1、微积分发展历程（三）3）牛顿的“流数术”牛顿（Isaac Newton ,16421727）于伽利略去世那年1642 年（儒略历）的圣诞出生于英格兰肯郡伍尔索普村一个农民家庭，是遗腹子，且早产，生后勉强存活。少年牛顿不是神童成绩并不突出，但酷爱读书与制作玩具。17 岁时，牛顿被母亲从他就读的格兰瑟姆中学召回田庄务农，但在牛顿的舅父 W .埃斯库和格兰瑟姆中学校长史托克思的竭力劝说下，牛顿的母亲在九个月后又允许牛顿返校学习。史托克思校长的劝说辞中，有一句话可以说是科学史上最幸运的预言，他对牛顿的母亲说：“在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失！”牛顿于 1661 年入剑桥大
2、学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。三一学院至今还保存着牛顿的读书笔记，从这些笔记可以看出，就数学思想的形成而言，笛卡儿的几何学和沃利斯的无穷算术对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。1665 年 8 月，剑桥大学因瘟疫流行而关闭，牛顿离校返乡，随后在家乡躲避瘟疫的两年，竟成为牛顿科学生涯中的黄金岁月。制定微积分，发现万有引力和颜色理论，可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图，都是在这两年描绘的。流数术的初建牛顿对微积分问题的研究始于 1664 年秋，当时他反复阅读笛卡儿几何学 ，对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。说在此
3、时，牛顿首创了小 o 记号表示 x 的无限小且最终趋于零的增量。1665 年夏至 1667 年春，牛顿在家乡躲避瘟疫期间，继续探讨微积分并取得了突破性进展。据他自述，1665 年 11 月发明“正流数术” （微分法） ，次年 5 月又建立了“反流数术” （积分法） 。1666 年 10 月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以流数简论 （Tract on Fluxions）著称，当时虽未正式发表，但在同事中传阅。 流数简论 （以下简称简论 ）是历史上第一篇系统的微积分文献。流数简论反映了牛顿微积分的运动学背景。该文事实上以速度形式引进了“流数”（即微商）概念，虽然没有使用“流数
4、”这一术语。牛顿在简论中提出微积分的基本问题如下：（a）设有两个或更多个物体 A，B，C ，在同一时刻内描画线段 x，y，z，。已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度 p，q，r，的关系。（b）已知表示线段 x 和运动速度 p、q 之比 的关系方程式，求另一线段 y。牛顿对多项式情形给出（a）的解法。以下举例说明牛顿的解法。已知方程 ，牛顿分别以 和 代换方程中的 x 和330abdyxpoyqy，然后利用二项式定理，展开得 32232230xpoxpoqydab消去和为零的项 ，得30abdy，以 o 除之，得2223xqabp3popyo这时牛顿指出“其中含 o 的那些项为无限小” ，略
5、去这些无限小，得230pxdqyabp即所求的速度 p 与 q 的关系。牛顿对所有的多项式给出了标准的算法，即对多项式，问题（a）的解为,ijjfx0ijjipqaxy对于问题（b） ，牛顿的解法实际上是问题（a）的解的逆运算，并且也是逐步列出了标准算法。特别重要的是， 简论中讨论了如何借助于这种逆运算来求面积，从而建立了所谓“微积分基本定理” 。牛顿在简论中是这样推导微积分基本定理的：如上图，设 ab=x,abc=y 为已知曲线 q=f（x）下的面积，作 deabad be=p=1 。当线cbe 以单位速度向右移动时，eb 扫出面积 abed=x，变化率 ；cb 扫出面积1dxptabc=y
6、，变化率 ， 。由此得 ，dyqtxpt /dyqftp这就是说，面积 y 在点 x 处的变化率是曲线在该处的 q 值。这就是微积分基本定理。利用问题（b）的解法可求出面积 y。作为例子，牛顿算出纵坐标为 曲线下的面积是 ；反之，纵坐标为n1nx的曲线真切线斜率为 。当然， 简论中对微积分基本定理的论述并不能算是现代1nxnx意义下的严格证明。牛顿在后来的著作中对微积分基本定理又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明。在牛顿以前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积。前面讲过，面积计算与求切线问题的互逆关系，以往虽然也曾被少数人在特殊场合模糊地指出，
7、但牛顿却能以足够的敏锐与能力将这种互逆关系明确地作为一般规律揭示出来，并将其作为建立微积分普遍算法的基础。正如牛顿本人在流数简论中所说：一旦反微分问题可解，许多问题都将迎刃而解。这样，牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法正、反流数术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体。这是他超越前人的功绩，edacqbyx p=Ifg正是在这样的意义下，我们说牛顿发明了微积分。在流数简论的其余部分，牛顿将他建立的统一算法应用于求曲线切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等 16 类问题，展示了他的算法的极大的普遍性与系统性。流数术的发
