1、1,第五章 控制系统的频率特性分析法定义和几何表示 频率特性 典型环节及开环系统的幅相特性（极坐标图）绘制 典型环节及开环系统的对数频率特性（伯德图）频率稳定判据（奈氏判据） 稳定性分析 相角裕度稳定裕度 幅值裕度典型二阶系统的时域指标估算 动态性能分析 高阶系统的时域性能指标估算根据闭环频域指标估算时域指标低频段：决定系统的稳态性能 三频段与系统性能的关系 中频段：决定系统的稳定性及动态性能高频段：决定系统的抗高频干扰能力,频域分析法,2,基本思想：通过频率特性的图形对系统进行分析。数学模型频率特性。主要优点：,（1）不需要求解微分方程； （2）形象直观、计算量少； （3）可方便设计出能有效
2、抑制噪声的系统 ；,5.1 频率特性的基本概念 一、频率特性的定义稳定的线性定常系统，其对正弦函数输入下的稳态响应，称为频率响应。系统的频率特性与其性能有密切关系。通过研究频率特性可以掌握系统性能。用研究频率特性的方法研究控制系统称为控制系统的频率分析方法。 系统的闭环传递函数为,4,输入为正弦信号时，即则系统输出的拉氏变换为两边取拉式反变换，系统对正弦输入的响应为,5,系统的稳态输出为又则,6,系统框图及输入信号和输出信号之间的关系：,7,频率特性包含幅频特性和相频特性。输出与输入的振幅比，称为系统的幅频特性。它描述了系统对不同频率的正弦函数输入信号在稳态情况下的衰减（或放大）特性；输出与输
3、入的相位差，称为系统的相频特性。相频特性描述了系统的稳态输出对不同频率的正弦输入信号在相位上产生的相角滞后或相角超前的特性；幅频特性和相频特性，即在正弦信号输入下，线性定常系统，其输出的稳态分量与输入的复数比，称为系统或环节的频率特性。频率特性表示了在稳态情况下，输出、输入正弦函数信号间的一种数学关系。二、频率特性和传递函数之间的关系,5.2 频率特性的表示方法 一、代数解析法其中,二、图形表示法 1.极坐标图（幅相频率特性图或奈奎斯特图）随着频率的变化，频率特性的矢量长度和幅角也改变。当频率从0变化到无穷大时，矢量的端点便在平面上画出一条曲线，这条曲线反映出为参变量、模与幅角之间的关系。通常
4、这条曲线叫做幅相频率特性曲线或奈奎斯特曲线。画有这种曲线的图形称为极坐标图。,2.博德图（对数频率特性图）由两张图构成：一张是对数幅频图，一张是对数相频图。两张图的横坐标都是采用了半对数坐标，用对数值lg标度，单位是rad/s。分度不是线性分度，而是对数分度，频率每变化10倍，横坐标就 增加一个单位长度。这个单位长度被称为“十倍频程”，记做dec。对数幅频特性图的纵坐标是频率特性幅值的对数值乘20， 即 表示，均匀分度，单位为db。 对数相频特性图的纵坐标是相移角()，均匀分度，单位为“度”。 对数幅频特性图绘的是对数幅频特性曲线，对数相频特性图绘的是对数相频特性曲线。,5.3 典型环节的频率
5、特性 一、比例环节 1.代数表达式传递函数 频率特性幅频特性相频特性 2.频率特性图 （1）极坐标图,（2）伯德图 作法：1）对数幅频图2）对数相频图二、积分环节的频率特性 1.代数表达式传递函数 频率特性幅频特性相频特性 2.频率特性图 1）对数幅频特性,斜率 -20dB/dec,2）对数相频特性图如果有个积分环节串联，则有若=2时，,三、惯性环节 1.代数表达式 传递函数 频率特性幅频特性相频特性 2.图形表达式 1）极坐标图,2.频率特性图 1）对数幅频特性图渐近特性曲线的作法： a.当T1（1/T）时，系统处于高频段此直线方程过（1/T，0）点 且斜率为-20dB/dec,精确曲线的作
