的个数 1.八年级一班 10 名同学参加用电脑绘图测试，成绩如下 （ 满分 30 分 ） : 成绩 /分 20 22 26 28 30 人数 /名 1
12、 2 2 3 2 这 10 名同学测试成绩的标准差是多少 （ 精确到 0 . 1 分 ） ? 解：平均分为： 26（分） 10 2 30 3 28 2 26 2 22 1 20 + + + + x 2 甲、乙两台编织机同时编织同种品牌的毛衣，在 5 天中，两台编织机每天编织的合格产品数量如下（单位：件） : 甲 ： 10 8 7 7 8 乙 ： 9 8 7 7 9 在这 5 天中，哪台编织机每天编织的合格产品的数量较稳定？ 8 5 8 7 7 8 10 + + + + 甲 x 8 5 9 7 7 8 9 + + + + 乙 x 5 10 10 ) 8 9 ( ) 8 8 ( ) 8 9 ( 2
13、 2 2 - + + - + - L 乙 s 5 15 10 ) 8 8 ( ) 8 8 ( ) 8 10 ( 2 2 2 - + + - + - L 甲 s 因为 S甲 S乙 ， 所以乙编织机每天编织的合格产品的数量较稳定 . 1.在一组数据中，每个数据与平均数的差叫做这个数据的 偏差 偏差可以反映一个数据偏离平均数的程度 由于偏差可能是正数、零、负数，在求偏差的和时，正、负数恰好相互抵消，结果为零 ,所以不能用偏差的和表示一组数据的离散程度 . x （ x1 ) x （ x2 ) x （ x3 ) x （ xn ) 2 2 2 2 n 1 S2= 2. 在一组数据中，各数据与它们的平均数的
14、差的平方的平均数，叫做这组数据的 方差 ，通常用 S2 表示，即 方差越小，这组数据的离散程度越小，数据就越集中，平均数代表性就越大 . 3.标准差 : . ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 1 n x x x x x x s n - + - + - = L 标准差也是表示一组数据离散程度的量 . a x n na x x x n - - + + + ) ( 2 1 L n a x a x a x n - + + - + - ) ( ) ( ) ( 2 1 L n x x x x n + + + 2 1 L x n x x x n + + + L 2 1 n a x a x a x a
15、x a x a x n 2 2 2 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( - - - + + - - - + - - - L n x x x x x x s n 2 2 2 2 1 2 ) ( ) ( ) ( - + + - + - L n x x x x x x s n 2 2 2 2 1 2 ) ( ) ( ) ( - + + - + - L n x x x x x x n 2 2 2 2 1 ) ( ) ( ) ( - + + - + - L s 2 2 2 s s 所以 如果一组数据 x1， x2， ， x n， 中的每一个数据都减去 a， 得到一组新数据 那么这两组数据的方差有什么关系？ , , 2 1 n xx x L必做题 :课本 P104 A组 1、 2题 选做题 :课本 P104 B组 1题 同学们 , 再见 !
