1、第四章 控制系统的根轨迹分析法,4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 4.3 系统根轨迹绘制和开环零、极点对根轨迹的影响 4.4 参量根轨迹 4.5 系统性能的根轨迹分析,4.1 根轨迹的基本概念 一、问题的提出在前一章控制系统的时域分析的讨论中已经知道，只要能求得系统微分方程的特征方程式的根即系统闭环传递函数的极点，则系统的稳定性和动态性能就可以确定。但是在高阶系统中，求解特征根的根是一件很困难的事，在实际工作中难以应用。1948年伊文思根据反馈系统开环和闭环传递函数之间的关系，提出了求解特征方程根的图解方法根轨迹法。根轨迹法是分析、设计线性定常系统的一种图解方法
2、。 二、根轨迹的概念 定义 的某个参数，由 时，系统的闭环特征根在S平面上的变 化轨迹。 例 已知系统的结构图如下图所示，请绘出 时的根轨迹。,解：闭环传递函数为系统特征方程为,有了根轨迹图，可以立即分析系统的各种性能 （1）稳定性 开环增益K从零变到无穷时，根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此系统对所有的K值都是稳定的。 （2）稳态特性 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属于一型系统。因此根轨迹是的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的允许范围。 （3）动态特性 由图中可见，当01时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼震
3、荡过程，且超调量将会随K值的增大而加大。 上述分析表明，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的关系。,一般而言，绘制根轨迹时的可变参量可以是系统的任意参量。但最常用的可变参量是系统的开环传递系数Kg（也称为根轨迹增益）。Kg常规根轨迹Kg以外的参数参量根轨迹 以上二阶系统的根轨迹可以用解析法来求得，但对于高阶系统来说，解析法就不适用了，工程上常采用图解的方法来绘制。,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则本节重点:掌握根轨迹的绘制方法 本节难点：根轨迹的出射角和入射角，以及根轨迹和虚轴的交点 一、根轨迹的幅值条件和相角条件 一般的闭环系统结构框图如图所示，其特征方程为其开环传递函数由等式两边幅角和
4、相角分别相等的条件可得在S平面上的任一点，凡能满足以上幅角和相角条件的，就是系统特征方程的根，就必定在根轨迹上。,开环传递函数通常又可以写为其中 开环传递函数开环零点、极点 即其中 开环零点到S的矢量角开环极点到S的矢量角,在测量相角时，规定以逆时针方向为正。,例 已知开环系统的传递函数如下式，设 为该闭环系统的一个极点，求其对应的传递系数 。式中 为开环有限零点； 为开环极点。解：在上图，各相角必满足 再按幅值条件求得该点的根轨迹传递系数,基本思想: 根据幅值条件确定根轨迹上某一点对应的增益，由相角条件确定根轨迹上的某点位置。,二、根轨迹绘制法则 1.连续性2.对称性 对称性：对称于实轴，国
5、为特征根为实数或为共轭复数，根轨迹必然对称于实轴 3. 起点 （Kg =0）和终点（Kg = ）当Kg =0 闭环系统特征根即由开环系统特征方程式决定，即闭环极点也就是开环极点，根轨迹从开环极点出发。开环零点（有限，无限）为根轨迹终点。设N(s)为m阶，有m个有限开环零点，还有n-m个无限零点。 4 .根轨迹数 条数：开环极点数n，n条,5.实轴上的根轨迹在S平面实轴上的线段存在根轨迹的条件是：线段右侧开环零点（有限零点）和开环极点数之和为奇数。 6.分离点和会合点分离点：根轨迹相遇后又分开的点。分离角：离开分离点角度为会合点：根轨迹相会合的点。会和角：进入分离点的角度为一般来说，两个开环极点
6、之间会有一个分离点，两个有限开环零点之间会有一个会合点。 计算分离点和会合点的依据： 求出的重根要代入原方程，只有当Kg为正，才是分离点和会合点。,j,例 已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹的分离点和会合点。解：系统有一个开环零点为-1，有两个开环极点分别为-0.1和-0.5。根据根轨迹绘制原则可知，根轨迹与实轴相重合的区间为-0.1-0.5,-1。求根轨迹的分离点和会合点：,求对应分离点、会合点的Kg：7.渐近线 （1）渐近线条数： n-m条，根轨迹沿渐近线倾角方向趋向无穷远（2）渐近线交点： 与实轴交于一点 坐标为（，j0）,例 已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹的渐近
