1、2019/6/15,1,1. 线性规划问题及其数学模型 2. 线性规划的图解法 3. 线性规划问题的标准形式 4. 线性规划的解集特征 5. 线性规划的单纯形法 6. 单纯形法的进一步讨论,第二章 线性规划,2019/6/15,2,线性规划问题及其数学模型,资源合理利用问题：第5页例2-1 质量检验问题：第6页例2-2 线性规划数学模型的一般形式,2019/6/15,3,资源合理利用问题：第5页例2-1,1. 决策变量：x1和x22. 目标函数：max (2 x1+3 x2)3. 约束条件：10 x1+20 x2 804 x1 166 x2 18x1，x2 0,2019/6/15,4,质量检验
2、问题：第6页例2-2,1.决策变量：x1和x22.目标函数：min(40 x1+36 x2)3.约束条件：5 x1+3 x2 45x1 8x2 10x1，x2 0,2019/6/15,5,线性规划数学模型的一般形式,1. 决策变量是非负变量；2. 目标函数是线性函数；3. 约束条件是线性等式或不等式组。一般形式为：max(min)(c1 x1+ c2 x2 + cn xn )a11 x1+ a12 x2 + a1n xn (=,) b1a21 x1+ a22 x2 + a2n xn (=,) b2am1 x1+ am2 x2 + amn xn (=,) bmx1 ， x2 ， ， xn 0,2
3、019/6/15,6,线性规划的图解法,1.局限性：只能求解具有两个变量的线性规划问题。 2.学习目的：图解法只能求解具有两个决策变量的线性规划问题，其应用具有很大的局限性，因此学习图解法的目的并非是要掌握一种线性规划问题的求解方法，而是要通过图解法揭示线性规划问题的内在规律，为学习线性规划问题的一般算法（单纯形法）奠定基础。 3.线性规划有关解的几个概念 4.图解法的基本步骤 5.图解法所反映出的一般结论,2019/6/15,7,线性规划有关解的几个概念,1. 可行解：满足约束条件的一组决策变量的取值；2. 可行域：可行解所构成的集合；3. 最优解：使目标函数达到极值的可行解；4. 最优值：
4、与最优解相对应的目标函数的取值。,2019/6/15,8,图解法的基本步骤,1.画出平面直角坐标系；2.将约束条件逐一反映进平面直角坐标系，用标号和箭线表明约束条件的顺序和不等号的方向；3.找出可行域并反映出目标函数直线的斜率；4.平移目标函数直线找出最优解。5.例题：第7页例2-3：用图解法求解例2-1 6.习题：第8页例2-4：用图解法求解例2-2,2019/6/15,9,用图解法求解例2-1,x1,x2 4 3 2 1 0,1 2 3 4 5 6 7 8,2019/6/15,10,用图解法求解例2-1,x1,x2 4 3 2 1 0,1 2 3 4 5 6 7 8,2019/6/15,1
5、1,用图解法求解例2-1,x1,x2 4 3 2 1 0,1 2 3 4 5 6 7 8,2019/6/15,12,用图解法求解例2-1,x1,x2 4 3 2 1 0,1 2 3 4 5 6 7 8,2019/6/15,13,用图解法求解例2-1,x1,x2 4 3 2 1 0,1 2 3 4 5 6 7 8,2019/6/15,14,用图解法求解例2-1,x1,x2 4 3 2 1 0,1 2 3 4 5 6 7 8,2019/6/15,15,用图解法求解例2-1,x1,x2 4 3 2 1 0,1 2 3 4 5 6 7 8,2019/6/15,16,用图解法求解例2-2,x1,x2,5
6、 10 15,15 10 5 0,2019/6/15,17,图解法所反应出的一般结论,1.线性规划问题的可行域是凸多边形； 2.如果线性规划问题有最优解，其最优解一定可以在其可行域的顶点上得到，而不会在可行域的内部； 3.如果线性规划问题在其可行域的两个顶点上得到最优解，那么两顶点连线上的所有点均为最优解点； 4.线性规划问题的解可能有四种情况：唯一最优解；无穷多最优解；无界解和无可行解。,2019/6/15,18,线形规划问题的标准形式,1. 标准形式的基本条件： （1）决策变量非负； （2）目标函数极大化（或极小化）； （3）约束条件为严格等式，且右端项非负。 2. 标准形式的表示：代数式