6、法：在渐近线上修正 分析：*最大误差在,曲线修正表：2）对数相频特性曲线,以此点为对称点,四、振荡环节 1.代数表达式 传递函数频率特性幅频特性相频特性,2.频率特性图 1）极坐标图重要性质：当00.707时，幅频特性出现峰值。 谐振频率p:谐振峰值Mp:,2）伯德图分析：a.当T1（1/T）时，系统处于高频段它是一条过点(1/T,0)，斜率是-40（dB/dec)的直线。,精确曲线的作法：在渐近线上修正 分析：,注意：在工程上，当满足0.40.7时，可使用渐近对数幅频特性；在此范围之外，应使用准确的对数幅频特性。2）对数相频特性曲线,五、微分环节 1.代数表达式 传递函数频率特性2.频率特性
7、图 1）极坐标图,2）伯德图 注意：纯微分、一阶微分和二阶微分的幅频特性和相频特性，在形式上分别是积分、惯性和振荡环节的相应特性的倒数。因此，在半对数坐标中，纯微分环节和积分环节的对数频率特性曲线相对于频率轴互为镜相；一阶微分环节和惯性环节的对数频率特性曲线相对于频率轴互为镜相；二阶微分环节和振荡环节的对数频率特性曲线相对于频率轴互为镜相。,5.4 系统开环频率特性绘制 分析：方法：利用典型环节的频率特性 （1）分别计算出各典型环节的幅频特性和相频特性； （2）各典型环节的幅频特性相乘得到系统的幅频特性，各典型环节的相频 特性相加得到系统的相频特性。 （3）给出不同的值，计算出相应的A()和(
8、)，描点连线。,极坐标图的近似作法： （1）起点（ =0）：0型：在实轴上K点1型：在负虚轴的无穷远处 与系统的型号有关 2型：在负实轴的无穷远处3型：在正虚轴的无穷远处 分析：,（2）终点（ =）： 在原点，且当n-m=1时，沿负虚轴趋于原点当n-m=2时，沿负实轴趋于原点当n-m=3时，沿正虚轴趋于原点 分析：,（3）与虚轴的交点：（4）与实轴的交点：例,二、对数频率特性的绘制 1.对数幅频特性 方法一：典型环节频率特性相加 方法二：按下面的步骤进行： （1）在半对数坐标纸上标出横轴及纵轴的刻度。 （2）将开环传递函数化成典型环节乘积因子形式，求出各环节的交接频率，标在频率轴上。 （3）计
9、算20lgK，K为系统开环放大系数。 （4）在=1处找出纵坐标等于20lgK的点“A”；过该点作一直线，其斜率等于-20(db/dec)，当取正号时为积分环节的个数，当取负号时为纯微分环节的个数；该直线直到第一个交接频率1对应的地方。 若11，则该直线的延长线以过“A”点。,（5）以后每遇到一个交接频率，就改变一次渐近线的斜率： 遇到惯性环节的交接频率，斜率增加-20db/dec； 遇到一阶微分环节的交接频率，斜率增加+20db/dec； 遇到振荡环节的交接频率，斜率增加-40db/dec； 遇到二阶微分环节的交接频率，斜率增加+40db/dec； 直至经过所有各环节的交接频率，便得系统的开环
10、对数幅频渐近特性。若要得到较精确的频率特性曲线，可在振荡环节和二阶微分环节的交接频率附近进行修正。 2.对数相频特性 方法一：典型环节相频特性相加 方法二：利用系统的相频特性表达式，直接计算出不同的数值时对应的相移角描点，再用光滑曲线连接。,例1 已知某系统的开环传递函数为试绘出系统的开环对数幅频特性。 解：系统由八个环节组成：两个积分环节；三个惯性环节；两个一阶微分环节，它们的交接频率分别为是,按方法二有关步骤，绘出该系统的开环对数幅频特性。3.对数幅频特性与相频特性间的关系什么是最小相位系统？若一个系统的开环传递函数在右半S平面不具有极点及零点，并且不具有纯时间延迟因子，此系统称为最小相位
