1、习题 411 （1）记一般项为 ，则 = ， = ， = ， = ，nu122u13u124u12故 =（2）记一般项为 ，则 =(-1) ， =(-1) ， =(-n112131) ，13故 =(-1) nu1n（3）记一般项为 ，则 = ， = ， = ， = ，n1!2x2!x3u!2x4!2x故 =nu!（4）记一般项为 ，则 =(-1) ， =(-1) ， =(-1)n112a2u121a3u，1321a故 =(-1)nu12an2 （1） 2222 31n（2） 645431n（3） 15051n（4） 321!n3 （1）该级数为几何级数， ，由于 ，故该级数收敛。r4143r（
2、2）该级数的一般项 ，故由级数收敛的必要条件可知，)(051nunn该级数发散。（3）该级数为几何级数， ，由于 ，故该级数发散。123r123r（4）设 4321s32因为 为 的几何级数， 为 的几何级数，故 ， 均为收敛级数，s1rr32s故原级数收敛。习题 421 （1）因为 ，而级数 发散，故该级数发散。21limn1n（2） 因为 ，而 发散，故原级数 发散。u1221n1nu（3）因为 ，而且 收敛，故原级数收敛。45lim4li 22nnn 12n（4）因为 ，而且 收敛，故原级数收敛。nnn2sil21sil 12n2 （1） ，因为 ，nu3 123)(lim23)(lil
3、im11 nnunn故级数发散。（2）因为 ,故级数收敛。13)(1li3)(lili 2211 nnun（3）因为 ,12)1(lim2)(li!2)1(limli1 ennnu nnnn故级数收敛。（4）因为 ，121lim2tan1li2tan)1(limli 11 nnnnnu 故级数收敛。3.（1）因为 ，故级数收敛。1lili nun（2）因为 ，故级数收敛。0)l(imlin（3）因为 nnnnu1212)3(li3lili ，故级数收敛。9)()1l()(li 21l2een（4）因为 ，abunnlimli故当 时， ，级数收敛；当 时， ，级数发散；ab1a1b当 时， ，
4、无法判断。4 （1） ，而 ，nnu)43( 143lim)43(1lilim1 nnun故级数收敛（2） ，而 ，故级数收敛。!4nu 10)1(li!)1(lili 441 nnun（3）因为 ，而级数 发散，故级数发散。12lim1)(lilim1 nn 1n(4）因为 ,12)1(li2)(li!2)(lili 11 ennnu nnnn故级数收敛。（5）因为 ，故级数发散。01)(lim2nun（6） ，而级数 发散，从而 发散，故原级数发散。abn11n1na5 （1） ，显然 为一交错级数，且满足 ， ，21)(unn1nu1nu0limn因而该级数收敛。又 是 的 级数，所以
5、发散，121nnp1n即原级数是条件收敛。（2）对于 ，故 收敛，31lim3lilim11 unnn 1nu从而原级数绝对收敛。（3） ，显然 收敛，故原级数绝对收敛。nn23)1(1112nnnu（4） ， 为一交错级数，又 ，)l()(1unn1n )(0)l(nun且 ，故由莱布尼兹定理可知，原级数收敛。但由于 ，1n 1n发散，故原级数是条件收敛。1nu（5）因为 ，故级数发散。123)(2lim!li21 nnnn6 （1）因为 为几何级数，且 ，0111 4)4(4)(nnnn 41r其和为 。5)(r（2）因为 1 00111 )31()2()3()2(3(263n nnnnn
6、而由 知 ，其和为0)21(nr21r由 知 ，其和为0)3(nr231r故 231261 nn7设排球每一次下落后的高度依次为: ,hhhhnnn)43()(43,14232121反弹的总距离 hsnnn 31)43(011 8由已知可得： ,)(sini)90cos(,ini,ii,si 432bEFEFGbDCDCoL=|CD|+|DE|+|EF|+|FG|+ =sin1siin)(siin)(si10 bbbn习题 4-31 （1） 2)(2limli 211naRnn当 时，级数收敛，所以该级数的收敛域为2x 1,（2） 1lili1nan当 时，级数收敛，当 时，级数发散，4x6x
7、所以该级数的收敛域为 ),4（3）该幂级数只含有奇次幂项，记 ，则有nnxu)3(2121211 )()(limlinxunnnn 当 时，级数收敛，当 时，级数发散，于是收敛半径3x33R当 时，级数发散，所以该级数的收敛域为 )3,(（4）该幂级数只含有偶次幂项，记 ，则有nnaxu2)211)(limli axunnn当 时，级数收敛，当 时，级数发散，于是收敛半径2ax2R当 时，级数发散，所以收敛域为 )2a,(2 （1）设 )1()(1xnxs)1()()( 1010 xddxnxn故 )x()()(s2（2）设 )1nx)(12)x()x(s21n2)1(1ln2 )1ln()l