7、；和式；向量式；矩阵式 3. 标准形式的转化,2019/6/15,19,线性规划的标准型：代数式,min z =c1x1+c2x2+cnxna11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2 am1x1+am2x2+amnxn=bmxj 0 j =1,2,n,2019/6/15,20,线性规划的标准型：和式,min z =cjxjaijxj=bi i=1,2,mxj 0 j=1,2,n,j=1,n,n,j=1,2019/6/15,21,线性规划的标准型：向量式,min z = CXpjxj=bi i=1,2,mxj 0 j=1,2,nC=(c1,c2,c3,cn)
8、X=(X1,X2,X3,Xn) T,n,j=1,2019/6/15,22,线性规划的标准型：矩阵式,min z =CX AX=b，X 0 ， b 0其中： b=(b1,b2,bm)Ta11 a12 .a1nA= a21 a22 a2n am1 am2 amn,2019/6/15,23,标准形式的转化,1.无约束变量x的处理：x=y-z, 其中y,z0 2.负数变量x的处理：x=-y,其中y0 3.目标函数极小化的处理：Min CX=- Max(-CX) 4.非等式约束条件的处理：加松弛变量或减剩余变量 5.右端项为负：两端同乘“-1”,2019/6/15,24,线形规划的解集特征,1.线性规划
9、基与解的概念(1)基、基列、基变量和非基变量(2)基解、基可行解和可行基 2.凸集的概念与解集的基本定理(1)凸集的概念(2)解集的基本定理,2019/6/15,25,线性规划基与解的概念,1.基、基列、基变量和非基变量(1) 基： Max CX, AX=b, X0, b0Amn其秩为m，B 是 Amn中的一个mm阶满秩矩阵，则称B是线 性规划问题的一个基(2) 基列：基 B 中所包含的m个列向量(3) 基变量：基列所对应的决策变量(4) 非基变量：基变量以外的决策变量 2.基解、基可行解、可行基(1) 基解：令所有的非基变量为零，所求得的一组解(2) 基可行解：所有分量均为非负的基解(3)
10、可行基：与基可行解所对应的基,2019/6/15,26,凸集的概念与解集的基本定理,1.凸集的概念：设 K 是 n 维欧氏空间的一点集，若任意两点 X(1) k，X(2) k 的连线上的一切点 X(1) + (1-) X(2) k，(0 1)则称 k 为凸集。 2.解集的基本定理：(1) 若线性规划问题存在可行域，则其可行域是凸集；(2) 线性规划问题的基可行解对应其可行域的顶点；(3) 若线性规划问题存在最优解，则其最优解一定能在基可行解中找到。,2019/6/15,27,线性规划的单纯形法,1.单纯形法的基本原理(1) 单纯形法的基本思路(2) 第12页例2-6 2.最优性检验与解的判别
11、3.单纯形表 4.单纯形法的基本步骤 5.用单纯形法求解例2-6 6.课上习题,2019/6/15,28,单纯形法的基本思路,1. 找出一个初始的基可行解； 2. 判断其最优性； 3. 转移至另一个较优的基可行解； 4. 重复2、3两步直至最优。,2019/6/15,29,第12页例2-6,Max z = 2x1 + 3x210x1 + 20x2 + x3 = 804x1 + x4 = 16 6x2 + x5 = 18x1， x2， x3， x4， x5 0 B = (p3，p4，p5) X(0) = (0，0，80，16，18)T Z(0) = 0，z = 2x1 + 3x2 寻找相邻的基可
