1、兼职赚钱，获得经验，得到知识！http:/ xf x x x 解： 1 22 32 1 2 20 0 10 11 81 .2 2 6 3x xf x dx x dx x dx x （13） 20 2a dxx a x a 解： 22 20 001 1 1 1 2 1 3ln ln .2 2 2aa adx x adxx a x a a x a x a a x a a （14） 221 1shshdxx解： 2 21211.1sh shshshdx arshxx 兼职赚钱，获得经验，得到知识！http:/ 1;21, 1.2x xf x x x xx x 。(4) 10f x t x t dt
2、解： 0x 时， 13 21 1 20 001 .3 2 3 2t xt xf x t x t dt t xt dt 1 0x 时， 1 12 20 012 3 3 2 301.2 3 3 2 3 2 3xxxxf x t x t dt xt t dt t xt dtxt t t xt x x 1x 时， 12 31 1 20 001.2 3 2 3xt t xf x t x t dt xt t dt 所以 31 , 0;3 21,0 1;3 2 31, 1.2 3x xx xf x xx x 。7. 设k为正整数，试证下列各题：（1） cos 0.kxdx证明： 1cos sin 0.kxd
3、x kxk （2） sin 0.kxdx证明： 1sin cos 0.kxdx kxk 兼职赚钱，获得经验，得到知识！http:/ lxdx证明： 1cos sin sin sin2cos cos 0.2 2kx lxdx l k x l k x dxl k x l k xl k l k （2） cos cos 0;kx lxdx证明： 1cos cos cos cos2sin sin 0.2 2kx lxdx l k x l k x dxl k x l k xl k l k （3） sin sin 0;kx lxdx证明： 1sin sin cos cos2sin sin 0.2 2kx l
4、xdx l k x l k x dxl k x l k xl k l k 9. 设 2, 0,1 , 1,2 .x xf xx x 兼职赚钱，获得经验，得到知识！http:/ 1,2 .2 6x xx xx 因为 2 31 1 1 11 1lim lim 1 lim lim2 6 3 3x x x xx xx x ，所以 x 在 1x 处连续，在其它点显然连续，所以 x 在 0,2 内连续。10. 设 1sin ,0 ,20, 0 .x xf xx x 或求 0xx f t dt 在 , 内的表达式。解： 0x 时， 0 00 0x xx f t dt dt ；0 x 时， 0 0 01 1
5、1 cossin cos .2 2 2 2xx x xx f t dt tdt t ；x 时， 0 00 01 1sin 0 cos 1.2 2x xxx f t dt f t dt f t dttdt dt t ；兼职赚钱，获得经验，得到知识！http:/ cos ,0 ;2 21, .xxx xx 11.用定积分求下列各和数的极限：（1） 2 2 2 2 2 2lim 1 2nn n nn n n n 解： 2 2 2 2 2 22 2 21 12 00lim 1 21 1 1 1 1 1lim1 21 1 11 arctan .1 4nnn n nn n n nn n nnn n ndx
6、 xx （2） 1 2 1lim sin sin sinnnn n n n 解：110 01 2 1 cos 2lim sin sin sin sin .nn xxdxn n n n （3） 3 3 31 n+2lim nnn n nn n 解： 3 3 313120 01 n+2 1 1 2 1 1lim lim 1 1 1n2 4 2 21 1 .3 3 3n nn n n nn n n n n n n nxdx x (4) 11 2lim 0p p ppnn pn 解：兼职赚钱，获得经验，得到知识！http:/ 0.2x xF x xx 作为一个原函数，而 .x dx F x C 兼职赚
7、钱，获得经验，得到知识！http:/ 一曲线通过点 2,3e ，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程。解：设曲线为 y f x ，则 1dydx x ，所以 1 lny dx x Cx 。由 2 3y e 可得 1C ，所以所求曲线为 1 ln .y x 3. 一物体由静止开始运动，经 t s 后的速度是 23 /t m s ，问：（1） 在3s后物体离开出发点的距离是多少？（2） 物体走完360m需要多少时间？解：（1）设 23ds v t tdt ，所以 2 33s t dt t C 。显然 0 0s ，所以 0,C 3.s t t所以 33 3 27.s （2）由