8、(21)(110)(0000222 xxdxdxxxdsxxxx（3）设 )1x()n2()s1则 )(x)()x(1n1n令 )()()u1n )1x(xd)(21nx0)()()(u22 故 )1x()1(x3)x1()s 22（4）设 )n(21x)x(s2n1 )()(2n )1x(1lndx10sx )()()l()(x0 习题 4-41 (1)12 222 12311 1()()112()4!444()!() nnnnx xnxxx （2）1nn212 )x()!()(xcossi（3）设 l()f212 2211 1()()2()() (!()() nnnfxx xnx )1x(
9、)1n2(!)1(xd!d)0f(n n2x0nx （4） )x!alea0nalx （5）设 )1l()(f)1x(nxln1x1n )1x()1nx)(xd)d0f)(1nx0（6） !)2(1nn22 )1x(x!)(x1n1n2 24x134x12x12x3)(f2 0nn0n )()4(110()(62)23nxx注：收敛域：4716212xxx3 （1） 08o642)10(!)(!)1(!cs 462|r95.)(!)0(!cos42（2） )1x()n(!11xn44 1n 1n42104 )2(!)2(2d4320)(!65|r496.0)21()(12dx15204 4 设
10、 x!n)(s1 2121() ()!()!()!nnxnnx ex则1n2e(s!5 0nn)Mm(11mM由于 很小，则|r20习题 4-51、解：（1）因为 ;22110 eedxax)4(12)() cossin41 incocos22 222 neaaxdexeenxann xxxn)4()1 2cossinsi2222 neb anxdexxden所以 的傅氏展开式为)xf。),210,)2( )sinco(41(22nx xef n（2）因为 ;330 xda22 22 )1(coscos6 sin6in1xdnx xdn （奇函数在以零为对称中心的区间上的定积分等于零） 。0i
11、31bn所以 的傅氏展开式为 。)(xf ),(,cos)1(2)( xnxfn（3）因为 是奇函数，所以 。)(3sin2x ),210(nan1938)1( 13sinco13sinco631sin1sin2cs2i200 n dxxdxbnn 所以 的傅氏展开式为 。)(xf ),(,sin19)(38)(12 xxfn2、解：（1）因为 为偶函数，所以 ，而21f),0(,b，6)(4)(220102dxdxa),21( )1(2sin82cos4)sin(4cs12cos1 2032200 n nxxnxdxxnxn 由于 在 内连续，所以xf,。),(,)2cos()1(12)(2
12、xnfn（2）因为 为奇函数，所以0),()xf 1l,0且naln xddlnxfb1sin)(2si(1100i2x21snsix 101021010210 cos2coscoscos2)()( xdnxnxdnxnd 1031022cos)(4sin)(4in)(ixxd12,)(80)(4s)(333kn xnxfn ,)12si()(133 3解：因为 为偶函数，所以 ；coxf ),21(0nb0coss2xddanxn0 )21c()1c(021si21si nncos121nn),0(421n令 得 ，且 在 上连续，0acos)xf,12)(,14cos2cosn xnx 4
13、解：作奇延拓，得 ,使有(),xF0,),(,0,xffF计算系数：)0(,sin1)( ),21(,sin21cos2i2;,0, 0 xxf xxndbna 5解：作偶延拓： ，计算系数：,)2F 12200222 )(,cos)(83)(, ),1(,8)(s4cs;3nn nxxfbdxda 6解：用正弦级数逼近：作奇延拓，由题知周期为 ，由系数公式：2l),0(,an20,sin218)(sin02sin)(4)(4 2coscs42coscs42cos2cos 2cos4csin)(42cos )2(cos22cossinin)2(cos i)(sin)222110 21101022110 xxf nnnnxdx nnn xndxxdx dxd xxdlflbnn ：用余弦级数逼近：作偶延拓，由系数公式： ),210(,nb0210 dxxdfla 1021210coscos)(sin2 2)(c xdnxdnxd xlfln 102222110 212110cos)( )1(4)(s8co)(4 sinsi4sinsi4cs)(sin2 iiiin2innxlaxfxx xdxxdx 12 20,cos)1(4n nx