12、行解,2019/6/15,30,例2-6,Max (2，3) = 3 x2入基 Min (80/20，18/6) = 3 x5出基 B = (p3，p4，p2)10x1 + x3 - 10/3 x5 = 204x1 + x4 = 16 x2 + 1/6 x5 = 3 X(1) = (0，3，20，16，0)T Z(1) = 9，z = 9 + 2x1 - 1/2 x5,2019/6/15,31,例2-6,Max (2) = 2 x1入基 Min (20/10，16/4) = 2 x3出基 B = (p1，p4，p2)x1 + 1/10 x3 - 1/3 x5 = 2- 2/5 x3 + x4
13、+ 4/3 x5 = 8 x2 + 1/6 x5 = 3 X(2) = (2，3，0，8，0)T Z(2) = 13，z = 13 - 1/5 x3 + 1/6 x5,2019/6/15,32,例2-6,Max (1/6) = 1/6 x5入基 Min (8/(4/3)，3/(1/6) = 6 x4出基 B = (p1，p5，p2)x1 + 1/4 x 4 = 4- 3/10 x3 + 3/4 x4 + x5 = 6 x2 + 1/20 x3 - 1/8 x4 = 2 X(3) = (4，2，0，0，6)T Z(3) = 14，z = 14 - 9/10 x3 - 1/8 x4,2019/6/
14、15,33,最优性检验与解的判别,2019/6/15,34,单纯形表,2019/6/15,35,单纯形法的基本步骤,1.数学模型标准化、正规化； 2.建立初始单纯形表； 3.计算检验数并判断最优性，结束或继续； 4.确定入基变量和出基变量， 5.迭代运算； 6.重复3、4、5步，直至结束。,2019/6/15,36,用单纯形法求解例2-6,2019/6/15,37,用单纯形法求解例2-6,2019/6/15,38,用单纯形法求解例2-6,2019/6/15,39,用单纯形法求解例2-6,2019/6/15,40,课上习题,1. Max z =2x1 + 4x2 + x3 + x4x1 + 3x
15、2 + x4 82x1 + x2 6x2 + x3 + x4 6x1 + x2 + x3 9x14 0 2.第17页例2-10 3.第19页例2-11,2019/6/15,41,单纯形法的进一步讨论,1. 计算问题(1) 入基变量的选择(2) 解的退化 2. 人工变量与初始正规基(1) 大M法(2) 两阶段法,2019/6/15,42,入基变量的选择,入基变量是根据最大正检验数来选择的，这样做的目的是为了使目标函数得到最大的增量，因此当最大正检验数有多个时，可主观地选择它们中的任意一个作为入基变量。其实具有正检验数的所有非基变量都可作为入基变量。,2019/6/15,43,出基变量的选择与解的
16、退化,1. 退化解：部分基变量的值为零的基可行解称为退化解。 2. 在选择出基变量时，如果最小比值不唯一，可主观确定出基变量，此时产生退化解。 3. 例,2019/6/15,44,例,Max z =2x4 +(3/2)x6 x1 + x4 - x5 = 8x2 + 2 x4 + x6 = 4x3 + x4 + x5 + x6 = 3x16 0,2019/6/15,45,例,2019/6/15,46,例,2019/6/15,47,例,2019/6/15,48,例,2019/6/15,49,例,2019/6/15,50,人工变量与初始正规基,第21页例2-13:Min z = -3x1 + x2
17、+ x3x1 - 2x2 + x3 11-4x1 + x2 + 2x3 32x1 - x3 = -1x1 ， x2 ， x3 0 (1)标准化,2019/6/15,51,例2-13的标准化,Min z = -3x1 + x2 + x3x1 - 2x2 + x3 + x4 = 11-4x1 + x2 + 2x3 - x5 = 3-2x1 + x3 = 1x15 0 (2)正规化,2019/6/15,52,例2-13的正规化,人工变量：为构造基变量（正规基）人为加入的变量x1 - 2x2 + x3 + x4 = 11-4x1 + x2 + 2x3 - x5 + x6 = 3-2x1 + x3 +