11、系统。否则，称为非最小相位系统。这种对应关系是：对数频率特性的斜率为-20N（db/dec）时，对应的相角位移是-90N。对数幅频特性与相频特性之间的关系是惟一确定的。,5.5 用频率法分析闭环系统的稳定性 一、在极坐标图中的奈氏判据 闭环系统稳定的充分必要条件 1.若开环传递函数有正极点，且个数为P。闭环系统稳定的充要条件是，开环幅相特性曲线 ，当从-变化到+时，逆时针包围（-1，j0）点的圈数N=P。否则系统不稳定。 2.若开环传递函数无正极点，即个数为P=0。闭环系统稳定的充要条件是，开环幅相特性曲线 ，当从-变化到+时，不包围（-1，j0）点，即圈数N=0。否则系统不稳定。 用式子表示
12、闭环具有正实部特征根的个数Z： 要闭环系统稳定，必须Z=0。 注：逆时针时圈数取“正”，顺时针时圈数取“负”。,例1 某单位反馈系统，开环传递函数为 ，试用奈氏判据判别系统稳定性。 解：由开环传递函数可知， 有一个正极点，即P=1； ：0时，逆时针包围（-1，j0） 点一圈，即N=1。 Z=P-N=0 所以系统稳定。 二、对奈氏判据的两点说明 1.含有积分环节时奈氏判据的使用 当含有积分环节时， 曲线将不封闭，这时需要作增补特性，即从0+按逆时针方向补画v/4个半径为的圈弧。得到封闭曲线后再使用奈氏判据。,增补特性：2.实际的应用方法 只需用：0时的开环频率特性曲线。 这时，奈氏判据的数学表达
13、式变为： 其中N表示当：0时的开环频率特性曲线逆时针围绕（-1，j0）点的圈数。,36,正负穿越以及半次穿越,正穿越：随着的增大，开环幅相曲线逆时针穿越(-1，j0)点左侧的负实轴，记为一次正穿越； 负穿越：随着的增大，开环幅相曲线顺时针穿越(-1，j0)点左侧的负实轴，记为一次负穿越； 半次穿越：开环幅相曲线起始于（或终止于） (-1，j0)点左侧的负实轴，若沿逆时针方向离开（或终止于）负实轴，记为半次正穿越；若沿顺时针方向离开（或终止于）负实轴，则记为半次负穿越。半次穿越次数记为1/2。,例2 某单位反馈系统，开环传递函数为 ，试用奈氏判据判别系统稳定性。 解：考虑积分环节的增补频率特性，
14、 开环系统幅相频率特性表示如下： 由系统开环传递函数表达式中可知P=0 从图中可知N=-1Z=p-N=2，有两个正实部的闭环极点， 闭环系统不稳定。 三、在伯德图中使用奈氏判据 若系统有P个开环极点在右半S平面， 则闭环系统稳定的充要条件是，在对 数幅频特性为正的所有频段内，对数 相频特性与-180相位线的正负穿越 次数之差为P/2。其中随增加 按增 大的方向（自下而上）穿越-180线为正 穿越，其中随增加相角按减小的方向（自 上而下）穿越-180线为负穿越。,例3 若系统开环传递函数为试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。 解：由图可知，对数相频特性 对-180的正、负穿越各一次。 又由于开环传
15、递函数无正极点， 即P=0。根据奈氏判据，闭环 系统是稳定的。,5.6 用频率法分析闭环系统的稳态性能 一、在伯德图上找 因为在对数幅频图上的低频段的斜率与积分环节的个数有关。二、在伯德图上找K 1.0型系统（ =0）,2. 1型系统 斜率为-20db/dec的低频段渐近特性 或其延长线，在=1时的分贝数由开环 放大系数K的值决定。斜率为-20db/dec的低频段渐近特性或其延长线与横轴的交点的频率值与开环放大系数K相等。3.2型系统 斜率为-40db/dec的低频段渐近特性 或其延长线，在=1时的分贝数由开环 放大系数K的值决定。斜率为-40db/dec的低频段渐近特性或其延长线与横轴的交点