8、 3 360s t t 可得 3 360.t 4.证明函数 arcsin 2 1x ，arccos(1 2 )x 和2arctan 1xx 都是21x x的原函数。证明： 2 22 22 22 1arcsin 2 1 ,1 2 12 1arccos 1 2 ,1 1 212 1 12arctan ,1 11 21 1xx xxxx xxx xxxx x x x xx x 兼职赚钱，获得经验，得到知识！http:/ 换元积分法习题4.41. 求下列不定积分：（1） 5te dt解： 5 5 51 15 .5 5t t te dt e d t e C （2） 33 2x dx解： 43 3 3 2
9、13 2 3 2 3 2 .2 8xx dx x d x C （3） 1 2dxx解： 1 21 1ln1 2 .1 2 2 1 2 2d xdx x Cx x （4） 3 2 3dx x解： 323 32 31 1 2 3 .3 22 3 2 3d xdx x Cx x （5） sinxbax e dx 解： 1 cossin sin .x x xb b bx axax e dx axd ax b e d be Ca b a （6） sin t dtt解： sin 2 sin 2cos .t dt td t t Ct （7） 2xxe dx解： 22 2 21 .2 2xx x exe dx
10、 e d x C 兼职赚钱，获得经验，得到知识！http:/ 2cosx x dx解： 22 2 2 sin1cos cos .2 2xx x dx x d x C （9）22 3x dxx解： 222 21 1 2 32 3 .6 32 3 2 3x xdx d x Cx x （10）3431x dxx解： 34 44 43 3 1 31 ln1 .1 4 1 4x dx d x x Cx x （11） 2 12 5x dxx x 解： 2 22 21 1 1 12 5 ln 2 5 .2 5 2 2 5 2x dx d x x x x Cx x x x （12） 2cos sint t d
11、t 解： 2 231cos sin cos coscos .3t t dt t d tt C （13） 3sincos x dxx解： 3 3 2sin 1 1cos .cos cos 2cosx dx d x Cx x x （14） 3sin cossin cosx x dxx x解： 233 3sin cos 1 3sin cos sin cos .2sin cos sin cosx x dx d x x x x Cx x x x 兼职赚钱，获得经验，得到知识！http:/ 10 2tan secx xdx解：1110 2 10 tantan sec tan tan .11xx xdx x
12、d x C （16） ln lnlndxx x x解： lnln ln lnln .ln lnln lnlndx d x x Cx x x x （17） 22arcsin 1dxx x解： 222arcsin 1 .arcsinarcsinarcsin 1dx d x Cxxx x （18）2arccos2101xdxx解： 2arccos 2arccos2arccos210 1 1010 2arccos .2 2ln101x xxdx d x Cx （19） 22tan 11xdxxx 解： 2 2 2 22tan 1 tan 1 1 ln cos 1 .1xdxx x d x x Cx （
13、20） arctan1 x dxx x解： 2arctan arctan2 2 arctan arctan arctan .11x xdx d x xd x x Cxx x （21） 21 lnlnx dxx x解： 2 21 ln 1 1ln .lnln lnx dx d x x Cx xx x x x 兼职赚钱，获得经验，得到知识！http:/ sin cosdxx x解： 2 ln tan .sin cos sin2d xdx x Cx x x （23） lntancos sinx dxx x解： 2lntanlntan lntantan lntan lntan .cos sin tan
