1、1第四章典型例题分析例、设 在 处有二阶导数，且 ，求 。)(xf0 2)0(,1)(,0)( fff 20)(limxf解： 由 连续得， ，故 1)(limxf 1)0(2)(li21li)(lim0020 fxfffxf xx例 2若函数 具有连续的一阶导数且 ，求 。)(f )(“0f 2000)()(limxxffx解： 2)()(21)(lim)(lim21li2) 0000000 00 xffxfxffxff fxx xx例 3、若函数 在 可导，求常数0,2sin1)(xbeaf ba,解：由 在 可导得 在 连续，所以)(xf0)(f，从而 ，即 。1lim00feafxx
2、0)(lim0xxea1a，bbf xx 2li2sn1li)( 00 ，21li21li)(1lili)( 00200 xxexexef xxxx所以 ，即 。21b4例 4、证明：对任意的 ，证明 。Rx221)ln(1xx证：设 ，则 ， 为唯一驻点，由22)ln(1)(xf )ln(f 0x得 为极小值点，从而为最小值点，故对任意的 ， 。02 x R0)(ff例 5、证明：当 时， 。ex1证：设 ，则 ，令 ，解得唯一驻点为 ，且 ，xf)()(xf 0)(xf 0x01)(f2所以 为极小值点，从而为最小值，所以当 时， ，即 。0x 0x0)(fxf xex1（方法二）设 ，则
3、 ，令 ，解得唯一驻点为 ，xef1)( 1)(ef 0当 时， ，故 在 上单调减少，从而当 时，xxf,x)(fxf当 时， ，故 在 上单调增加，从而当 时，00)(f)(x)00总之，当 时， ，即xfxex1例 6、证明 时， 。0!3sinx证： ，则在 内 ， ，!i)(3xf),0(21cos(xxf xfsin)(，且 在 处连续，1cosf ,fxf0所以 在 上单调增加，从而 时， ，)(x),0)(fxf故 在 上单调增加，即有 时， ，f 0x)(于是 在 上单调增加，故 时，)(x), 0fxf例 7. 证明当 时， 20xxsin证明（1）先证：当 时， 。法一：
4、（利用单调性） 设 ，则 在 上连续，且在 内xfsin)()(f2,0)2,0(，所以 在 上单调减少，从而当 时， ，即01cos)(xf )(xf2,0)(fxf。sin法二：（利用微分中值定理）由拉格朗日中值定理得，存在 ，使得),0(x，由于 ，所以当 时， 。)0(cos0isxx1cos2sin（2） 证明：当 时， 。2xin法一：（利用单调性）设 ，则 在 上连续，且 。令xfs)()(f,0 2cos)(xf，得 。0)(xf arco当 时， ，所以 在 上单调增加，从而当 时，0)(xf)(xf,0 0x3；当 时， ，所以 在 上单调减少，从而当0)(fxf 2x0)
5、(xf)(xf2,0时， 。200)(ff总之，当 时， 。xxsin法二：（用最值 ） 设 ，则 在 上连续，从而有最大值和最小值。f2)()(xf2,0令 ，得 。再由 ， 得，02cos)(xf arcosxsinx0)2(f在 上的最小值为 ，最大值在 处取得。所以当 时， ，,0)2(f0x)(xf即 。xsin2本例还可以这样证：只需证明不等式 在 内成立令 ，1sin2x)2,0(012sin)(xxf 则 在 上连续，在 内可导，且 。)(xf2,0)2,0( 2sinco)(xf令 = ， ，则 在 上连续，在 内 ，gxsinco,xg,0),0(0sin(xg所以 在 上
6、单调减少，于是 时， ，从而 ，即 在)(2,0 2)xg)f)(f上单调减少，故当 时 。2,0x 1)(sin()fff注：利用导数的性质证明不等式，主要有以下思路：利用微分中值定理；利用函数的单调性；利用最值；利用函数的凹凸性。例 8已知 在 内可导，且 ， ，求 的)(xf),exfx)(lim)1()limli xfcxx c值。解：由已知得 在 上可导，满足拉格朗日中值定理的条件，故 ，使得)(f,1 ),(，并且 时， 。)(xf x从而 。所以 。efffxx )(lim)(li)1(lim ecxlim显然 （若 ，则 ） ，且0ccxxx 1lili4， 故 ，即 。cxc
7、xxx ec221limli ec221例 9求极限(1) ; （2） ; （3） .xxsinli20 xx10)(sinlmexxlim解：（1） 6132lim 31cosli)0(sinlsililislni0 230202020 x xxxx xxx（2） （法一） 21coslim01sinlm1sin1sin010 0)(sinli)(sinl eeeexe xxxxxxexx 法二: 。2sincol0)l(sim)ln(si1010 0i)(ilmxxxxx eeexxx （3） 261lim32)1ln(im)1(lnlim)1ln(lim)1(li )1ln(lili)(
8、lili 0020200 2)1ln(0)1ln(0101 etetettett tetetex ttt tttttxtx 注：用洛必达法则计算极限时，注意利用等价无穷小代换等方法来化简；若某因子的极限存在并且不为零，或某加数的极限存在，应该及时利用极限的四则运算求出，以简化极限；多次使用洛必达法则时，必须每次使用前验证洛必达法则的条件。例 10设 ，求极限3,21,0iaii（） ； （） nnn321lim nnna3lim121解：（） ，nnnn aaan 13211321321 ,x,x 5即 。,max33,max 32112112annnn又因为 ，所以由夹逼定理得,ax,li