16、的频率值的平方与开环放大系数K相等。,5.7 用开环频率特性分析系统的动态性能 一、开环频域性能指标1.截止频率c 对数幅频特性等于0分贝时的值，即截止频率c表征响应的快速性能， c越大，系统的快速性能越好。,2.相位裕度(c) 相频特性曲线在= c时的相角值(c)与-180之差。相位裕量的物理意义是，为了保持系统稳定，系统开环频率特性在= c时所允许增加的最大相位滞后量。 对于最小相位系统，相位裕度与系统的稳定性有如下关系：3.增益裕量G.M.（幅值裕量） 相角为-180这一频率值g所对应的幅值倒数的分贝数。增益裕量的物理意义是，为了保持系统稳定，系统开环增益所允许增加的最大分贝数。,对于最
17、小相位系统，增益裕度与系统的稳定性有如下关系：4.中频宽度h 开环对数幅频特性以斜率为-20dB/dec过横轴的线段宽度h，称为中频宽度。h的长短反映了系统的平稳程度，h愈大，系统的平稳性越好。 二、性能指标与中频段特性 若中频段的斜率为-20dB/dec，则h愈宽，(c)愈大，平稳性越好， c越大，则快速性越好。 中频段的斜率为-40dB/dec，h愈宽，平稳性越差。 中频段的斜率为-60dB/dec，系统不稳定。 重要结论：控制系统要具有良好的性能，中频段的斜率必须为-20dB/dec，而且要有一定的宽度（通常为510）；应提高截止频率来提高系统的快速性。,三、三频段与系统性能的关系1.低
18、频段反映系统的控制精度2.中频段反映控制系统的动态性能3.高频段反映系统的抗干扰能力，斜率越负，抗干扰能力越强。四、频域性能与时域性能的关系 对于二阶系统 1.c与%的关系结论：相位裕量增加，超调量下降，系统动态过程平稳性变好。 2. c与ts的关系 在00.4时，0.85 n c n,，说明在此范围内c 可以替代n。结论：当不变时， c越大， ts越小，系统的快速性能越好。,5.8 用闭环特性曲线分析系统性能 一、闭环频率特性典型的闭环频率特性曲线 （1）零度幅值M(0) 频率为0（或低频）时的幅值。 （2）谐振峰值Mp 闭环幅频特性的最大值。 （3）谐振频率p 出现谐振峰值时的频率值。 （
19、4）频带宽度0b 从0频到b称为频带宽度。 b是闭环频率特性幅值从M(0) 减小到0.707M(0)时的频率，称 为闭环截止频率。,二、闭环频率特性和系统过渡过程的关系 1. 闭环幅频特性的低频区闭环幅频特性M()中靠近零频的低频区特性即M(0)附近，反映了控制系统的稳态性能，即控制精度。结论：若M(0)1，说明系统是0型系统，单位阶跃下有稳态误差；若M(0)=1，说明系统是1型或2型系统，单位阶跃下无稳态误差； 2.闭环幅频特性的中频区闭环幅频特性的谐振峰值Mp反映控制系统的平稳性，谐振频率p反映控制系统的快速性。对于二阶系统有如下关系：结论：Mp的值越小，则超调量超小，系统的动态过程的平稳性越好。p（ 或b）越大，频带就越宽，系统的快速性能越好。,定义和几何表示 频率特性 典型环节及开环系统的幅相特性（极坐标图）绘制 典型环节及开环系统的对数频率特性（伯德图）频率稳定判据（奈氏判据） 稳定性分析 相角裕度稳定裕度 幅值裕度典型二阶系统的时域指标估算 动态性能分析 高阶系统的时域性能指标估算根据闭环频域指标估算时域指标低频段：决定系统的稳态性能 三频段与系统性能的关系 中频段：决定系统的稳定性及动态性能高频段：决定系统的抗高频干扰能力,频域分析法,