18、x7 = 1x17 0 初始正规基 B= (p4, p6, p7) = E,2019/6/15,53,大M法,1. 大M法：令人工变量的价值系数为“-M” (极大值)或 “M” (极小值)的单纯形法即称为大M法；例如：Min z = -3x1 + x2 + x3 + M x人1+M x人2 Max z = 2x1 + x2 + 4x3 - M x人1+M x人2 2. 例2-13的大M法 3. 习题（大M法）,2019/6/15,54,用大M法求解例2-13,Min z = -3x1 + x2 + x3x1 - 2x2 + x3 11-4x1 + x2 + 2x3 32x1 - x3 = -1
19、x1 ， x2 ， x3 0,2019/6/15,55,用大M法求解例1.13,Min z = -3x1 + x2 + x3 + Mx6 + Mx7x1 - 2x2 + x3 + x4 = 11-4x1 + x2 +2x3 - x5 + x6 = 3-2x1 + x3 + x7 = 1x17 0,2019/6/15,56,用大M法求解例1.13,2019/6/15,57,用大M法求解例1.13,2019/6/15,58,用大M法求解例1.13,2019/6/15,59,用大M法求解例1.13,2019/6/15,60,习题（用大M法求解）,Max z = 2x1 + 4x2 + x3x1 +
20、x2 + x3 6x1 + x2 - 2x3 4x1 - 2x2 + x3 8x1 ， x2 ， x3 0,2019/6/15,61,习题（用大M法求解）,Max z = 2x1 + 4x2 + x3 - Mx7x1 + x2 + x3 + x4 = 6x1 + x2 - 2x3 + x 5 = 4x1 - 2x2 + x3 - x6 + x7 = 8x17 0,2019/6/15,62,习题（用大M法求解）,2019/6/15,63,习题（用大M法求解）,2019/6/15,64,习题（用大M法求解）,2019/6/15,65,两阶段法,1. 两阶段法：第一阶段，在原约束条件下，求所有人工变
21、量和的最小值；第一阶段的目的是获得问题的一个初始基可行解（人工变量和的最小值为零）或得出问题无可行解（人工变量和的最小值大于零）的结论；第二阶段，去掉人工变量，在原目标下从已得到的基可行解开始优化。 2. 例2-13的两阶段法 3. 习题（两阶段法）,2019/6/15,66,用两阶段法求解例2-13,Min z = -3x1 + x2 + x3x1 - 2x2 + x3 11-4x1 + x2 + 2x3 32x1 - x3 = -1x1 ， x2 ， x3 0,2019/6/15,67,用两阶段法求解例2-13,第一阶段：Min z = x6 + x7x1 - 2x2 + x3 + x4
22、= 11-4x1 + x2 +2x3 - x5 + x6 = 3-2x1 + x3 + x7 = 1x17 0,2019/6/15,68,用两阶段法求解例2-13,2019/6/15,69,用两阶段法求解例2-13,2019/6/15,70,用两阶段法求解例2-13,2019/6/15,71,用两阶段法求解例2-13,2019/6/15,72,用两阶段法求解例2-13,2019/6/15,73,习题（用两阶段法求解）,Max z = 2x1 + 4x2 + x3x1 + x2 + x3 6x1 + x2 - 2x3 4x1 - 2x2 + x3 8x1 ， x2 ， x3 0,2019/6/15,74,习题（用两阶段法求解）,第一阶段： Min z = x7x1 + x2 + x3 + x4 = 6x1 + x2 - 2x3 + x 5 = 4x1 - 2x2 + x3 - x6 + x7 = 8x17 0,2019/6/15,75,习题（用两阶段法求解）,2019/6/15,76,习题（用两阶段法求解）,2019/6/15,77,习题（用两阶段法求解）,