8、展流数简论标志着微积分的诞生，但它在许多方面是不成熟的。牛顿于 1667 年春天回到剑桥，对自己的微积分发现未作宣扬。他在这一年 10 月当选为三一学院成员，次年又获硕士学位，并不是因为他在微积分方面的工作，而是因为在望远镜制作方面的贡献。但从那时起直到 1693 年大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说，先后定成了三篇微积分论文，它们分别是：（1） 运用无限多项方程的分析 （De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas，简称 分析学 ，完成于 1669 年） ；（2） 流数法与无穷级数 （Metho
9、dus Fluxionum et Serierum Infinitarum，简称流数法 ，完成于 1671 年） ；（3） 曲线求积术 （Tractatus de Quadratura Curvarum，简称求积术 ，完成于 1691年） 。这三篇论文，反映了牛顿微积分学说的发展过程，并且可以看到，牛顿对于微积分的基础先后给出了不同的解释。第一篇分析学是牛顿为了维护自己在无穷级数方面的优先权而作。1668 年苏格兰学者麦卡托（N.Mercator ）发表了对数级数的结果，这促使牛顿公布自己关于无穷级数的成果。 分析学利用这些无穷级数来计算流数、积分以及解方程等，因此分析学体现了牛顿的微保健与无
10、穷级数紧密结合的特点。关于微积分本身， 分析学有简短的说明。论文一开始就叙述了计算曲线 下面积的法则。设有 表示的曲线，牛顿yfxmnyx论证所求面积为 。牛顿在论证中取 x 而不是时间 t 的无限小增量“瞬”/mnz为 o，以 代 x， 代 z，则oy/mnnoyo用二项式定理展示后以 o 除两边，略去 o 的项，即得 。反过来就知曲线nyx下的面积是 。牛顿接着给出了另一条法则：若 y 值是若干项之mnyx/mnzx和，那么所求面积就是由其中每一项得到的面积之和，这相当于逐项积分定理。由上述可知，牛顿分析学以无限小增量“瞬”为基本概念，但却回避了流数简论中的运动学背景而将“瞬”看成是静止的
11、无限小量，有时直截了当令为零，从而带上了浓厚的不可分量色彩。第二篇论文流数法可以看作是 1666 年流数简论的直接发展。牛顿在其中又恢复了运动学观点，但对以物体速度为原形的流数概念作了进一步提炼，并首次正式命名为“流数” （fluxion） 。牛顿后来对 流数法中的流数概念作了如下解释：“我把时间看作是连续的流动或增长，而其他量则随着时间而连续增长，我从时间的流动性出发，把所有其他量的增长速度称之为流数，又从时间的瞬息性出发，把任何其他量在瞬息时间内产生的部分称之为瞬” 。流数法以清楚明白的流数语言表述微积分的基本问题为：“已知表示量的流数间的关系的方程，求流量间的关系” 。流数语言的使用，使
12、牛顿的微积分算法在应用方面获得了更大的成功。无论是分析学还是流数法都是以无限小量作为微积分算法的谁基础，所不同的是：在流数法中变量 x，y 的瞬 ， 随时间瞬 o 而连续变化；而在分析学poq中变量 x，y 的瞬则是某种不依赖于时间的固定的无限小微元。大约到 17 世纪 80 年代中，牛顿关于微积分的基础在观念上发生了新的变革，这就是“首末比方法”的提出。首末比法最先以几何形式在自然哲学的数学原理一书中发布，其详尽的分析表述则是在其第三篇微积分论文曲线求积术中给出的。曲线求积术是牛顿最成熟的微积分著述。牛顿在其中改变了对无限小量的依赖并批评自己过去那种随意忽略无限小瞬 o 的做法：“在数学中，
13、最微小的误差也不能忽略。在这里，我认为数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述” 。在此基础上定义了流数概念之后，牛顿写道：“流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量比。确切地说，它们构成增量的最初比” 。牛顿接着借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比。他举例说明自己的新方法如下：为了求 的流数，设 x 变为 ， 则变为nyxonx，构成两变化的“最初比”：12nnno，然后“设增量 o 消逝，它们的最终比就12nnnxxxo是 ”，这也是 x 的流数与 的流数之比。1nxn这就是所谓“首末比方法” ，它相当于求函数自变量与因变量变化之比的极限，因
14、而成为极限方法的先导。牛顿在曲线求积术中还第一次引进了后来被普遍采用的流数记号： ， ， 表.x.y.z示变量 x，y，z 的一次流数（导数） ， ， ， 表示二次流数， ， ， 表示三次流数，.x.y.z等等。牛顿对于发表自己的科学著作态度谨慎。除了两篇光学著作，他的大多数菱都是经朋友再三催促才拿出来发表。上述三篇论文发表都很晚，其中最先发表的是最后一篇曲线求积术 ，1704 年载于光学附录；分析学发表于 1711 年；而流数法则迟至1736 年才正式发表，当时牛顿已去世。牛顿微积分学说最早的公开表述出现在 1687 年出版的力学名著自然哲学的数学原理 （Philosophiae naturalis principia mathematica，以下简称原理 ）之中，因此原理也成为数学史上的划时代著作。