9、32112nn。,ma3lim32121an（）由于， 3213lnl1lnllnlim3lnlnim 3lnln0132101321 213210210 21imili aeee eaaaaata tatttttxtxx tttttt t 所以 。321121linnn例 11设 在 处连续，且 ，问 是否是 的极值点，若是，是极大值)(xfa1)(limaxfax)(xf点还是极小值点。解：由 在 处连续得 ，即 为)(f 0)1()li)(li)( fffaxax ax的驻点，又 ，所以 是 的极大值点。x 01li)( afx ax)(f例 12已知 在点 的邻域里有定义，且 ，其中
10、为正整数， ，讨论f0 kxfnx)(lim00 n0k在点 处是否取极值。)(xf0解：由极限的保号性，若 ，则存在点 的某空心邻域，使得 ；若 ，则存0k0x 0)(0nxfk在点 的某空心邻域，使得 。即存在点 的某空心邻域，使得 与 同0x)(0nf 0xnxf)(0号。 （1）若 为偶数，则在点 的某空心邻域里， 与 同号。nx)(0fk当 时， ，从而 为极小值；0k)(0fxf )(0f6当 时， ，从而 为极大值。0k)(0xff )(0xf（2 若 为奇数，则在点 的某空心邻域里， 与 同号。n0 nxf)(0k在 的左邻域里， 与 异号，在 的右邻域里， 与 同号，即在 的
11、左、0x)(0xfk )(0xfk0x右邻域， 异号，从而 不是 的极值。)(0f0f)(xf总之，若 为偶数且 ， 为极小值；若 为偶数且 ， 为极大值；若 为奇数，nk)(xnk)(0xfn不是 的极值。)(0xf)(f注：由 ， ，我们还可以得到以下结论。kxfx)(lim00 )0,(k（1） ，0)()(li)li 0000 kxxffxx 即 ，从而 在 处连续。(li00ffxf（2）若 ，则 ，即 。1 0)()(lim)(li 100000 kxxfxxx 0)(xf若 ，则 ，从而 在 处不可导。 100)(li)(lim00 xfxfxx )(xf0利用以上结果，练习：设
12、 满足 ，则_。)(f )()(lim200 Afx 是极小值； 是极大值； 在 处取极值； 在 点处可导且)(0xf 0xffx)(xf0。 正确选项为。例 13已知 在 上连续， 在 内存在且单调增加，证明：在 内，)(xf),)(,0)(xff),),(函数 也是单调增加的证明： 。对于任意的 ， 在 上满足拉格朗日中值定理的条2)()(xffxf 0x)(f,x件，所以 ，使得 ，即 ，从而),0()(0()ffff)(xxfxf2。701 32y由于 在 内单调增加，且 ，所以 ，从而 ，即有在)(xf),0x0)(fxf 0)(xf内，函数 单调增加,f(例 14 设 ，求 。 2
13、)1lnim20xbax ba,解： ，所以21li)l(i 020 xxx，解得 。又1li0bxax a，所以 。2121lim2lim00 bxxxx 25例 15已知 有二阶连续导数， 的图形如图所示， ，求)(fy)(f 6)3(,4)(,1)(fff的极值和拐点。)(xf解：由图 ，所以 有0)3(,1f )(xfy两个驻点 。x在 的左邻域， ，在 的右邻域，xy1x，所以 为极小值点，且极小值为 。0y11)(f在 的左右邻域，都有 ，所以 不是极3x0y3x值点。由图观察得 。)3(,)2(ff在 的左邻域， 单调增加，从而 ，在 的右邻域， 单调减少，从而 ，所以xy0y2
14、xy 0y为拐点。)4,2(在 的左邻域， 单调减少，从而 ，在 的右邻域， 单调增加，从而 ，所以3xyy3xyy为拐点。)6,(总之， 的极小值为 ，拐点为)(xfy1)(f 和 。)4,2(6,x8例 16某商品进价为 （元/件） 。根据以往经验，当销售价为 （元/ 件）时，销售量为 件， 均abccba,为正常数，且 ，市场调查表明,销售价每下降 ，销售量可增加 。现决定一次性降价。试b34%1040问，当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求最大利润。解：设降价后的销售价为 ，增加的销售量为 ，总利润为 ，则px)(xL，解得 。从而 。bcpx1.04cb4 )(4)( xcabc
15、apL令 ，得唯一驻点 ，且 ，032)(axcL bx2)4302)(xL所以 为极大值点，从而为最大值点，b)4即定价为 （元）时利润最大，最大利润为 （元） 。p185 2)45(16ac*例 17. 讨论方程 （其中 有几个实数根。axln)0分析：讨论方程实数根的个数时，经常利用“函数在其每个单调区间上最多有一个实数根” ，从而函数有几个单调区间就最多有几个实数根。然后在每个单调区间上考察能否找到异号的两个点，若能，由连续函数的零值定理可知函数在该单调区间上有零点，否则，函数在该单调区间上就没有零点。解: 设 ，则 在其定义域 上连续，且 。axxfln)()(f),0(xaxf1)(令 得 。当 时， ， ；当 时， 。011,0xf,1a0)(f所以 在 处取得极大值 。)(xfaln)(af又因为 ， （其中利用了 ） 。)(lim0fx )l(im)(lixxfx 01limnlixx所以当 ，即 时，方程只有一个实根。01lnaf ea1当 ，即 时，方程有两个实根。)(当 ，即 时，方程没有实根。laf e