14、 2 xx xdx d x xd x Cx x x （24） 3cos xdx解： 33 2 sincos 1 sin sin sin .3xxdx x d x x C （25） 2cos t dt 解： 2 1cos cos2 121 1 cos2 22 4sin2 .2 4t dt t dtdt t d ttt C （26） sin2 cos3x xdx解： 1sin2 cos3 sin5 sin21 1 cos cos5sin5 5 sin .10 2 2 10x xdx x x dxx xxd x xdx C （27） cos cos2xx dx解： 2 34cos cos 2 1 2
15、sin sin 2sin sin .2 2 2 2 3 2x x x x xx dx d C （28） sin5 sin7x xdx兼职赚钱，获得经验，得到知识！http:/ 1 1 1sin5 sin7 cos2 cos12 cos2 2 cos12 122 4 24sin2 sin12 .4 24x xdx x x dx xd x xd xx x C （29） 3tan secx xdx解： 33 2 sectan sec sec 1 sec sec .3xx xdx x d x x C （30） x xdxe e解： 2 arctan .1xxx x xdx de e Ce e e （3
16、1）219 4x dxx解： 2 22 2 22 2arcsin9 41 1 1 9 43 3 .2 8 2 49 4 9 421 3d x xd xx xdx Cx xx （32）329x dxx解： 3 2 22 22 2 29 9 1 99 ln 9 .9 9 2 2 9 2 2x x x xdx x dx d x x Cx x x （33） 22 1dxx 解： 21 1 12 1 2 2 1 2 11 1 1 12 1 2 12 2 2 1 2 2 2 11 2 1ln .2 2 2 1dx dxx x xd x d xx xx Cx 兼职赚钱，获得经验，得到知识！http:/ 1
17、2dxx x 解： 1 1 1 1 1 1 12 11 2 3 2 1 3 2 3 11 2ln .3 1dx dx d x d xx x x x x xx Cx （35） 2 2x dxx x 解： 2 2ln 2 ln 12 1 1 12 1 .2 3 2 3 1 3 3x xx dx d x d x Cx x x x （36） 22 2 0x dx aa x解： 2 2 22 22 22 2 22sin sin 1 cos2 sin cos2 2arcsin .2x dx a ax a t a tdt t dt t t t Ca xa x x a x Ca a （37）2 1dxx x
18、解： 1x 时，2 2 2211arcsin .1 1 11 1ddx dx xCxx x xx x 1x 时，2 21 1arcsin arcsin .1 1dx dtx t C Ct xx x t t 总之，21arcsin .1dx Cxx x 兼职赚钱，获得经验，得到知识！http:/ 32 1dxx 解： 0x 时， 23 3 3 223 22 2111 1 .2 1 11 11 11 1ddx dx xxC Cxx xxx x 0x 时， 3 3 2 22 2 .1 11 1dx dt t xx t C Ct xx t 总之， 3 22.11dx x Cxx （39）2 9xdxx
19、解： 3x 时， 2 2 229 3sec 3tan 3 sec 1 3 tan9 33 arccos .3x dxx t tdt t dt t t Cxx Cx 3x 时，2 2 229 9 9 33 arccos39 33 arccos .3x u udxx u du Cx u ux Cx 总之，2 29 9 33 arccos .3x xdx Cx x （40） 1 2dx x解：兼职赚钱，获得经验，得到知识！http:/ 22 , ln12 11 22 ln 1 2 .dx t tx t x dt t t Ctxx x C （41）21 1dxx 解：2 22cos 1sin 11 c
20、os1 1 2cos21 1tan arcsin .2dx tx t dt dtttxt xt C x Cx （42）21dxx x 解： 22cos 1 cos sinsin 1sin cos 2 sin cos1ln sin cos1 1 sin cos2 2 sin cos 2 2ln 1arcsin.2 2dx t t tx t dt dtt t t tx xt tt td t t Ct tx xxC （43） 2 12 3x dxx x 解： 22 2 2 22 21 2 1 1 11 2 22 3 2 2 2 2ln 2 ln 2 3 12arctan 2arctan .2 22 2x tdxx t dt d t dtx x t t tt x xt xC C （44） 32211x dxx解：