7、线。解：系统没有开环零点，有三个开环极点分别为0，-2和-4。8.与虚轴的交点方法一：代数法将s=jw代入系统特征方程，求出w的值。方法二：劳斯判据,例 已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹与虚轴的交点。解：系统的特征方程为:方法一：将 代入特征方程经整理得,方法二：由特征方程可知，该系统为三阶系统，系统型别为一型。 列劳斯表若根轨迹与虚轴相交，则表示系统存在纯虚根，该点对应的Kg使系统处于临界稳定状态，因此又因为一对纯虚根必为数值相同，符号相反的根，所以用劳斯表s2行的系数可以构成辅助方程。,9.出射角与入射角出射角：位于复平面上的开环极点，根轨迹离开此极点与正实轴的夹角。入射角：位
8、于复平面上的开环零点，根轨迹进入此零点与正实轴的夹角。例 求以下特征方程的根轨迹。解：,其等效传递函数为其渐近线为其出射角为,j,10.走向 设系统的闭环特征方程为当 时说明在开环极点确定的情况下，根之和、根之积是一个不变的常数。所以当开环增益Kg增大时，若闭环某些根在S平面上向左移动，则另一部分根必向右移动。,4.3 系统根轨迹的绘制和开环零、极点对根轨迹的影响 一、根轨迹的绘制 （1）系统阶次较低（三阶以下）时，求分离点、会合点可用求与虚轴的交点可用（2）系统阶次高时，求分离点、会合点可用求与虚轴的交点可用劳斯定理。,例 已知系统的结构图如下所示试画出其根轨迹。 解：（1）系统有三个开环极
9、点（起点）： （2）实轴上有根轨迹的区间为0，-1，-4，-。 （3）根轨迹的分离点可按以下公式计算解此方程得 因为在-1，-4区间不可能有根轨迹，所以分离点应为 （4）根轨迹的渐近线,（5）根轨迹与虚轴的交点令 ，得解之得,二、开环零点、极点对根轨迹的影响 1.增加开环零点，使根轨迹往左移。 例 已知系统结构图如下图所示。,2.增加开环极点，使根轨迹往右移。 例 已知系统结构图如下图所示。,R(s),Y(s),j,j,4.4 参量根轨迹前面几个小节中讨论的根轨迹都是以开环增益Kg作为参变量的，这种根轨迹称为常规根轨迹。而在控制系统的分析设计中，有时还要考虑其它参数变化对系统的影响，因此还需绘
10、制除Kg以外的其它参数变化时闭环系统的根轨迹。这种选择除Kg以外其他参量作为可变参量绘制的根轨迹称作参量根轨迹。 一般系统参量根轨迹的绘制步骤可归纳如下： （1）求出原系统的特征方程； （2）以特征方程中不含该参量的各项除特征方程，得等效系统的开环传递函数。 （3）根据上一节介绍的根轨迹绘制规则，绘制等效的根轨迹，即得原系统的参量根轨迹。 系统特征方程如下式所示：以所选可变参量代替Kg的位置等效开环传递函数为,例 已知系统的结构图如下所示试画出其参量根轨迹。 解：（1）求系统特征方程（2）两边同除以,4.5 系统性能的根轨迹分析 一、根轨迹与系统性能的关系： （1）稳定性：闭环系统稳定的充分必
11、要条件是闭环极点必须位于S平面的左半平面，即根轨迹要全部落于左半平面则系统稳定。 （2）稳态性能：由开环传递函数和根轨迹可以分别求出系统型别和开环增益Kg，由表态误差系数法可以估算系统的稳态误差。 （3）动态性能：闭环极点分布与动态性能的关系：极点移动的轨迹,二、条件稳定系统参数在一定范围内取值才能使系统稳定的系统称为条件稳定系统。对于条件稳定系统，可由根轨迹图确定使系统稳定的参数取值范围。 例1 设某开环系统传递函数试绘制根轨迹并讨论使闭环系统稳定的K的 取值范围。 解：利用前面介绍的根轨迹绘制方法可画出 以下根轨迹： 由图可见，当0195时，系统不稳定。,三、瞬态性能分析和开环系统参数的确
12、定 闭环系统极点的张角（又称阻尼角）与阻尼系数的关系为：因而对于二阶系统及具有一对共轭复数主导极点的高阶系统来说，若其主导极点的实部为-b，阻尼角为，且系统其它极点位于下图所示的区域内，则系统的动态性能指标为：,例2 设单位反馈系统的开环传递函数为若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量 ，试确定系统的开环传递系数g。 解：由已知条件画出根轨迹图如下所示： 当Kg=20时，闭环系统有一对极点位于 虚轴上，系统处于临界稳定状态。 根据超调量 的要求，代入 公式解得=60。在根轨迹上作=60 的径向直线，并与根轨迹交于A、B两点， 则A、B为闭环系统的主导极点。,由根轨迹图可测得该对主导极点为：由根轨迹方程的幅值条件，可求得A、B两点：根据闭环极点和的关系可求得另一闭环系统极点s3=-4.3，它将不会使系统超调量增大，故取Kg=2.3可满足要求。,第四章小结:根轨迹的定义 根轨迹的基本概念 根轨迹方程 幅角条件相角条件常规根轨迹的绘制原则（共10条） 根轨迹的绘制方法 参量根轨迹（等效开环传递函数）开环零点、极点分布对系统性能的影响 根据根轨迹分析系统性能 稳定性性能分析 稳态性能动态性能,根轨迹,
